阶段性练习卷(二)-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册练习手册（人教B版）

线为z轴，建立空间直角坐标系， 设AB=1,则B(1,1,0),D(-1,0,1),BD1=(-2, -1,1),平面ABCD的法向量n=(1,0,0) 设直线BD,与平面AB,CD所成角为6，则sin0= ®w-y- ,直线 IBD:lInl V6 V6 BD,与平面AB,CD所成角的正切值是tan0=sin6=V2 8.V2【解析】如图， B 设A,在平面ABC内的射影为 O,以0为坐标原点，OA,OA X A 0 B 所在直线分别为x轴、z轴，过 O作OA的垂线为y轴，建立空 第8题答图 间直角坐标系.设△ABC的边长 为1，则A3,0,0,B-Y3 V6 3 5, 3 平面ABC的法向量n=(0,0,1), 则AB,与底面ABC所成角&的正弦值为 1V6 sina=lcos(A B,n)l=- 3 384+日 3 9.B【解析】如图，设AB=2a,则 0A=2a,0M=0B=0C=a,∴.001= V4a2-a=V3 a,OC=V3a2+a2=2a. -10-B .C01⊥AB,C01⊥001，AB∩001= 01,.C01⊥平面A0B,∴.∠C001是0C 第9题答图 与平面OAB所成角，sinC00,=C0= CO ,∠C00,=30,0C与平面01B所成角为30.故 1 选B 10.号【解析】如图，取AB的中点为O,连接C0, PO,.PA⊥平面ABC,.PA⊥OC.,AC=BC,O是AB的 中点，∴AB⊥OC又PA∩AB=A,.C0p平面PAB,则 ∠CPO为PC和平面PAB所成的角. .AC=BC=2,ACLBC,.AB=2V2, CO-]AB-V2,P0=VPAOA- 3V2,tan∠CPo=C0=1, Op3,∴PC 第10题答图 和平面PHB所成角的正切值为； 参考答案。 提升练习 11.(1)证明：如图，取PB的 中点M,连接EM,FM,.E,M分 别是PC,PB的中点，.EM∥BC, EW=}BC:四边形ABCD是正方 形，F是AD的中点，DF∥BC, A DF:号BC,四边形DEMF是平行 第11题答图 四边形，.DE∥FM.又.DE平面PFB,FMC平面PFB, DE∥平面PFB. (2)解：PD⊥平面ABCD,BCC平面ABCD, .PD⊥BC..·四边形ABCD是正方形，..BC⊥CD.又 ·PDC平面PCD,CDC平面PCD,PD∩CD=D,.·BC⊥ 平面PCD,∴∠BPC为直线PB与平面PCD所成的角. .PD=DC=BC,.PC=V2 CD=V2 BC,..tan L BPC=BC= PC 12.(1)证明：以A为原 点，在平面ACD中，过A作 AD的垂线为x轴，AD所在直 D 线为y轴，AB所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0),C(V3,1,0), 第12题答图 00.20.f,}.0.80.0.1.50.2 2,Af,3,0,BC=(V3,,-0,E (0,2,1). 设平面BCE的法向量n=(x,y,z), n.BC=V3x+y-2=0, 则 n.BE=2y+2=0, 取y=1,得n=(-V3,1,-2).AFn=0,AF 平面BCE,∴AF∥平面BCE. (2)解：AD=(0,2,0),平面BCE的一个法向量为 n=(-V3,1,-2),设直线AD与平面BCE所成角为 则物哥。孚.线0与面 BCE所成角的正弦值为Y2 4.1 ■阶段性练习卷（二) 1.B【解析】mn=0,即m上n,不一定有l∥x, 71 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 也可能lCa,,∴.充分性不成立.，l,可以推出m⊥n, .“mn=0”是“l∥a”是必要条件.综上所述，“mn= 0”是“L∥α”的必要不充分条件.故选B. 2.B【解析】分别以DA,DC,DD1所在直线为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（图略），不妨 设正方体的棱长为1，则DA=(1,0,1),AC=(-1, 1,0),E30,3),F号，30，㎡ 兮，号号），F.m0,AC-0,BF1 AD,EF⊥AC.又BD=(-1,-1,1),.BD=-3EF, 即EF与BD,平行.故选B. 3.B【解析】如图，以D为 原点，DA所在直线为x轴，DC D 所在直线为y轴，DD,所在直线为 z轴，建立空间直角坐标系， A(2,0,0),E(1,2,0), A-- F(0,2,1),A(2,0,2),AE= (-1,2,0),AF=(-2,2,1). 第3题答图 设平面AEF的法向量n=(x,y,z)，则 n-AE=-x+2y=0, 取y=1,得n=(2,1,2).设Pa,2, n-AF=-2x+2y+a=0, c),0≤a≤2,0≤c≤2，则AP=(a-2,2,c-2).AP平行于 平面AEF,,AP·n=2(a-2)+2+2(c-2)=0,整理得a+c=3, .