河北省衡水市第二中学等校2026-2027学年高三上学期开学检测数学试题

高三年级开学检测 数学 考试说明：1.本试卷共150分。考试时间120分钟。 2.请将各题答策填在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A=(x|x>1},B={x∈Zx2+2x-3≤0}，则A∩B= A.{x-3≤x<-1} B.{x1<x≤3} C.{-3,-2} D.{2,3} 2.若等比数列{an}的前三项为√2,2,2，则该数列的第四项为 A.2 B.2 C.2 D.1 3.已知函数f(x)可导，则lim f(x+5△x)-f(x) △x A.f'(x) B.5f'(x) D.f'(5) 4.已知tane+）=9+45,则tanla--F） A.4W5-9 B.9-4√5 C26 D.-25 5 5 5.曲线f(x)=lx十cos2x在x-1处的切线方程是 A.y=0 B.y-1=0 C.(π-2)x+2y-元+2=0 D.(π-2)x+2y-π=0 6.为了得到函数y=cos2x-) 的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点 A.向左平移个单位长度，纵坐标不变 B.向右平移无个单位长度，纵坐标不变 6 C向左平移多个单位长度，纵坐标不变 D.向右平移2个单位长度，纵坐标不变 高三数学第1页共4页 7.已知等差数列(an}的公差为d,前n项和为Sm,若S6=3S3,a4=7,则下列结 论中不正确的是 A.S,的图象是关于n的开口向上的抛物线上的一些点 B.a5+a6=2a4+2d C.数列{am十am叶1}是等差数列 D.S9=9as 8。若函数f(x)=sin十）在区间0，上怡有5条对称轴，则正整数如的取 值集合为 A.{8,9,10,11} B.{8,9,10y C.(9,10,11} D.(9,10} 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列求导运算正确的是 A.(3x)'=3xln3 B.(x2cosx)=2xcosx+x'sinx C.(ln3)'= sin2x-2x cos2x 3 sin2x sin 2x 10.已知函数g(x)=-3an2ax+)(o>0)的最小正周期为，则下列选项中是 g(x)图象的对称中心的是 A. c.赁o D. 11.已知数列{am}满足a1=1,am+1=3am十2”，记bm=am十2”，则下列说法正确 的是 A.数列{bn}是等比数列，公比为3 B.数列{an}的通项公式为am=3”一2 C数列的前m项和为1一() D.数列(an十am+1}的前n项和大于3”1一2"+ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.命题“Ha>b>c>0,a3+b3+c3>3abc”的否定是 高三数学第2页共4页 1已知im(侣a小=5.则sn昏+2a l4.当a>0,x>0时，不等式ae--lnx+lna≥1恒成立，则a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 设全集为R,集合A={x2m一1≤x≤3m+2,m∈R},B={xx2-3x-40}, C={x∈Z2≤x≤4m+1,m∈R}. (1)求CRB; (2)若A是B的子集，求实数m的取值范围； (3)若集合C∩(CB)的真子集有且仅有7个，求实数m的取值范围. 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=mx3+x2+n.x(其中常数m,n∈R),g(x)=f(x)十f'(x) 是奇函数， (1)求g(x)的表达式； (2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值. 高三数学第3页共4页 17.(本小题满分15分) 已知函效fr)=2 inc0sax+}w>0》的最小正周期为元 (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)求函数f(x)的最小值，并求取得最小值时x的取值集合 18.(本小题满分17分) 已知致列a满足：a1=了a,十at 2a(n∈N*). (1)证明：数列{am}为等比数列； (2)记数列m,的前n项和为S,正明：5。<号 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ln(1十x)+x-asinz,a>0. (1)若函数f(x)在（一1,0）上单调递增，求实数a的取值范围； (2)当x∈(1，)时，f(x)≤0，求实数a的值： 8)求证：空ne)小>是+2+h开 高三数学第4页共4页高三年级开学检测 数学参考答案 1.【答案】c 【解析】A={x<-1或x>1},B={-3,-2,-1,0,1},则A∩B={-3,-2}.故选C. 2.【答案】D 〔解析】由等比数列的性质得，4的 =1.故选D a, 2 3.【答案】B 【解析】m Ax>0 fK+5ayf出-5im+5/位-5f()故途B △x Ar 5△x 4.【答案】A 【解析】因为tan a+ tan+1=9+4√5， 4 1-tana 所以tano- tan a-1 1 1 =4W5-9.故选A. 4 1+tan a tao+19+4√5 1-tana 5.【答案】c 【解析】/0=hl+cos号-0，)-受n受，了四=-1受所以由线e) 在=1处的切线方程为y=（-引x-1,即(a-2)+2y-+2=0故选C 6.【答案】A 【解析】y= COS sm2x+ 所以 只需把y=$in2x的图象上的所有点向左平移乃个单位长度，纵坐标不变.故选A, 6 7.【答案】B 14 8。=3S得 6×5 =4 【解析】由 64+ d=33a+3d)小解得 5 2 44=7 7 4+3d=7, d5 对于A,S=m+,山a=乙m+的图象是关于n的开口向上的抛物线上 1010 高三数学第1页共8页 的一些点，故A正确： 对于B,a+a6=4+d+a4+2d=2a+3d,故B错误： 对于C,数列{a,+a+i}是公差为2d的等差数列，故C正确； 对于D,S,=9a+ 9×8 d=9a+36d=9(a+4d)=9a,故D正确.故选B. 2 8.【答案】D 【解析】因为x0 所以mr+∈卫n 4424 门0，，月 所以正整数o的取值集合为9,10}.故选D 9.【答案】AD 【解析】对于A,(3x)=3n3,故A正确； 对于B,（x2cosx)=2 xCOSX-x2sinx,故B错误； 对于C,(n3)=0,故C错误： 对于D, sin 2x-2xcos 2x ,故D正确.故选AD sin 2x sin22x 10.【答案】ACD 【解析】由7=元-及得o=4,所以g()=3m8x+ 208 k∈Z,得x=征 1648 ,k∈Z.故选ACD 11.【答案】ABD 【解析】因为at1=3a+2”，所以a1+2+1=3(a,+2）,令b.=a+2”，则 b+1=3b，所以数列{}是以b=4+2=3为首项，3为公比的等比数列，所以 bn=3”,故A正确： 由A可知b.=a+2”,b.=3”,所以3”=a,+2”，所以a=3”-2”，故B正确： 由B可知a=3-2,所以导-，-1 所以数列 的前n项和为 高三数学第2页共8页 2-3 2” (3 =n+2 2,故C错误； 1- 2 3 3 因为a,+a+1=4×3”-3×2”，所以数列{a+ai}的前n项和为 4x30-3）3×20-2"）-2×31-6-3x2+6=2×34-3×24= 1-3 1-2 (3+1-2m+2）+(3+1-2+1)>3+1-2+2,故D正确.故选ABD 12.【答案】a>b>c>0,+b3+c3≤3abc 【解析】全称命题的否定为特称命题，所以命题“Ha>b>c>0,d3+b3+c3>3abc” 的否定为“a>b>c>0,ad+b3+c3≤3abc” 1B.【答案】月 【解1m后as行r0j}g）o叫gj} 1-2sin2 14.【答案】[1，+∞) 【解析】aex-1-lnx+lna≥1台eae-1-l+lna≥lnx台ea+x-+x-l+lna≥ x+nx=ex+lnx.设函数f(x)=e+x,则f(x)=e+l>0恒成立，所以函数 f(x)单调递增，所以x-1+na≥hnx一na≥lnx-x+l.设函数g(x)=nx-x+1, 则g(y)=-1,当x∈(0,1)时，g(r)>0,g(y单调递增：当x∈（山，+0）时， g(x)<0,g(x)单调递减，所以g(x)=g(1)=0,所以na≥0，解得a≥l, 故a的取值范围是[1，+o). 15.解：(1)因为B={xx2-3x-4≤0}={x(x+1)(x-4)≤0}={x-1≤x≤4}， …2分 所以CRB={xx<-l或x>4} …4分 高三数学第3页共8页 (2)当2m-1>3+2,即<-3时，A=☑，故A≤B,符合题意；…5分 当2-1=3m+2,即m=-3时，A={-7},-7正B,不符合题意；…6分 当2-1<3m+2,即m>-3时，要使A∈B, 需使 2m-1之-解得0≤m≤ 2 …9分 3m+2≤4， 综上，实数m的取值范围是(-0，- 3)u ……………10分 (3)由题可知，集合C∩(CB)有且仅有3个元素， 所以7≤4m+1<8,解得3≤m< 7 2 故实数m的取值范围是 37 24 …13分 16.解：(1)由题意得f(x)=3x2+2x+n,…1分 所以g(x)=f(x)+f'(x)=x3+(3m+1)x2+(n+2)x+n.