1.4充分条件与必要条件课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“充分条件与必要条件”，从初中命题概念导入，通过辨析命题真假及“若p则q”形式，搭建从命题到条件关系的学习支架，衔接集合与常用逻辑用语知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动概念生成，如通过真/假命题对比引出定义，培养数学思维的推理意识。采用集合法及“小充分，大必要”口诀辅助理解，发展数学眼光的抽象能力。充要条件证明步骤清晰，结合方程根等实例训练数学语言表达，助力学生掌握逻辑关系，方便教师教学实施。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 1 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题 导入新知 在初中，我们已经对命题有了初步的认识．一般地，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 返回至目录 2 判断下列语句是不是命题，并判断真假 （1）他太帅了！ （2）正方形的四条边相等。 （3）x>3 （4）若x2-4x+3=0，则x=1。 （5）你多大了？ 不是命题 是命题，真命题 不是命题 是命题，假命题 不是命题 概念辨析 命题常见形式：“ 若p, 则q” 条件 结论 返回至目录 新知探索 思考1：下列“若,则”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若，则； (4)若平面内两条直线和均垂直于直线,则. 真 真 假 假 新知生成 一般地，“若,则”为真命题，是指由通过推理可以得出这时，我们就说，由可以推出记作并且说，是的充分条件，是的必要条件. 如果“若,则”为假命题，那么由条件不能推出记作此时，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件. 充分条件与必要条件 如果q不成立，那么p一定不成立，所以q对于p成立 返回至目录 5 特别提醒： 1. <m></m> 的含义 （1）“若 <m></m> ，则 <m></m> ”形式的命题为真命题． （2）由条件 <m></m> 可以得到结论 <m></m> ． （3） <m></m> 是 <m></m> 的充分条件或 <m></m> 的充分条件是 <m></m> ； <m></m> 是 <m></m> 的必要条件或 <m></m> 的必要条件是 <m></m> ． （4）只要有条件 <m></m> ，就一定有结论 <m></m> ，即 <m></m> 对于 <m></m> 是充分的， <m></m> 对于 <m></m> 的成立是必要的． （5）为得到结论 <m></m> ，具备条件 <m></m> 即可． 显然， <m></m> 是 <m></m> 的充分条件与 <m></m> 是 <m></m> 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即 <m></m> ，只是说法不同而已． 返回至目录 6 思考：平面中，若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；这个命题是真命题还是假命题？ 问题1：四边形的两组对角分别相等是四边形是平行四边形充分条件吗？是唯一的充分条件吗？你还能再举几个不同的充分条件吗？ 问题2：四边形是平行四边形的一个必要条件是四边形的两组对角分别相等，是唯一的必要条件吗？ ①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； ③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；等 返回至目录 新知运用 一、必要条件的判断 例1 下列“若 <m></m> ，则 <m></m> ”形式的命题中，哪些命题中的 <m></m> 是 <m></m> 的必要条件？ （1）若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形的两条对角线相等； （2）若 <m></m> 是直角三角形，则 <m></m> 是等腰三角形； （3）若 <m></m> ，则 <m></m> ； （4）若关于 <m></m> 的方程 <m></m> 有唯一解，则 <m></m> ． </m> 是 不是 <m> 是 不是 <m> 返回至目录 8 二、充分条件的判断 例2 下列“若 <m></m> ，则 <m></m> ”形式的命题中，哪些命题中的 <m></m> 是 <m></m> 的充分条件？ （1）若 <m></m> ，则 <m></m> ； （2）若 <m></m> ，则 <m></m> ； （3）若 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> ； （4）若 <m></m> ，则 <m></m> ； （5）若四边形 <m></m> 是正方形，则四边形 <m></m> 是菱形. </m> 是 <m> </m> 是 <m> 不是 不是 <m></m> </m> 不是 <m> 返回至目录 9 充分条件、必要条件的判断方法 （1）定义法： 方法总结 返回至目录 10 充分条件、必要条件的判断方法 （2）集合法： 方法总结 p：x∈A，q：x∈B (1)若A⊆B，则p是q的充分条件 (2)若B⊆A，则p是q的必要条件 小范围 大范围 口诀：小充分，大必要 返回至目录 11 1. 设集合，，则“”是“ ”的______条件. （填“充分”或“必要”） 必要 2. 设集合，，那么“”是“ ”的 ______条件.（填“充分”或“必要”） 充分 巩固训练 返回至目录 12 巩固训练 3. 是的______条件.（填“充分”或“必要”） 4. 若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的______条件.