线段A,P长度4P=V(a-2)+22+(c-2y=V(a-2+4+(1-a =√20+号，当且仅当a=子时，线段AP长度取 2 最小值32故选B 4.A【解析】BC⊥AC,PA1 平面ABC,.∴.PA⊥BC.又PA∩AC A,.BC⊥平面PAC,.平面PAC ⊥平面PBC.如图，过点A作AE⊥ 30 60>B PC,AE⊥平面PBC.连接ED,则 090 ∠ADE为AD与平面PBC的夹角. c 设PA=2a,AB=2a,∴PB=2V2a.故 第4题答图 4D=V2a在△ABC中，AC=AB·sin60°=2a×Y)3 V3a,.在△APC中，PC=V3a+4a=V7a.设 ∠ACP=0,则4E=1Cs0=1AC=V3a:2。 V7a (72 N 2V21a 2V3 d=2V21 0.:sin LADE-4R-7-V4Z VT 7 AD V2 a 7 即AD与平面PBC夹角的正弦值为V42 7 5.B【解析】设AA1=t,以B为原点，过B作BC的 垂线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系，则 AV3,1,0,E,},,B0,0.0. 3小 ㎡，分小 :AE和BF所成角的余弦值为 10 cos(AE,BF=ME.BF」 IAE IBFI V记解得2 第5题答图 A正Y空，子，2，平面80CA的法向量 (1,0,0),∴AE与平面BCCB,所成角α的正弦值为 V3 sin=M正，l.2=Y压.故选B. IAE'llnl V5 10 6.C【解析】如图，以D为 坐标原点，DC,DA,DD1所在直 线为x轴、y轴、z轴建立空间直 C 角坐标系，可设P(0,y,),由 A(0,1,0),C1(1,0,1),0<y< 1,0<<1,AP=(0,y-1,z), 第6题答图 DC1=(1,0,1),DA=(0,1,0), 设直线AP与平面AAB,B所成角为0，异面直线AP与 DC,所成角为&，由平面AABB的一个法向量为DA= (0,1,0), 可得cosa=cos(AP,DC)= V2.V+(y-1) sin=lcos(AP,DA)l=- 1-y ,0<y<1, 2+(y-1)7 由sin0=cosa,可得=V2(1-y),则 DiV4=Vy+21P-V3-号+号. 当)=号时，线段DP长度的最小值为Y5.故选C 3 7.ABD【解析】PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.又 AC⊥BD,AC∩PA=A,BD⊥平面PAC.PCC平面 PAC,.PC⊥BD.故ABD成立.故选ABD. 8.ABD【解析】A,B,M,N空间中的四点，若 BA,BM,BN不能构成空间向量的一组基底，则BA, BM,BN共面，则A,B,M,N四点共面，故A正确； 已知{a,b,c为空间向量的一组基底，：a,b,c不共 面，若m=+c,则a,b,m也不共面，故{a,b,m 也是空间向量的一组基底，故B正确；·en=1×(-2)+0x 043x号-0，eLm,lCa或/a,故C错误：cose, -2+6 0)V02V2=,直线1与平面a所成 角的正弦值为YS,故D正确散选ABD 9.(2,-4,-1)或(-2,4,1)【解析】由A(1, -2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1),可得AB=(-1 -1,2),AC=(1,0,2). nAB=0. 设n=(x,y,z),根据题意可得n-AC=0,可得 Inl=V21, -x-y+2z=0, x=2, x=-2 x+2z=0,解得y=-4,或y=4, x2+y2+z2=21, 2=-1z=1, n=(2,-4,-1)或n=(-2,4,1). 10.)【解析】如图，分别以 AB,AD,AA1所在直线为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系. 设AB=a,P(0,0,b),则A(0, 0,0),B(a,0,1),D(0,1,0), E(经，1,0.于是AB=(a,0,1), 第10题答图 AE=号，1,0，DF=(0,-1,b) :DP∥平面BAE,∴存在实数入，A,使DP=AAB+ uAE，即(0，-1，b)=A(a,0,1)w(号，1,0)= aa+%-0, Aa+贤，k,入，=-1， b=A=3,即AP) 入=b. 山【解析】如图，以D为原点，D1:所在 直线为x轴，D,C,所在直线为y轴，DD所在直线为z 参考答案。 轴，建立空间直角坐标系， E(1,2,0),F(0,1,0), H(0,1,2),C(0,2,2), EC=(-1,0,2), EF=(-1,-1,0), A B E7=(-1,-1,2) 第11题答图 设平面PEFH的一个法向量为n=(x,y,z), ..(n.EF=-x-y=0, 取x=1,得n=(1,-1,0). n-EH=-x-y+2z=0, 设CE和该截面所成角为0， GmV5V?沿，d6和该裁 则sin=CE,l。1 面所成角的正弦值为Y0 10 2. 【解析】设正方体的棱长为2， 建立如图所示的空间直角坐标 系，则0(1,1,0)，A(2, 0,2),B(2,2,0),C(0,2,2), 设P(a,2-a,2)(0≤a≤2)，xA 则0p=(a-1,1-a,2),AB= 第12题答图 (0,2,-2),AC=(-2,2,0).由于n=(1,1,1)使 nAB=(1,1,1)(0,2,-2)=0,nAC=(1,1,1)· (-2,2,0)=0,.n=(1,1,1)是平面ABC1的法向量， .'.sin n-OP -1+1-a+2 ialloP V3V2X(a1+2 =2× 6 .由于0≤a≤2，V(a-1)+2e[V2, V(a-1)+2 V3], v,。 1 voe,9 1 13.解：由已知BC⊥AC,BC1 PA,AC∩PA=A,.BC⊥平面PAC, BC⊥PC.如图，过PB的三等分点 D作DE∥BC,则DE⊥平面PAC. 2- 连接AE,AD,则∠DAE为AD与 平面PAC的夹角.不妨设PA=AB= L,∠ABC-60,BC3,DB=号 第13题答图 x3},B=V2,B0=Y写2. 73 高中数学选择性必修第一册人教B版 在△ABD中，ADP=AB2+BD2-2AB·BD·c0s45°= 9 1 AD=Y35sim∠DAPE 3 .V5 AD 5 3 即AD与平面PAC夹角的正弦值为V5 5 14.(1)解：如图，由已 知AD∥BC,故∠DAP或其补 角即为异面直线AP与BC所 B 成的角. .AD⊥平面PDC,AD1 PD.在Rt△PDA中，由已知， 第14题答图 得AP-VAD+PD=V5,故cos∠DAP-AD=VS 异面直线AP与BC所成角的余弦值为VS. 5 (2)证明：AD⊥平面PDC,直线PDC平面PDC, .AD⊥PD.又.BC∥AD,PD⊥BC.又.PD⊥PB,BC∩ PB=B,.PD⊥平面PBC. (3)解：过点D作AB的平行线交BC于点F,连接 PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所 成的角..PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的 射影，.∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角. 由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1,由已知， 得CF=BC-BF=2.又：AD⊥DC,故BC⊥DC. 在Rt△DCF中，可得DF=VCD+CF=2V5, 在Rt△DPF中，可得sin∠DFP-PD=VS DF 5 ·直线AB与平面PBC所成角的正弦值为V5 5 1.2.4二面角 效果评价 1.B【解析】如图，连接AC, D BD,相交于点O,AB=BC, ∴.OC⊥BD,而△BCE≌△DCE, D .BE=DE,则OE⊥BD,∴.∠EOC - 为二面角E-BD-C的平面角.设 第1题答图 AB=BC=2,则0C=2AC=V2, AA=2V2,则CE=号CC=2AA=V2,LE0C= 4 即二面角EBD-C的平面角的大小为平.故选B。 2.A【解析】设AP=AB=1,如图，以A为原点， 74 AB所在直线为x轴，AD所在 直线为y轴，AP所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，P (0,0,1),D(0,1,0),C B (1,1,0),PC=(1,1,-1), PD=(0,1,-1) 第2题答图 设平面PCD的一个法向量为m=(x,y,z), 则mPCx+-0取，得m=0.1,1 m…PD=y-z=0, 平面ABP的一个法向量为n=(0,1,0)· 设平面ABP与平面CDP所成的角为O, 则cos0mm=1=V2, Imllnl V2x1 2 =耳故选A 3.D【解析】如图所示，三棱锥底面积一定，欲 使得三棱锥体积最大，只需三棱锥的高最大即可， 即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大， ∴当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大 时，二面角B-AC-D的大小为90°.故选D. 第3题答图 第4题答图 4.B【解析】取AB的中点O,连接OC,OA1,则 AB⊥OC,AB⊥OA1,建系如图所示，设OA=OB=1,则 OA=OC=V3,则平面ABB,的法向量为m=(1,0,0), B(0,1,0),C(-V3,0,0),A1(0,0,V3), M(0,1,V3),B,(0,2,V3), 则BC=(-V3,-1,0),BB1=(0,1,V3) 设平面BB,C的一个法向量为n=(x,y,z), 则m~Bc=0,-V3x-)=0, nBB,=0,y+V3z=0. 