综合测试卷（四）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣教材核心考点，通过基础巩固与能力提升分层设计，构建“概念-应用-实践”逻辑链条，培养数学思维与数据观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|8题（如函数周期、数列定义）|侧重定义辨析与简单计算|概念生成→公式推导→基础应用| |综合应用|12题（如二项式定理、概率计算）|强调知识整合与逻辑推理|多章节知识交叉→方法迁移→综合解题| |实践情境|6题（如九连环、销售额回归）|结合生活实例构建模型|现实问题→数学抽象→模型求解→结论解释|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（ ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．函数的最小正周期和最大值分别为（    ） A． B． C． D． 4．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串按一定移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要最少移动的次数，数列满足，且则解下5个环所需要最少移动的次数为（   ） A．7 B．10 C．16 D．31 5．在数列中，，则的值为（    ） A．99 B．201 C．102 D．101 【答案】B 6．若是数列的前项和，若，则 是（ ） A．等比数列，但不是等差数列 B．等差数列，但不是等比数列 C．等差数列，而且也是等比数列 D．既非等比数列，也非等差数列 7．如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有（    ）种．    A． B． C． D． 8．空间中有个点，其中有个点在同一个平面内且无三点共线，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为（　　） A． B． C． D． 9．在的二项展开式中，若第4项与第7项的二项式系数相等，则该二项展开式中的常数项为（   ） A．84 B．56 C．20 D．0 10．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的机会的概率为，得到乙、丙两公司面试的机会的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试机会的公司个数．若，则随机变量X的数学期望（    ） A． B． C． D． 11．某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布．现随机购买10只该商家的海产品，则至少买到一只质量小于265克该海产品的概率为（    ） ，则： A． B． C． D． 12．某小组7名学生的中考体育分数（满分为分）如下：，该组数据的众数、中位数分别为（    ）． A． B． C． D． 13．某产品的宣传费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如表所示： 4 5 6 7 8 60 80 90 100 120 根据上表可得回归方程，则宣传费用为9万元时，销售额最接近（   ） A．123万元 B．128万元 C．132万元 D．138万元 14．在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 15．在《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧.如图，正方形的边长为4，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点 作第3个正方形，依此方法一直继续下去，记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，…，第个正方形的面积为，则前5个正方形的面积之和为（    ） A．30 B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 16．______． 17．在中，角，，的对边分别为，，，若，，成等差数列，且，，则角等于______. 18．今4名医生分别到、、三所医院支援抗疫，每名医生只能去一所医院，且每个医院至少去一名医生，则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为________． 19．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为，假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲执黑子先下，则甲、乙各胜一局的概率为________. 20．若一组数据2，3，，1，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为______. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)用“五点法”作出该函数一个周期内闭区间上的简图. 22．已知数列的前项和，数列满足. (1)求数列、的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 23．在的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和； (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)的奇次项系数和与的偶次项系数和. 24．已知是锐角三角形，内角，，的对边分别为，，，且边，是方程的两个根，角，满足.求： (1)边的长度； (2)若角是最小内角，求的值. 25．从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (1) 求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差 （同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）； (2) 由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差，为监控该产品的生产质量，每天抽取10个产品进行检测，若出现了质量指标值在之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①假设生产状态正常，记表示一天内抽取的10个产品中尺寸在之外的产品数，求 ②请说明上述监控生产过程方法的合理性． 附： 26．为了探讨学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并已计算出，，，，试求： (1)物理成绩关于数学成绩的回归直线方程（结果保留一位小数）； (2)当数学成绩为92分时，物理成绩的线性回归估计值（取整数）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（ ） A． B． C． D． 【答案】C 解析： ，故选：. 2．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：已知，因此，故选：A. 3．函数的最小正周期和最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解析：由，且， 可得，最大值为.故选：B. 4．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串按一定移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要最少移动的次数，数列满足，且则解下5个环所需要最少移动的次数为（   ） A．7 B．10 C．16 D．31 【答案】C 解析：因为数列满足，且 所以 故选：C. 5．在数列中，，则的值为（    ） A．99 B．201 C．102 D．101 【答案】B 解析：∵，∴数列为等差数列，且公差，又∵，∴，∴．故选：B． 6．若是数列的前项和，若，则 是（ ） A．等比数列，但不是等差数列 B．等差数列，但不是等比数列 C．等差数列，而且也是等比数列 D．既非等比数列，也非等差数列 【答案】B 解析：当时，;当时， 又时，，满足通项公式，所以此数列为等差数列.故选B. 7．如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有（    ）种．    A． B． C． D． 【答案】D 解析：首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，第三个格子有5种选择，第四个格子也有5种选择，根据分步计数原理得，共有（种）涂色方法．故选：D. 8．空间中有个点，其中有个点在同一个平面内且无三点共线，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 解析：从个点中任取个点的情况有种；其中无法构成四面体的情况有种；共可构成个四面体.故选：A. 9．在的二项展开式中，若第4项与第7项的二项式系数相等，则该二项展开式中的常数项为（   ） A．84 B．56 C．20 D．0 【答案】A 解析：在的二项展开式中，若第4项与第7项的二项式系数相等，则，所以，∴通项为，令，则， ∴常数项为，故选：. 10．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的机会的概率为，得到乙、丙两公司面试的机会的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试机会的公司个数．若，则随机变量X的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】D 0 1 2 3 解析：解：因为，因为，所以．由题意得随机变量的可能取值为0，1，2，3，所以，，，，所以X的分布列为 所以．故选：D． 11．某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布．现随机购买10只该商家的海产品，则至少买到一只质量小于265克该海产品的概率为（    ） ，则： A． B． C． D． 【答案】B 解析：因为单只海鲜产品质量，所以，，则， 所以， 现随机购买只该商家的海产品，则至少买到一只质量小于克该海产品的概率.故选：B 12．某小组7名学生的中考体育分数（满分为分）如下：，该组数据的众数、中位数分别为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 解析：将数据重新排列为，所以该组数据的众数为，中位数为， 故选：D 13．某产品的宣传费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如表所示： 4 5 6 7 8 60 80 90 100 120 根据上表可得回归方程，则宣传费用为9万元时，销售额最接近（   ） A．123万元 B．128万元 C．132万元 D．138万元 【答案】C 解析：∵，， ∴，∴当时，.故选：C. 14．在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解析：由题意得，解得， 由余弦定理得，， 设的外接圆半径为，由正弦定理可得，， 所以.故选：B. 15．在《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧.如图，正方形的边长为4，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点 作第3个正方形，依此方法一直继续下去，记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，…，第个正方形的面积为，则前5个正方形的面积之和为（    ） A．30 B． C． D． 【答案】B 解析：设第个正方形的边长为，由题意可知：， 则，，所以，正方形面积的规律是首项16，公比为的等比数列，前5个正方形的面积之和为.故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 16．______． 【答案】 解析： . 故答案为：. 17．在中，角，，的对边分别为，，，若，，成等差数列，且，，则角等于______. 【答案】 解析：因为若角，，成等差数列.所以，又因为角，，为三角形内角. 所以.解得.由正弦定理可知. 所以.所以或（舍）.所以.故答案为：. 18．今4名医生分别到、、三所医院支援抗疫，每名医生只能去一所医院，且每个医院至少去一名医生，则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为________． 【答案】 解析：将4名医生分别到、、三所医院支援抗疫，共有种分法； 甲、乙两医生恰好到同一医院支援的分法有种，所以概率为，故答案为：. 19．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为，假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲执黑子先下，则甲、乙各胜一局的概率为________. 【答案】 解析：第一局甲胜，第二局乙胜：甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，因此第一局甲胜，第二局乙胜的概率为；第一局乙胜，第二局甲胜：乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，因此第一局乙胜，第二局甲胜的概率为，所以甲、乙各胜一局的概率为.故答案为：. 20．若一组数据2，3，，1，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为______. 【答案】4 解析：因为2，3，，1，5，7的众数为7，所以，将这6个数据按照从小到大的顺序排列：1，2，3，5，7，7，所以中位数为.故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)用“五点法”作出该函数一个周期内闭区间上的简图. 【答案】(1). (2)作图见解析. 解析：（1）因为. 令， 解得， 所以增区间是. 0 0 2 0 0 （2） 描点、作图，如图所示，得到函数在一个周期上的图像.    22．已知数列的前项和，数列满足. (1)求数列、的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 解析：（1）由， 当时，， 时，对上式也成立， ，又，即 ，所以. （2）由（1）可知，， 则， . 23．在的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和； (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)的奇次项系数和与的偶次项系数和. 【答案】(1) (2)1 (3)奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为 (4)奇数项的系数和为，偶数项的系数和为 (5)的奇次项系数和为，的偶次项系数和为 解析：（1）二项式系数的和为， （2）设， 各项系数和为， 令，， 则， 所以各项系数和为1. （3）奇数项的二项式系数和为， 偶数项的二项式系数和为 （4）设， 则奇数项系数和为， 偶数项系数和为， 令，，则① 令，，则②， 所以奇数项的系数和， 偶数项的系数和. （5）设， 则的奇次项系数和为， 的偶次项系数和为， 由（4）知，① 则②， 则的奇次项系数和为， 的偶次项系数和为. 24．已知是锐角三角形，内角，，的对边分别为，，，且边，是方程的两个根，角，满足.求： (1)边的长度； (2)若角是最小内角，求的值. 【答案】(1) (2) 解析：（1）由，得， 因为为锐角三角形，则， 所以，故， 又因为是方程的两根，所以， 所以， 故. （2）因为角是最小内角，所以，则， 解，得或， 因为边，是方程的两个根，所以， 因为，所以. 25．从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (1) 求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差 （同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）； (2) 由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差，为监控该产品的生产质量，每天抽取10个产品进行检测，若出现了质量指标值在之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①假设生产状态正常，记表示一天内抽取的10个产品中尺寸在之外的产品数，求 ②请说明上述监控生产过程方法的合理性． 附： 【答案】(1); (2);说明见解析. 解析：（1）由题意可知：（ ）， [ ]， （2）①由题意可知生产状态正常，此时一个产品尺寸在之内的概率为， 所以； ②如果生产状态正常，此时一个产品尺寸在之外的概率只有， 一天内抽取10个零件中，发现尺寸在之外的概率只有，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监管过程方法合理. 26．为了探讨学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并已计算出，，，，试求： (1)物理成绩关于数学成绩的回归直线方程（结果保留一位小数）； (2)当数学成绩为92分时，物理成绩的线性回归估计值（取整数）. 【答案】(1). (2)90分. 解析：（1）由已知数据可得，， 故 ，， 所以. （2）当时，， 故当数学成绩为92分时，物理成绩的线性回归估计值为90分. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $