阶段性练习卷(三)-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册练习手册（人教B版）

高中数学选择性必情第一册人教B版 阶段性练 一、单项选择题：本题共6小题，在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.若点A(2,3,2)关于x0z平面的对 称点为A',点B(-2,1,4)关于y轴的对称 点为B',点M为线段A'B的中点，则MA= () A.V30 B.3V6 C.5 D.V21 2.已知直线1的方向向量为a=(-1,0, 1),点A(1,2,-1)在l上，则点P(2,-1, 2)到1的距离为() A.V15 B.4 C.V17 D.3V2 3.已知平面a的法向量为n=(-2,-2, 1),点A(x,3,0)在平面a内，则点 P(-2,1,4)到平面a的距离为9，则x= A.-1 B.-11 C.-1或-11 D.-21 4.如图，在侧棱AA A1、 垂直底面ABCD的四棱柱 ABCD-ABCD1中，P是 棱DC上的动点.记直线 第4题图 AP与平面ABCD所成的 角为a,与直线DC1所成的角为B,二面 角D1-AC-B为Y,则a,B,Y的大小关系 (22)练 习卷（三) 是() A.a<B<y B.B<a<y C.a<y<β D.y<β<a 5.如图，在Rt△ABC中，D,E分别 为AB,AC边上的中点，且AB=4,BC=2. 现将△ABC沿DE折起，使得A到达A,的 位置，且二面角ADE-B为60°，则AC= 图1 图2 第5题图 A.2V2 B.3 C.V10 D.2V3 6.已知二面角a-l-B为60°，ABCx, AB1l,A为垂足，CDCB,C∈L,∠ACD= 135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦 值为() A.d B.V② 4 C.V3 4 D.2 二、多项选择题：本题共2小题，在每小题 给出的四个选项中，有多项符合题目 要求。 7.如图所示，在正三棱柱 ABC-ABC1中，AC=2a,BB1= 3a,D是AC的中点，点F 在线段AA1上，若CF⊥平面 BDF,则AF的长度为() 第7题图 A.a B.V3a C.2a D.2V3 a 8.在正方体ABCD-ABCD1中，若棱长 为1，点E,F分别为线段BD1,BC1上的动 点，则下列结论正确的是（) A.DB1⊥平面ACD B.平面ACB∥平面ACD1 C.点F到平面ACD,的距离为定值V3 3 D.直线AE与平面BBDD所成角的正 弦值为定值号 三、填空题：本题共4小题， 9.如图所示，在底面是 直角梯形的四棱锥P-ABCD 中，侧棱PA⊥底面ABCD, BC∥AD,∠ABC=90°，PA= AB=BC=2,AD=1,则AD到 平面PBC的距离为 第9题图 10.在正△ABC中，过其重心G作边 BC的平行线，分别交AB,AC于B1,C, 将△ABC1沿BC,折起到△ABC1的位置， 使点A,在平面BBCC上的射影恰好是线段 BC的中点M,则二面角A1-BC-M的平面角 的大小是 第一章空间向量与立体几何。 11.如图，直三棱柱ABC-ABC1的侧棱 AA1=V3,在△ABC中，∠ACB=90°，AC= BC=1,则点B,到平面ABC的距离为 第11题图 第12题图 12.如图，正方体ABCD-ABCD1的棱 长为1，则平面ABD与平面BCD1间的距 离为 四、解答题：本题共2小题，解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤， 13.直三棱柱ABC-ABC1的体积为4， △ABC的面积为2V2 (1)求点A到平面A,BC的距离； (2)设D为AC的中点，AA1=AB,平 面ABC⊥平面ABBA1,求二面角A-BD-C 的正弦值 B 0 B 第13题图 练(23 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 14.已知正方形ABCD的边长为4，E, F分别为AD,BC的中点，以EF为棱将正 方形ABCD折成如图所示的60°的二面角， 点M在线段AB上且不与点A,B重合，直 线MF与由A,D,E三点所确定的平面相 交，交点为O. (1)若M为AB的中点，试确定点0O的 位置，并证明直线OD∥平面EMC; (2)若CE⊥MF,求AM的长度，并求 此时点O到平面CDEF的距离. 图1 图2 第14题图 (24)练高中数学选择性必修第一册人教B版 小值？.故选C 3 12.方法一：(1)证明：如图1， D 连接BC,ME,M,E分别是BB, BC的中点， ME/BC,且MEBC D 又N为AD的中点， .ND-2AD. 图1 第12题答图 由题设知A BZDC, ..B CLA D,..MELND, .四边形MNDE是平行四边形，.MN∥ED. 又MN4平面CDE,MN∥平面CDE. (2)解：如图1，过C作CE的垂线，垂足为H, 由已知可得DE⊥BC,DE⊥C,C, .DE⊥平面CCE,故DE⊥CH, ·.CH⊥平面CDE,故CH的长即为C到平面CDE 的距离. 由已知可得CE=1,CC=4, CE=V17,故CH=4V17 17 “点C到平面CDE的距离为4Y7 17 方法二：(1)证明：如图2，：直四棱柱ABCD ABCD1的底面是菱形， AA=4,AB=2,∠BAD=60° E,M,N分别是BC,BB, AD的中点， .DD1⊥平面ABCD,DE⊥AD. 以D为原点，DA为x轴，DE 为y轴，DD,为z轴，建立空间直 角坐标系， 图2 M(1,V3,2),N(1,0,2), 第12题答图 D(0,0,0),E(0,V3,0), C(-1,V3,4)MN=(0,-V3,0), DC=(-1,V3,4),DE=(0,V3,0). 设平面CDE的一个法向量为n=(x,y,z), n-DC=-x+V3y44z=0, 则 n.DE=V3y=0, 取z=1,得n=(4,0,1). MN·n=0,MN4平面C,DE,MN∥平面CDE. (2)解：C(-1,V3,0),DC=(-1,V3,0), 78 平面CDE的一个法向量为n=(4,0,1), ..点C到平面CDE的距离 d=IDC.nl=4-4V17 ml717. >"阶段性练习卷（三） 1.C【解析】点A(2,3,2)关于xOz平面的对 称点为A',A'(2,-3,2) 点B(-2,1,4)关于y轴的对称点为B,B'(2, 1,-4). ·点M为线段A'B的中点，M(2,-1,-1),.lMA= V(2-2)+(-1-3)2+(-1-2)2=5.故选C. 2.C【解析】根据题意，得PA=(-1,3,-3),a= (..1) ma,)-Vg.又miV9,点P(2,-1, 2)到直线1的距离为1Pna,)=V9xVg V17.故选C 3.C【解析】P=(x+2,2,-4),而d=PAml 9,即上224-9，解得=-1或-1l.故选C V4+4+1 4.A【解析】如图所示，过A,作AM⊥CD交CD于 M(此时M与D重合)，易知AP与直线D,C,所成的角 =A,=:A1,系直 D A B 底面ABCD,故A,P与平面ABCD 所成的角为x=∠APA,sina= (MSD p --0 A:A1aBe0,5引 A之- B 第4题答图 故B>a:根据图可知，二面角DrAC-B为ye(受，， 故a<B<y.故选A. 5.A【解析】D,E分别为AB,AC的中点， DE∥BC,.DE⊥BD,DE⊥AD.又BD,ADC平面 ABD,BD∩AD=D,DE⊥平面ABD. 二面角A1DE-B的平面角为∠ADB,∴.∠ADB= 60°. .A D=BD=2,.A B=2. BC∥DE,.BC⊥平面ABD 又ABC平面ABD,BC⊥AB,A1C=VAB+BC =V4+4=2V2,故选A. 6.B【解析】如图所示，过点A作AE⊥l,使BE⊥ B,垂足为E,过点A作AF∥CD 过点E作EF⊥AE,连接BF .AE⊥I,.∠EAC=90°..CD∥AF 且∠ACD=135°，.∠FAC=45° .∠EAF=45°.在Rt△BEA中，设 第6题答图 AE=a,则AB=2a,BE=V3a,在Rt△AEF中，则EF= a,AF=V2a,在Rt△BEF中，则BF=2a,.异面直线 AB与CD所成的角，即是∠BAF,.cos∠BAF= A2X2,放选B 2AB·AF 2x2axV2 a 7.AC【解析】CF⊥平面BDF,∴.CF⊥DF 在矩形ACCA,中，设AF=m CD=DF2+CF2=CC+DCi=10a,D CF2=42+m2,②DF2=(3a-m)2+2,③ 联立①②③得m=a或m=2a,则AF的长度为a或 2a.故选AC. 8.ABC【解析】以A为坐标原点，可建立如图所示 的空间直角坐标系 B 第8题答图 由题意知，A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0), D(0,1,0),A(0,0,1),B(1,0,1),C(1,1,1), D1(0,1,1),设E(x,y,1),BE=ABD,即(x-1, y,0)=(-入，入，0)，E(1-入，入，1) 设F(1,y',z'),BFBC,即(0，y,)=(0,u, u),F(1,,u). DB1=(1,-1,1),AC=(1,1,0),AD1= DB1·AC=0, (0,1,1), :DB1⊥AC,DB1⊥AD,又 DBAD=0, AC,AD1C平面ACD1,AC∩AD1=A,.DB1⊥平面 ACD1,故A正确 DB1⊥平面ACD1,DB=(1,-1,1)为平面ACD, 的一个法向量.AC1=(1,1,0),AB=(1,0,-1), (DB A C:=0, DB1⊥AC1,DB1⊥AB.又AC, DBAB-0. ABC平面ACB,AC∩AB=A1,DB1⊥平面ACB, .平面A,CB∥平面ACD1,故B正确. :AF=(L,u,u),点F到平面ACD的距离d= 参考答案。 A.DB1=Y3,d为定值，故C正确。 IDB I V3 3 :几何体为正方体，AC⊥平面BBDD,AC= (1,1,0)是平面BBDD的一个法向量.又，AE=(1- 入，入，1)，设直线AE与平面BBDD所成角为0，则 sino=AC·AE MC.MEV2V2-2A+2,sin9不是定值， 故D错误.故选ABC. 9.V2【解析】由已知，得 AB,AD,AP两两垂直，.以A为 坐标原点，AB,AD,AP所在的直 线分别为x轴、y轴、z轴建立如图 所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(2,0,0), B C(2,2,0),P(0,0,2),PB=(2, 第9题答图 0,-2),BC=(0,2,0),设平面PBC的一个法向量为 n=(a,b,c), 则n形0，即 a-2c=0,令a=l,n=(1,0,1 n-BC=0, (2b=0. 又AB=(2,0,0),AD∥平面PBC, 六所求距离为MB:=V2。 Inl 10.牙【解析】如图，连接 AG,MG,G是正△ABC的重 B 心，BC∥BC,.B,C1⊥AG, GM⊥B,C,.∠AGM为二面角 A1-B,C-M的平面角.G是正 △ABC的重心，AG=2GM.又 第10题答图 AM⊥平面BB,C,C,.cos∠A,GMGM=1 AG2,∠A,GMm 3 11.Y3【解析】如图所示，建 21 立空间直角坐标系， 则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0, 0,0),A(1,0,V3),B(0,1, V3),C(0,0,V3), A A6=(-1,1,-V3),A,C=(-1,第11题答图 0,-V3),AB=(-1,1,0). 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), 则nAE=0,即y-V30, nAC=0,-x-V3z=0. 79 高中数学选择性必修第一册人教B版 令z=1,得x=-V3,y=0,n=(-V3,0,1). 点B,到平面ABC的距离d止n:AB-V3 2 12.Y了【解析】以点D为坐标原点，建立如图所 3 示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(1,0,1), B(1,1,0),D(0,0,1),AB =(0,1,-1),AD=(-1,0,-1), AD1=(-1,0,0). 设平面ABD的一个法向量 为n=(x,y,z), 第12题答图 则nAB0 即0， nAD=0, -x-z=0 令=1，得y=1,x=-1,n=(-1,1,1), ·点D到平面A,BD的距离d=AD三1 V3 V3 31 易证平面ABD∥平面B,CD1, .平面ABD与平面B,CD1间的距离等于点D,到平 面ABD的距离 ·平面ABD与平面B,CD,间的距离为V3 3 13.解：(1)三棱锥A-ABC的体积是三棱柱ABC A,BC,体积的子，即Vc=号.设A点到平面A,BC的 距离为么，则=兮×2V7h即号行2V2h, h=V2,即A点到平面ABC的距离为V2. (2)连接AB,交AB于点E,AA1=AB,AE⊥ AB,又平面ABC⊥平面ABBA,所以AE⊥平面ABC ,AE⊥BC.由(1)知点A到平面ABC的距离为1V2, 故AE=V2,AB=2V2,AA1=AB=2.由直三棱柱 ABC-AB,C,中，AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥BC,从而 BC⊥平面ABBA1,故BC⊥AB,BC⊥AB.由已知号BC× AB=2V2,所以BC=2,以B为坐标原点，BC的方向 为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,则 A(0,2,0),C(2,0,0),B(0,0,2),D(1,1,1),BD =(1,1,1),AB=(0,-2,0),AB1=(0,-2,2),设n= (x,y,)为平面DAB的法向量，则 m-BD=-0,即 n·AB=0 80 x+y+z=0 -2y=0 可取n=(1,0,-1). 第13题答图 因为AEL平面ABC,所以AB为平面DCB的一个 法向量，有cosm,AB)=nAB .4B产-2，故二面角A BD-C的正弦值为V3 2 14.解：(1)如图，延长FM交EA的延长线于O, .M为AB中点，AE∥BF,M也为OF的中点. 又AB∥EF,∴A为OE的中点， 连接DF交CE于N,则DO∥MN. 又DO4平面EMC,MWC平面EMC, .∴D0O∥平面EMC. (2)如图，取AE的中点H, 由题意可知，EF⊥平面 T、V DEA,EF⊥平面CFB, JE￥ ∴.∠DEA=∠CFB=60°， .·.△DEA与△CFB是全 等的正三角形. 以H为原点建立空间直 第14题答图 角坐标系如图」 设AM=t,则D(0,0,V3),M(1,t,0),E(-1, 0,0),C(0,4,V3),F(-1,4,0), :CE=(-1,-4,-V3),MF=(-2,4-t,0)· CE1MR,CE,2-16+4=0,解得=子， AM的长度为子 过O作OT⊥DE于T,则由EF⊥平面DEA,得 OT⊥平面CDEF,即OT为点O到平面CDEF的距离. 80-0.092子，01=4,05=16 2 :OT=0Bsin7=16xY3=8V3,点0到平面CDEF 3 2 的距离为8√3.