令x=1,得n=(1,-V3,1), mm品方学故法B 5.A【解析】如图，连接BM,DM,得AC⊥B'M, AC⊥DM,阶段性练 一、单项选择题：本题共6小题，在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.已知直线l的方向向量为m,平面 的法向量为n,则“mn=0”是“l∥a”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.如图所示，在正方体ABCD-AB,CD 中，点E,F分别在AD,AC上，且AE= 子AD,AF}AC,则() 第2题图 A.EF至多与AD,AC之一垂直 B.EF⊥AD,EF⊥AC C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面 3.如图，在棱长为2的正方体ABCD ABCD1中，点E,F分别是棱BC,CC的 中点，P是侧面BCCB,内一点，若AP平行 于平面AEF,则线段AP长度的最小值为 第一章空间向量与立体几何。 习卷（二）】 D- 第3题图 A.V2 B.3V2 2 C.V3 D.V5 4.在三棱锥PABC中， PA⊥平面ABC,PA=AB, ∠ABC=60°，∠BCA=90°.AD 与平面PBC的夹角的正弦值 为() 第4题图 A.V42 B.V7 7 7 C.V2 D.V47 7 7 5.在正三棱柱ABC-ABC,中，AB=2, E,F分别为AC和AB,的中点，当AE和 BF所成角的余弦值为7时，AE与平面 10 BCCB1所成角的正弦值为() A.V15 B.V15 5 10 C.V5 D.V5 10 5 6.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD1 中，已知点P是正方形AADD内部（不含 边界)的一个动点，若直线AP与平面 AABB所成角的正弦值和异面直线AP与 练（15 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 DC1所成角的余弦值相等，则线段DP长度 的最小值是() A.V6 B.2V2 2 3 c D青 二、多项选择题：本题共2小题，在每小题 给出的四个选项中，有多项符合题目 要求， 7.在菱形ABCD中，若PA是平面 ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的 是() A.PA·AB=0 B.PC·BD=O C.PC·AB=0 D.PA.CD=0 8.下列命题中正确的是（) A.A,B,M,N是空间中的四点，若 BA,BM,BN不能构成空间向量的一组基 底，则A,B,M,N四点共面 B.已知{a,b,c}为空间向量的一组 基底，若m=a+c,则{a,b,m}也是空间 向量的一组基底 C.若直线l的一个方向向量为e= (1,0,3),平面a的一个法向量为n= -2,0,子，则直线1/a D.若直线l的一个方向向量为e=(1, 0,3),平面ax的一个法向量为=(-2,0,2)， 则直线1与平面α所成角的正弦值为V5 5 (16)练 三、填空题：本题共4小题， 9.在空间直角坐标系中，已知三点 A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1), 若向量n与平面ABC垂直，且Inl=V21,则 n的坐标为 10.如图，在长方体ABCD-AB1CD1中， AA=AD=1,E为CD的中点，点P在棱AA1上， 且DP∥平面BAE,则AP的长为 E 第10题图 11.正方体ABCD-ABCD1的棱长为2， M,N,E,F分别是AB1,AD,BC1,CD 的中点，过EF且与MW平行的平面截BC 于点P截DC于点H,则CE和该截面所成 角的正弦值为 12.如图，在正方体ABCD-AB1CD1中， O是AC的中点，点P在线段AC1上，若直 线OP与平面A,BC1所成的角为0，则sin0 的取值范围是 D 第12题图 四、解答题：本题共2小题，解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 13.在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC, PA=PB,∠ABC=60°，∠BCA=90°.若D为PB 上的一点，且BD=}BP,求AD与平面 PAC夹角的正弦值， 第一章空间向量与立体几何。 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥ 平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC= 3,CD=4,PD=2 (1)求异面直线AP与BC所成角的余 弦值； (2)求证：PD⊥平面PBC; (3)求直线AB与平面PBC所成角的正 弦值 B 第14题图 练(17