第一章集合与常用逻辑用语核心知识点默写填空（附背诵版）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学单元学案以“集合与常用逻辑用语”为核心，围绕集合的概念、关系、运算及常用逻辑用语构建学习目标，通过“知识点每日记忆小纸条”分模块设计填空与背诵任务，形成从概念理解到运算应用再到逻辑辨析的递进式学习路径，体现知识建构的系统性与连贯性。 亮点在于“填空默写+背诵巩固”的学记结合模式，设置易错辨析（如集合表示法正误判断）和小练习（如集合运算、充要条件判定），培养学生抽象能力与推理意识。每日打卡任务帮助学生夯实基础，背诵版作为标准答案助力高效记忆，为教师实施单元复习提供结构化教学支持，促进学生深度学习与能力提升。

人教版高中数学必修一 第一章《集合与常用逻辑用语》核心知识点默写填空 本资料分为填空默写与背诵版。填空版用于每日打卡自测默写，背诵版方便日常理解记忆； 背诵版同时充当标准答案，学记结合，高效巩固本章知识点。 【填空版】 班级： 姓名： 日期： 知识点每日记忆小纸条 集合的概念 1.集合的含义：一般地，我们把研究对象统称为 ，把一些元素组成的总体叫做 。 2.集合中元素三大特性 ① ：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的； ② ：集合中的元素一定互不相同； ③ ：集合中的元素没有先后顺序。 3.元素与集合的关系只有两种： 、 ；对应的符号： 、 。 4.常用数集书写符号： ①自然数集： ；②正整数集： （或 ）；③整数集： ；④有理数集： ；⑤实数集： 。 5.集合两大表示方法： (1)列举法：将集合内所有 一一列举，写在大括号 内，元素之间用 隔开； (2)描述法：格式为{ x| }，竖线前代表 ，竖线后写元素满足的条件。 ★易错：①判断正误：{1,2} 和 {2,1} 代表同一个集合（ ）；②{x=1}与{1} 是同一个集合（ ）。 ③使用描述法时，大括号后面 （填“能/不能”）再加上“全体”“所有”等词语。 小练习（写出集合）：①用列举法写出大于1小于5的整数组成的集合： ； ②用描述法写出所有偶数构成的集合： 。 知识点每日记忆小纸条 6.子集定义：如果集合A中 一个元素都是集合B中的元素，则集合A包含于集合B， 记作 ，读作 。 7.集合相等：若 A⊆B，同时 ，则A=B；两个相等集合的元素完全 ；在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 ； 这样，上述集合A与集合B的包含关系，可以用图右图表示。 8.真子集定义：A⊆B，并且集合B中 元素不属于A， 此时A是B的真子集；记作 。 9.空集：不含 的集合，记作 ；写出集合{a,b} 的所有子集 ， ， ， 规定：空集是任何集合的 ；空集是 的真子集。 10.集合元素个数与子集数量关系：集合含有n个元素子集总数= ；真子集总数= ； 非空子集总数= ；非空真子集总数= 。 11.子集传递性：A⊆B，B⊆C，则 。 ★易错辨析：符号∈用于 与 之间；符号⊆用于 与 之间； 集合的基本关系 知识点每日记忆小纸条 1.并集定义：由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合；记作 ，如下图所示； 符号语言：A∪B ={ x| }。 2.并集运算基础性质 A∪A = ；A∪∅= ；A∪B = ； 若 A⊆B，则A∪B = 。 3.交集定义：由所有属于集合A 属于集合 B 的元素组成的集合；记作 ，如下图所示； 符号语言：A∩B ={ x| }。 4.交集运算基础性质 A∩A = ；A∩∅= ；A∩B = ；若A⊆B，则A∩B = 。 5.常用等价转化： ①A∩B = A ⇔ ；②A∪B = A ⇔ 。 6.“或”的三层含义： ①x∈A 或 x∈B 包含：x∈A 但 x B；②x∈B 但x A；③x A且x B（选填“∈/∉”）。 小练习：已知集合 A={1,3,5},B={2,3,4}，A∪B={1,2,3,4,5}，A∩B= 。 集合的基本运算 知识点每日记忆小纸条 7.全集：一个集合包含我们研究问题所涉及的 元素；全集一般记作符号 。 8.补集定义：全集 U 中，所有 集合A的元素组成的集合叫做 A相对于全集U的 ；记作 ，如右图所示； 符号语言：∁UA= {x| }； 补集基础运算性质A∪(∁UA)= ；A∩(∁UA)= ；∁U(∁UA)= ； 9.德摩根定律（交并补转换公式）： ①∁U (A∩B) = ； ②∁U(A∪B) = 。 10.混合运算顺序：先算 里面的，优先计算 运算，之后再算 、 运算。 ★易错提示：求解补集之前必须先明确 ，同一个集合在不同全集下补集结果 （填“相同/不同”）。 小练习：①已知全集 U={1,2,3,4,5}，集合 A={1,2,4}，则∁UA= 。 ②U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={3,4,5}；求∁U(A∪B)= 。 集合的基本运算 知识点每日记忆小纸条 1.一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q。这时，我们就说，由p 可以推出q，记作 ，读作“p推出q”。 2.如果p⇒q，那么，p是q的 条件，q是p的 条件。 3.充分条件的含义：只要有条件p，就 （一定/不一定）能得到 q；p可以 （保证/ 推不出）q 成立；但是没有p （一定/不一定）得不到q。 4.必要条件的含义：若想要q成立，就 （必须/不必）要有p；如果缺少条件p，则q （一定不/不一定）成立，也就是 。 5.判定定理给出了结论成立的一种充分条件；性质定理给出了结论成立的一种 条件。 6.若“若p，则q”为假命题，则记为 ，此时p （是/不是）q的充分条件，q （是/不是）p 的必要条件。 ★拓展理解：①“p是q的充分条件”等价于“ ”。 ②“q是p的必要条件”等价于“ ”。 ★高频易错：p⇒q，只能说明p足够推出q， （能/不能）反过来判定q也能推出p。 充分条件和必要条件 7.如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作 ；此时，p是q的 条件，简称为充要条件。 8.如果p⇔q，那么 p与q互为充要条件，也可以说成p与q 。 9.四种条件完整分类（填写条件名称） ①p⇒q ，且q⇏p；p是 q： 条件； ②p ⇏q ，且q⇒p；p是q： 条件； ③p⇒q ，且q⇒p；p是q： 条件； ④p ⇏q ，且q ⇏p；p是q： 条件。 10.证明“p 是 q的充要条件”时，要分两步证明：①第一步证明 性（p⇒q），②第二步证明 性（q⇒p），两步缺一不可。 易错：①充要条件的证明题，只单向证明一个推导关系， （可以/不可以）判定互为充要。 ②一个结论成立的充分条件 不止一个，必要条件也 不止一个（可以/不可以）。 ★练习（填写条件类型）①“x=2”是“x²=4”的 条件；②“x²=4”是“x=2”的 条件。③“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的 条件。 知识点每日记忆小纸条 充分条件和必要条件 知识点每日记忆小纸条 1.短语“所有”“任意”在逻辑中通常叫做 ；全称量词符号记作： ； 含有全称量词的命题，叫做 。 2.全称量词命题的一般形式： “对集合M中 一个x，p(x)成立”；可用符号简记为： 。 3.短语“存在”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ；存在量词符号记作： ；含有存在量词的命题，叫做 。 4.存在量词命题的一般形式： “集合 M 中 一个 x，p(x)成立”；可用符号简记为： 。 5.全称量词命题：∀x∈R，x+1>0：它代表集合 R 内 的实数 x，都满足x+1>0。 6.存在量词命题：∃x∈R，x+1>0；它代表集合 R 内 有一个实数 x，能够满足x+1>0 即可。 判断：①所有的正方形都是矩形； 量词命题 ②有一个实数，使得x2+1=0； 量词命题；★练习：将文字命题改写为符号简写形式 ①“对任意实数x，都有x2≥ 0”： ； ②“存在整数 x，使得x+2=5”： 。 全称量词与存在量词 知识点每日记忆小纸条 7.全称量词命题 ∀x∈M, p(x) 的否定： ； 命题否定之后由全称量词命题变成了 量词命题。 8.存在量词命题 ∃x∈M, p(x) 的否定： ； 命题否定之后由存在量词命题变成了 量词命题。 9.一个命题与它的否定，真假性一定 （相同/相反）；原命题为真，则否定一定为 ；原命题为假，则否定一定为 。 10.写出命题否定的两步标准操作：①第一步：互换原来的 （全称量词与存在量词转换）； ②第二步： 量词后面的结论p(x)。 易错：①只更换量词，但是不去否定后面的结论，得到的结果 （是/不是）原命题的否定； ②命题的否定：只否定 ；否命题：既否定 ，又否定 ； ③“至少有一个” 的否定是 “ ”；“至多一个” 的否定是 “ ”。 练习：①∀x∈R, x²>0 否定： ；原命题： （真/假）； ②∃x∈R,x+3=0，否定： ；原命题： （真/假）。 全称量词与存在量词 【背诵版】 知识点每日记忆小纸条 集合的概念 1.集合的含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2.集合中元素三大特性 ①确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的； ②互异性：集合中的元素一定互不相同； ③无序性：集合中的元素没有先后顺序。 3.元素与集合的关系只有两种：属于、不属于；对应的符号：∈、∉。 4.常用数集书写符号： ①自然数集：N；②正整数集：N*（或N+）；③整数集：Z；④有理数集：Q；⑤实数集：R。 5.集合两大表示方法： (1)列举法：将集合内所有元素一一列举，写在大括号{}内，元素之间用逗号隔开； (2)描述法：格式为{ x|x所满足的条件}，竖线前代表研究对象，竖线后写元素满足的条件。 ★易错：①判断正误：{1,2} 和 {2,1} 代表同一个集合（√）；②{x=1}与{1} 是同一个集合（×）。 ③使用描述法时，大括号后面不能（填“能/不能”）再加上“全体”“所有”等词语。 小练习（写出集合）：①用列举法写出大于1小于5的整数组成的集合：{2,3,4}； ②用描述法写出所有偶数构成的集合：{x|x=2k,k∈Z}。 知识点每日记忆小纸条 6.子集定义：如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则集合A包含于集合B， 记作A⊆B，读作A包含于B。 7.集合相等：若 A⊆B，同时B⊆A，则A=B；两个相等集合的元素完全相同；在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图； 这样，上述集合A与集合B的包含关系，可以用图右图表示。 8.真子集定义：A⊆B，并且集合B中至少有一个元素不属于A， 此时A是B的真子集；记作A⫋B。 9.空集：不含任何元素的集合，记作∅；写出集合{a,b} 的所有子集：∅，{a}，{b}，{a,b} 规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。 10.集合元素个数与子集数量关系：集合含有n个元素子集总数=2n；真子集总数=2n−1； 非空子集总数=2n−1；非空真子集总数=2n−2。 11.子集传递性：A⊆B，B⊆C，则A⊆C。 ★易错辨析：符号∈用于元素与集合之间；符号⊆用于集合与集合之间； 集合的基本关系 1.并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合；记作A∪B，如下图所示； 符号语言：A∪B ={ x| x∈A 或 x∈B }。 2.并集运算基础性质 A∪A = A；A∪∅=A；A∪B = B∪A； 若 A⊆B，则A∪B = B。 3.交集定义：由所有属于集合A且属于集合 B 的元素组成的集合；记作A∩B，如下图所示； 符号语言：A∩B ={ x| x∈A 且 x∈B }。 4.交集运算基础性质 A∩A = A；A∩∅ = ∅；A∩B = B∩A；若A⊆B，则A∩B = A。 5.常用等价转化： ①A∩B = A ⇔ A⊆B；②A∪B = A ⇔ B⊆A。 6.“或”的三层含义： ①x∈A或x∈B包含：x∈A 但 x ∉B；②x∈B 但x ∉A；③x∈A 且 x∈B（选填“∈/∉”）。 小练习：已知集合 A={1,3,5},B={2,3,4}，A∪B={1,2,3,4,5}，A∩B={3}。 知识点每日记忆小纸条 集合的基本运算 知识点每日记忆小纸条 7.全集：一个集合包含我们研究问题所涉及的所有元素；全集一般记作符号U。 8.补集定义：全集 U 中，所有不属于集合A的元素组成的集合叫做 A相对于全集U的补集；记作∁UA，如右图所示； 符号语言：∁UA= {x| x∈U 且 x∉A }； 补集基础运算性质A∪(∁UA)= U ；A∩(∁UA)= ∅；∁U(∁UA)= A ； 9.德摩根定律（交并补转换公式）： ①∁U (A∩B) = (∁UA)∪(∁UB)； ②∁U(A∪B) = (∁UA)∩(∁UB)。 10.混合运算顺序：先算括号里面的，优先计算补集运算，之后再算交集、并集运算。 ★易错提示：求解补集之前必须先明确全集U，同一个集合在不同全集下补集结果不同（填“相同/不同”）。 小练习：①已知全集 U={1,2,3,4,5}，集合 A={1,2,4}，则∁UA={3,5}。 ②U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={3,4,5}；求∁U(A∪B)={6}。 集合的基本运算 知识点每日记忆小纸条 1.一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q。这时，我们就说，由p 可以推出q，记作p⇒q，读作“p推出q”。 2.如果p⇒q，那么，p是q的充分条件，q是p的必要条件。 3.充分条件的含义：只要有条件p，就一定（一定/不一定）能得到 q；p可以保证（保证/ 推不出）q 成立；但是没有p不一定（一定/不一定）得不到q。 4.必要条件的含义：若想要q成立，就必须（必须/不必）要有p；如果缺少条件p，则q一定 不（一定不/不一定）成立，也就是非q⇒非p。 5.判定定理给出了结论成立的一种充分条件；性质定理给出了结论成立的一种必要条件。 6.若“若p，则q”为假命题，则记为p ⇏q，此时p不是（是/不是）q的充分条件，q不是 （是/不是）p 的必要条件。 ★拓展理解：①“p是q的充分条件”等价于“q的一个充分条件是p”。 ②“q是p的必要条件”等价于“p的一个必要条件是q”。 ★高频易错：p⇒q，只能说明p足够推出q，不能（能/不能）反过来判定q也能推出p。 充分条件和必要条件 7.如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q；此时，p是q的充分必要条件，简称为充要条件。 8.如果p⇔q，那么 p与q互为充要条件，也可以说成p与q等价。 9.四种条件完整分类（填写条件名称） ①p⇒q ，且q⇏p；p是 q：充分不必要条件； ②p ⇏q ，且q⇒p；p是q：必要不充分条件； ③p⇒q ，且q⇒p；p是q：充要条件； ④p ⇏q ，且q ⇏p；p是q：既不充分也不必要条件。 10.证明“p 是 q的充要条件”时，要分两步证明：①第一步证明充分性（p⇒q），②第二步证明必要性（q⇒p），两步缺一不可。 易错：①充要条件的证明题，只单向证明一个推导关系，不可以（可以/不可以）判定互为充要。 ②一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个（可以/不可以）。 ★练习（填写条件类型）①“x=2”是“x²=4”的充分不必要条件；②“x²=4”是“x=2”的 必要不充分条件。③“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件。 知识点每日记忆小纸条 充分条件和必要条件 知识点每日记忆小纸条 1.短语“所有”“任意”在逻辑中通常叫做全称量词；全称量词符号记作：∀； 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。 2.全称量词命题的一般形式： “对集合M中任意一个x，p(x)成立”；可用符号简记为：∀x∈M,p(x)。 3.短语“存在”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词；存在量词符号记作：∃；含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。 4.存在量词命题的一般形式： “集合 M 中存在一个 x，p(x)成立”；可用符号简记为：∃x∈M,p(x)。 5.全称量词命题：∀x∈R，x+1>0：它代表集合 R 内全部的实数 x，都满足x+1>0。 6.存在量词命题：∃x∈R，x+1>0；它代表集合 R 内至少有一个实数 x，能够满足x+1>0 即可。 判断：①所有的正方形都是矩形；全称量词命题 ②有一个实数，使得x2+1=0；存在量词命题；★练习：将文字命题改写为符号简写形式 ①“对任意实数x，都有x2≥ 0”：∀x∈R ,x2≥0 ； ②“存在整数 x，使得x+2=5”：∃x∈Z ,x+2=5。 全称量词与存在量词 知识点每日记忆小纸条 7.全称量词命题 ∀x∈M, p(x) 的否定：∃x∈M,¬ p(x)； 命题否定之后由全称量词命题变成了存在量词命题。 8.存在量词命题 ∃x∈M, p(x) 的否定：∀x∈M ,¬ p(x)； 命题否定之后由存在量词命题变成了全称量词命题。 9.一个命题与它的否定，真假性一定相反（相同/相反）；原命题为真，则否定一定为假；原命题为假，则否定一定为真。 10.写出命题否定的两步标准操作：①第一步：互换原来的量词（全称量词与存在量词转换）； ②第二步：否定量词后面的结论p(x)。 易错：①只更换量词，但是不去否定后面的结论，得到的结果不是（是/不是）原命题的否定； ②命题的否定：只否定结论；否命题：既否定条件，又否定结论； ③“至少有一个” 的否定是 “一个也没有”；“至多一个” 的否定是 “至少两个”。 练习：①∀x∈R, x²>0 否定：∃x∈R,x²≤ 0；原命题：假（真/假）； ②∃x∈R,x+3=0，否定：∀x∈R,x+3 ≠ 0；原命题：真（真/假）。 全称量词与存在量词 学科网（北京）股份有限公司 $