（填“充分”或“必要”） 充分 充分 返回至目录 充分条件、必要条件的判断方法 （3）等价替换法： 方法总结 当命题中的否定词很多时，可以将命题进行等价替换： 如果q不成立，则p不成立等价于如果p成立，则q成立 （4）传递法： 若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的“推式图”，根据图中推式的传递性进行判断 返回至目录 14 探究2 充要条件 二、逆命题 将命题“若,则”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“若,则”，称这个命题为原命题的逆命题. 若,则 原命题 若,则 逆命题 返回至目录 15 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac<0； (4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集．   返回至目录 16 新知生成 充要条件 （1） 如果“若 ，则 ”和“若 ，则 ”均是真命题，即既有________，又有________，就记作_________.此时， 既是 的充分条件，也是 的必要条件，我们说 是 的充分必要条件，简称为___________． <m></m> <m></m> <m></m> 充要条件 （2） 当 是 的充要条件时， 也是 的_______条件． 充要 （3） 是 的充要条件也常常说成“ 成立___________ 成立”或“ 与 _______”． 当且仅当 等价 返回至目录 17 特别提醒：从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件. （1）若，则称是的充分条件，是 的必要条件． （2）若，则是 的充要条件． （3）若，且，则称是 的充分不必要条件． （4）若，且，则称是 的必要不充分条件． （5）若，且，则称是 的既不充分也不必要条件． 返回至目录 18 课本22页第2题 指出下列各题中，是 的什么条件.（在“充分不必要条件” “必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答） 运用新知 返回至目录 19 新知运用 例3 指出下列各题中， <m></m> 是 <m></m> 的什么条件.（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件” “既不充分也不必要条件”中选出一种作答） （1）在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> . （2） <m></m> 或 <m></m> ， <m></m> ：方程 <m></m> 有两个不同的实根. （3）已知 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> . 返回至目录 20 新知运用 例3 指出下列各题中， <m></m> 是 <m></m> 的什么条件.（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件” “既不充分也不必要条件”中选出一种作答） （1）在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> . （2） <m></m> 或 <m></m> ， <m></m> ：方程 <m></m> 有两个不同的实根. （3）已知 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> . [解析] （1）在 中，显然有 ， 是 的充要条件. （2）方程 有两个不同的实根 ，且 ，且 , 是 的既不充分也不必要条件. （3） , 是 的充要条件. 返回至目录 21 巩固训练1 ， 中至少有一个不为零的充要条件是( ) . D A. B. C. D. 返回至目录 22 巩固训练2 若“或”是“或 ”的必要不充分条件，则实数 的取值范围是_______________． 返回至目录 23 探究3 充要条件的证明 已知关于的方程有两个负实根的充要条件是 . 问题1: 由得到方程 有两个负实根，这个过程是“充分性”还是 “必要性”？ [答案] 充分性.是条件，方程 有两个负实根是结论. 问题2: 由方程有两个负实根直接求解得到的取值范围，则 的取值 范围是方程 有两个负实根的什么条件？ [答案] 必要条件. 返回至目录 24 充要条件的证明一般分为两个步骤，即分别证明“充分性”和“必要性”这两个方 面．解题时要避免将充分性当作必要性来证明，这就需要分清条件与结论，若“条件” “结论”，则是证明充分性，若“结论” “条件”，则是证明必要性． 学习新知 返回至目录 25 例4 证明：一元二次方程 有一个正实数根和一个负实数根的充要条 件是 . 运用新知 返回至目录 26 [解析] 先证充分性：，， . 方程 有两个实数根． 设方程的两个根分别为， ， 则 ， 一元二次方程 有一个正实数根和一个负实数根． 再证必要性： 一元二次方程 有一个正实数根和一个负实数根， ，且 ， . 故一元二次方程 有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是 . 返回至目录 27 巩固训练 求证：关于的方程 有一个根是1的充要条件是 ． [解析] 设，方程 有一个根是1． ①必要性： 是方程 的根， ，即 ． 返回至目录 28 ②充分性： 由，得 ． ， ， ， 即 ， 是方程的一个根． 故关于的方程有一个根是1的充要条件是 ． 返回至目录 29 1.若，则“”是“ ”的( ) . A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 [解析] 因为“” “”，而“”“ ”，所以 “”是“ ”的充分不必要条件，故选A． 返回至目录 30 2.若是的必要不充分条件，则实数 的值为 ( ) . D A. B.或 C. D.或 [解析] 由，得或 . ， ， 又是 的必要不充分条件， 或，解得或 ． 返回至目录 31 3.函数的图象关于直线 对称的充要条件是________． [解析] 若函数的图象关于直线对称，则，即 ； 反之，若，则函数的图象关于直线 对称． 返回至目录 32 4.已知，；.若是的充分条件，求实数 的取值 范围． [解析] 设集合, ， ． 因为，所以 ， 所以解得 ， 所以实数的取值范围是 ． 返回至目录 33 $