3.1.2 椭圆的简单几何性质教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦椭圆的范围、对称性、顶点及离心率等几何性质，通过复习椭圆标准方程及a,b,c关系，引导学生从方程出发探究几何特征，搭建代数到几何的学习支架。 以代数推导为核心特色，通过方程变形验证范围、对称性，体现数学思维的逻辑性，离心率教学结合e与b的联动分析，后续可动态演示加深直观，培养几何直观与推理能力，例题练习具体，助学生掌握性质应用，提升教师教学效率，夯实解析几何基础。

选择性必修第一册 数学 3.1.2 椭圆的简单几何性质 教学设计-2026-2027学年 高二 人教A版 一、课型 课题 椭圆的简单几何性质 课型 新授课 教材 人教A版选择性必修第一册 章节 第三章 3.1.2 椭圆的简单几何性质 授课对象 高二学生 课时 1课时 二、教学内容分析 本课在椭圆标准方程 （）的基础上，从方程出发定量推导椭圆的简单几何性质。重点覆盖范围、对称性、顶点坐标、长轴与短轴概念及离心率定义，为后续双曲线与抛物线的性质探究提供方法范式。 三、学习目标确定 1. 能由标准方程推导出 与 ，说明椭圆位于直线 和 围成的矩形区域内。 2. 能利用代数替换法证明椭圆关于坐标轴与原点对称，准确写出四个顶点 、、、 的坐标。 3. 理解长轴长 与短轴长 的含义，掌握离心率 且 ，能说明 越接近 椭圆越扁平。 4. 能根据给定方程求出长轴长、短轴长、顶点坐标与离心率，体会代数方法研究几何性质的思想。 四、学习重点难点 重点为椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质的推导与应用。难点在于用代数方法研究几何性质，以及离心率对椭圆扁平程度的刻画。 五、【教学重点】 1. 范围推导：由方程 可知 ，，即 ，，这说明椭圆位于直线 和 围成的矩形框里。 2. 对称性验证：以 代 方程不变，椭圆关于 轴对称；以 代 方程不变，椭圆关于 轴对称；以 代 、以 代 方程不变，椭圆关于原点对称。坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，叫做椭圆的中心。 3. 顶点确定：令 得 ，令 得 ，椭圆与对称轴的四个交点 、、、 叫做椭圆的顶点。 4. 长轴与短轴：线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 和 ， 和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 5. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用 表示，即 。因为 ，所以 。 越接近 ， 越接近 ， 就越小，椭圆越扁平；反之 越接近 ，椭圆越接近于圆；当且仅当 时 ，图形变为圆 。 六、教学过程与学习活动设计 1. 复习引入：回顾椭圆标准方程 （）及关系式 ，引导学生思考如何从方程出发研究曲线的几何特征。 2. 性质推导：教师引导学生对方程进行代数变形。由 和 得到范围 与 ；分别以 、 代入方程验证不变性，得到对称性；令 、 求出四个顶点坐标。 3. 离心率探究：由 及 ，结合 分析 变化对扁平程度的影响。当 接近 时 偏小，椭圆扁平；当 接近 时 接近 ，图形趋近于圆。 4. 例题精讲：求椭圆 的长轴长、短轴长、顶点坐标与离心率。 解析：由方程知 ，，故 ，。长轴长为 ，短轴长为 。顶点坐标为 、、、。由 ，得离心率 。 答案：长轴长为 ，短轴长为 ，顶点坐标为 、、、，离心率 。 5. 巩固练习：求椭圆 的长轴长、短轴长、顶点坐标与离心率。 解析：，，，。长轴长 ，短轴长 。顶点为 、、、。，。 答案：长轴长为 ，短轴长为 ，顶点坐标为 、、、，离心率 。 6. 课堂小结：椭圆的几何性质可由标准方程直接读出，范围由 、 界定，对称性由方程不变性确定，顶点由坐标轴交点给出，离心率 刻画扁平程度。 七、板书设计 1. 范围：， 2. 对称性：关于 轴、 轴对称，关于原点对称 3. 顶点：，，，；长轴长 ，短轴长 4. 离心率：，； 越接近 越扁平， 越接近 越接近圆 八、教学反思与改进 本课以方程推导为主线，学生能较好掌握范围与对称性的代数验证方法。在离心率教学中，部分学生对 变化与 联动关系的理解仍需强化，后续可借助动态图象演示不同 值下椭圆形态的变化，加深直观感知。 学科网（北京）股份有限公司 $