3.1.2 椭圆的简单几何性质教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

选择性必修第一册 数学 3.1.2 椭圆的简单几何性质 教学设计-2026-2027学年 高二 人教A版

一、课型

课题	椭圆的简单几何性质
课型	新授课
教材	人教A版选择性必修第一册
章节	第三章 3.1.2 椭圆的简单几何性质
授课对象	高二学生
课时	1课时

二、教学内容分析

本课在椭圆标准方程 （）的基础上，从方程出发定量推导椭圆的简单几何性质。重点覆盖范围、对称性、顶点坐标、长轴与短轴概念及离心率定义，为后续双曲线与抛物线的性质探究提供方法范式。

三、学习目标确定

1. 能由标准方程推导出 与 ，说明椭圆位于直线 和 围成的矩形区域内。

2. 能利用代数替换法证明椭圆关于坐标轴与原点对称，准确写出四个顶点 、、、 的坐标。

3. 理解长轴长 与短轴长 的含义，掌握离心率 且 ，能说明 越接近 椭圆越扁平。

4. 能根据给定方程求出长轴长、短轴长、顶点坐标与离心率，体会代数方法研究几何性质的思想。

四、学习重点难点

重点为椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质的推导与应用。难点在于用代数方法研究几何性质，以及离心率对椭圆扁平程度的刻画。

五、【教学重点】

1. 范围推导：由方程 可知 ，，即 ，，这说明椭圆位于直线 和 围成的矩形框里。

2. 对称性验证：以 代 方程不变，椭圆关于 轴对称；以 代 方程不变，椭圆关于 轴对称；以 代 、以 代 方程不变，椭圆关于原点对称。坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，叫做椭圆的中心。

3. 顶点确定：令 得 ，令 得 ，椭圆与对称轴的四个交点 、、、 叫做椭圆的顶点。

4. 长轴与短轴：线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 和 ， 和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

5. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用 表示，即 。因为 ，所以 。 越接近 ， 越接近 ， 就越小，椭圆越扁平；反之 越接近 ，椭圆越接近于圆；当且仅当 时 ，图形变为圆 。

六、教学过程与学习活动设计

1. 复习引入：回顾椭圆标准方程 （）及关系式 ，引导学生思考如何从方程出发研究曲线的几何特征。

2. 性质推导：教师引导学生对方程进行代数变形。由 和 得到范围 与 ；分别以 、 代入方程验证不变性，得到对称性；令 、 求出四个顶点坐标。

3. 离心率探究：由 及 ，结合 分析 变化对扁平程度的影响。当 接近 时 偏小，椭圆扁平；当 接近 时 接近 ，图形趋近于圆。

4. 例题精讲：求椭圆 的长轴长、短轴长、顶点坐标与离心率。

解析：由方程知 ，，故 ，。长轴长为 ，短轴长为 。顶点坐标为 、、、。由 ，得离心率 。