…2分 因为g(x)为奇函数，所以对任意实数x,都有g(-x)=-g(x), 所以m(-x)°+(3m+1)(-x)+(n+2)(-x)+n=[3+(3m+1)x2+(n+2)x+n], 所以 3m+1=0解得 1 3 …5分 n=0, n=0, 所以g-一-2… …6分 （2)由10知，8到-42x,所以g)-+2.…7分 令g(x)=0,解得x=-V2,=V2.…。 …8分 当x<-√2或x>V2时，g(x)<0,g(x)单调递减： 当-√2<x<√2时，g(x)>0,g(x)单调递增，…10分 所以g(x)在区间1，V2上单调递增，在[V2,2上单调递减.…11分 高三数学第4页共8页 因为到）-写列-g82)-手…13分 所以树车区同La小的装大值为月装小值为（回-号…5分 17.解：(1)f(x)=2 sin @xcos =2sin @x cos @x cosπ sin ox sin …1分 3 =2sin ox coS@x- -sin @x …2分 2 2 1m2ox 1 V3x1-cos2@x ……3分 、1 -cos 2wx- …4分 2 sin 3 ……5分 因为函数f(x)的最小正周期为π， 所以T= 2元=元，所以0=1，…6分 20 所以f(x)=m2x+）-5 32 (2)令2m-元≤2x+2≤2m+ ,kZ,…8分 3 2 解得m-5π≤≤m+ ,k∈Z,…10分 12 12 所以函数f(x)的单调递增区间为 k∈Z.…11分 (3)因为x∈R,所以sin …12分 当sm2x+=1时，fx)。-1- …13分 2 高三数学第5页共8页 此时2x+骨=2h-号keZ,即x=M 12,f∈Z,…14分 5π 3 所以f()取得最小值时x的取值集合为x= 江，keZ.…15分 12 1 18.证明：(1)由0，+0+1= 2得a+a= 2+1, 所以对m∈Na-a.=2.… …2分 当n为奇数时，设n=2k-1,则a+1-ax1= 22次 所以4k-1=(4k-1-4x-3+(ak-3-ax-5t+(-4+4…3分 [+ 17.1 23 1 22-1少 1 1 3 22 1 3×22k-2, 1 所以4三3×2n阿…5分 当n为偶数时，n+1为奇数，则a1=3x2, 1 111 以a0日23x23x2…7分 综上，对neN,a,=,1 3X27……8分 因为对neN,都有L=3x2-1 a,=3x20=2, 所以数列a,}是以为首项， 为公比的等比数列.…10分 1 n (2)由(1)得，对1∈Na,=3x2m,则m,3×2,1分 则，12 3x203x2++,” 3x2-, 1,2 8虎x23x2士”” +3x2+3×2,12分 高三数学第6页共8页 1 11 1 错位相减得， ,=332+ 3×23x2m ……………13分 1 11-20 3 13×2” 1- 2n+2 33×2 0…15分 4n+24 所以心%33×23…17分 19.(1)解：因为函数f(x)在（-1,0)上单调递增， 所以f(x)≥0在(-1,0)上恒成立，即1+1-acox≥0在(-1,0)上恒成立. x+1 设8)=士+1-acox,则8()7 1 +asinx x+1 x+1)月 因为x∈(-1,0)，所以g(x)<0,所以'(x)在(-1,0)上单调递减， 所以f'(x)>f'(0)=2-a 令2-a≥0，则a≤2，故实数a的取值范围为(0,2].…5分 (2)解：因为当x∈1时，fx)≤0，且f0)=0, 6 所以x=0是f(x)的一个极大值点，所以'(0)=0， 所以+1-Q=0,解得a=2.(必要性)…7分 0+1 下而证期充分性，即证当a-2,且x(-1)时，f)0。 由(1)知，当a=2时，函数f(x)在(-1,0)上单调递增，所以f(0)≤0，符合 题意： 当0时.-h0+xx-2m,则fe=1-2a, x+1 +2ix,户()=3 +2cosx>0 (x+1) (x+1) 高三数学第7页共8页 所以”(x)单调递增 又因为f"(0)=-1<0,f" +2sin>0, 6 根据零点存在定理知，x,∈ 使得f”()=0,即-，1 +2sinx=0. (x+1) 当x∈(0，)时，f"(x)<0,f'(x)单调递减，f'(x)<f'(0)=0: 当〔引时，0，网词造re了名12m子0 1 6 6 所以当x0君)时，f0,所以f)单调递减，故f(f0)-0 π 综上，当a=2,且x∈-l6时，fx)0.…12分 3)证明：由2)知，当a=2,且xe(1爱时，0，即2mh1+tx 因为当k∈N且≥2时，0<，1，≤{<飞。 2-136 所以2m+)同) &h&-a&a)+片 所以gm〔居小u-a-小+会如-加+小+片 hx-i+:-n长日）经24+ 高三数学第8页共8页