精品解析：江苏省南京市六合区、江宁区三校联考2027届高三数学第一学期期初调研测试适应性训练试卷

2027届高三数学第一学期期初调研测试适应性训练 数学 2026.07 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列特征数中，刻画一组数据集中趋势的是（ ） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 标准差 【答案】A 【解析】 【详解】方差、标准差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量， 极差是最大值和最小值的差， 平均数是描述一组数据的集中趋势的量，故A正确. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，，因此，. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数与指数的互化，即可结合指数的运算性质求解. 【详解】令，则， 则， 故选：B 4. 在平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 5. 已知，，，则“ ”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的判断，构造幂函数与指数函数求解. 【详解】令，因为，所以函数在上单调递减，又， 若，则， 令，因为，所以函数在上单调递增，又， 若，则， 显然可推出，反之不一定成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 6. 若一个圆锥的轴截面是一个等边三角形，则该圆锥的表面积与轴截面面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设底面圆的半径为r，分别表示出圆锥的表面积与轴截面面积即可得. 【详解】设底面圆的半径为r，则母线长为2r，得侧面积是， 所以圆锥的表面积为， 轴截面是一个正三角形，边长为2r， 则其面积为， 所以面积之比是. 7. 如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丙地有2条路，则从甲地到丙地一共有（ ）条不同的路线． A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【详解】若从甲地直接到丙地，有2条路线； 若从甲地到乙地，再到丙地，有条路线； 综上所述：从甲地到丙地一共有11条不同的路线. 8. 若函数与的图象存在公切线，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】法一：设公切线与，图象分别切于点，写出图象在A处的切线方程和图象在B处的切线方程，由两直线重合，消去得到，令，再由求解.方法二： 由，分别为上凸和下凸函数，要使，存在公切线，转化为在上恒成立求解. 【详解】法一：设公切线与，图象分别切于点， 则图象在A处的切线方程为：， 即， 同理：图象在B处的切线方程为：， 即， 由上述两直线重合，消元可得，， 令， 则，当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 则，解得， 方法二：在同一坐标系中作出，的图象如图所示： 由图象知：，分别为上凸和下凸函数，要使，存在公切线， 只须在上恒成立即可， 即在上恒成立 令，求导得， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值为， 所以 故选：A 【点睛】方法点睛：求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9. （多选）若一个球的直径为d，体积为，一个正方体的棱长为a，体积为，且它们的表面积相同，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由球的表面积公式与正方体的表面积公式，结合表面积相同的条件，可得，再由球的体积公式与正方体的体积公式，结合，可得. 【详解】球直径为，则半径为，则球的表面积为， 正方体棱长为，则表面积为． 由，因为，所以，即，故A正确，C错误； 又，， 因为，所以，即．故B错误，D正确； 故选：AD. 10. 关于函数的叙述中，正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间内单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 是偶函数 【答案】ABD 【解析】 【详解】A. ， 则的最小正周期为，A正确; B.当时，，又在 上为增函数，所以在区间内单调递增，B正确； C.当时，，此时， 即的图象关于点对称，C错误； D.， 令，则， 故是偶函数，D正确. 11. 已知集合，从其所有子集中依次等可能地选取两个不同子集， ，记事件 为“是 的真子集”，事件为“子集 中恰有2个元素”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先计算集合的所有子集总数，再计算选取两个不同子集的总样本数，根据选项要求，利用条件概率公式和分类加法计数原理计算即得. 【详解】集合共个元素，子集总数为个.题目要求依次选取两个不同子集，因此基本事件总数为. 选项A：事件：恰有个元素，有种选法，从剩余个子集选，共种. 则，A正确； 选项B：因事件表示：有个元素，且是的真子集，则，，故，B错误； 选项C：按的元素个数分类计算满足是真子集的所有情况： 含个元素（空集）：真子集个数为，共种； 含个元素：共个，每个真子集个，共种； 含个元素：共个，每个真子集个，共种； 含个元素：共个，真子集个，共种； 即满足的所有事件数为，因此，C正确； 选项D：，D正确. 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分 12. 的展开式中，项的系数为__________． 【答案】 【解析】 【详解】的展开式中，含的项是，所以项的系数为20. 13. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【详解】由为假命题，得为真命题， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 14. 已知函数在上有两个极值点，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数有两个极值点转化为方程在上有两个不同解，再结合正弦函数图象和性质可得. 【详解】由函数， ， 令，得. 令，由，得， 因为函数在区间上有两个极值点，所以方程在上有两个不同解. 当时：从递减到；当时：从递增到； 当时，与恒有两个不同交点，对应原函数两个不同极值点： 因此的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求A； （2）若，且，求实数b的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次方程即可求解； （2）由可得，解得，进而得到，再根据包含关系求解即可. 【小问1详解】 当时，得，解得或， 所以． 【小问2详解】 因为，所以，解得， 所以． 因为，所以，解得， 所以b的取值范围是． 16. 如图，已知三棱锥，与都是边长为2的等边三角形，是的中点，． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接， ∵与都是边长为2的等边三角形， ∴，，且， 在中，，即 由勾股定理得，又， 平面，∴平面， 又平面，∴平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）先取的中点，利用勾股定理证明出，再利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的定义求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 又∵是的中点，∴，， 设平面的法向量为， ，， 则，即， 化简得取， 则，则， 设直线与平面所成角为， 则. 17. 已知函数. （1）若，，求函数的值域； （2）若，， ①求证：曲线是中心对称图形； ②解关于的不等式：. 【答案】（1） （2）①证明：把，代入函数，得 ， 所以， 故， 所以曲线关于中心对称. ② 【解析】 【分析】（1）把，代入函数，应用分离变量即可求得值域； （2）把，代入函数， ①利用中心对称与函数图象表达式的关系证明； ②用指数与对数函数运算法则化简整理即可求解. 【小问1详解】 把，代入函数，得 ，定义域为 由，得,那么, 即， 所以，函数的值域为. 【小问2详解】 ①略 ②把，代入函数，得 由于，故, 所以即可化为 又，在上单调递减， 所以，， 设，那么在上单调递增， 又， 所以原不等式可化为，得， 所以原不等式解集为. 18. 某师傅要将一个原件加工成一件精密产品，需经过3道工序，第1道，第2道，第3道加工成功的概率分别为，，，现按照顺序进行加工，只有上一道工序成功才能进行下一道工序． （1）求该原件被加工成合格品的概率； （2）设X表示师傅加工8个这样的原件成为合格品的件数， （ⅰ）求X的期望与方差； （ⅱ）求最有可能出现的合格品的件数． 【答案】（1） （2）（ⅰ）;（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）三道工序需全部成功才能得到合格品，各工序相互独立，由独立事件的概率乘法公式计算可得； （2）（ⅰ）利用二项分布的均值和方差公式求解；（ⅱ）设为使概率最大时的的值，求解不等式，取整即得答案. 【小问1详解】 三道工序需全部成功才能得到合格品，各工序相互独立， 故原件加工为合格品的概率为； 【小问2详解】 （ⅰ）每个原件加工合格概率，共独立加工 8 次，因此， 所以， ； （ⅱ）二项分布概率公式是 设为使概率最大时的的值，则有 ，即， 化简得，解得， 又为非负整数，故，所以最有可能出现的合格品件数为 19. 已知函数，曲线在 处的切线方程为. （1）求的值； （2）证明：函数在区间上存在唯一极大值点； （3）求函数的零点个数. 【答案】（1） （2）证明：由（1）得，求导得， 设，则， 当时，，，则，故函数在上单调递减， 又，由零点存在定理，存在唯一的，使得. 当时，，即，则函数在上单调递增； 当时，，即，即函数在上单调递减. 故为函数在区间上的唯一极大值点； （3）2 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线方程，对照系数即可求出的值； （2）利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理即可得证； （3）将按照定义域分成，，和四部分，讨论函数的单调性，结合零点存在定理和端点函数值大小逐一判断零点个数即可. 【小问1详解】 由，可得， ，则， 因曲线在 处的切线方程为，则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数的定义域为，则， ①当时，由（2）知，函数在上单调递增，在上单调递减. 又，即当时，，即， 故函数在上单调递减，故函数在上仅有零点； ②当时，因，由（2）当时，单调递增， 故，即在上单调递增， 当时，单调递减，因， 则在后面一段区间必有,单调递减,在上先增后减， 又，则当时，，即函数无零点； ③当时，若，则，则函数在上单调递减， 又，由零点存在定理，函数存在唯一的零点； 若，则，而，则恒成立，故函数在上无零点. 综上，函数共有与两个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学第一学期期初调研测试适应性训练 数学 2026.07 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列特征数中，刻画一组数据集中趋势的是（ ） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 标准差 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则“ ”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若一个圆锥的轴截面是一个等边三角形，则该圆锥的表面积与轴截面面积之比是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丙地有2条路，则从甲地到丙地一共有（ ）条不同的路线． A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 若函数与的图象存在公切线，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9. （多选）若一个球的直径为d，体积为，一个正方体的棱长为a，体积为，且它们的表面积相同，则有（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数的叙述中，正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间内单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 是偶函数 11. 已知集合，从其所有子集中依次等可能地选取两个不同子集， ，记事件 为“是 的真子集”，事件为“子集 中恰有2个元素”，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分 12. 的展开式中，项的系数为__________． 13. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________. 14. 已知函数在上有两个极值点，则的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求A； （2）若，且，求实数b的取值范围． 16. 如图，已知三棱锥，与都是边长为2的等边三角形，是的中点，． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数. （1）若，，求函数的值域； （2）若，， ①求证：曲线是中心对称图形； ②解关于的不等式：. 18. 某师傅要将一个原件加工成一件精密产品，需经过3道工序，第1道，第2道，第3道加工成功的概率分别为，，，现按照顺序进行加工，只有上一道工序成功才能进行下一道工序． （1）求该原件被加工成合格品的概率； （2）设X表示师傅加工8个这样的原件成为合格品的件数， （ⅰ）求X的期望与方差； （ⅱ）求最有可能出现的合格品的件数． 19. 已知函数，曲线在 处的切线方程为. （1）求的值； （2）证明：函数在区间上存在唯一极大值点； （3）求函数的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $