第七章 数列（B卷· 能力提升卷）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学《数学拓展模块上册》第七章数列B卷（能力提升），90分钟/100分，紧扣教材核心考点，注重知识整合与能力检测，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|15/45|等差等比数列基本量、性质、实际应用（工厂产值）、数学文化（科赫雪花）|结合生活情境（志愿者服务）与逻辑推理（充要条件判断），发展抽象能力与推理意识| |填空题|5/15|前n项和、相遇问题、恒成立问题、九连环文化|融入传统文化（九连环）与实际问题（机器人相遇），培养模型意识与应用意识| |解答题|4/40|等比数列通项与求和、等差等比综合应用|综合考查知识整合（递推关系转化），提升运算能力与逻辑推理能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第七章 数列 （B卷·能力提升） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设等差数列的前n项和为，若和是方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B．5 C． D． 2．在等差数列中，，则（    ） A．72 B．60 C．48 D．36 3．为创建“卫生文明城市”，某志愿者团队第一天服务几小时，之后每天比前一天多服务相同时间，前5天共服务50小时，前10天共服务150小时，则从第________天起，当日服务时间首次超过12小时．（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．等比数列中，已知，，则（    ） A． B．2 C． D．1 5．在递增等比数列中，若，且是和的等差中项，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 6．已知正项等比数列满足，则数列前4项和的值为（    ） A．120或15 B．15或 C．120或40 D．或40 7．某工厂2026年1月的产值为100万元，计划从2月起，每月产值比上月增长，按照此计划，预计该工厂2026年全年的总产值约为________万元．（参考数据：，，）（    ） A． B． C． D． 8．若的三内角A，B，C成等差数列，则必有（　　） A． B． C． D． 9．已知，，是实数，，是三角形的内角，有以下四种说法： ①“”是“是，的等比中项”的充分不必要条件； ②“”是“”的充要条件； ③“”是“”的充分不必要条件； ④“是偶数”是“，都是偶数”的必要不充分条件． 其中，正确说法的所有序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 10．数学源于生活，数学在生活中无处不在，学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界，1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.    不妨记第个图中的图形的周长为，则（    ） A． B． C． D． 11．已知数列的前n项和为，，且对于任意，满足，则（　　） A． B． C． D． 12．是等差数列的前项和，且，则时，的最大值为（   ） A．197 B．198 C．199 D．200 13．给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列.若数列的一阶差数列的通项公式为，则（    ） A． B． C． D． 14．已知数列满足.设，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．在各项均为正数的等比数列中，，则等于（   ） A．4 B．6 C．8 D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知数列的前项和为，且，则______． 17．甲、乙两个机器人分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.若甲、乙各自到达对方起点后立即按原运动方式返回，则它们第二次相遇时距离刚出发时的时长为______分钟． 18．已知数列中，，设其前项和为，若对任意的，恒成立，则的最小值为__________. 19．设等比数列满足.则通项公式__________． 20．九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具．它用九个圆环相连成串，解开九连环最少需要移动341次．它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环．”九连环有多种玩法，在某种玩法中：已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环2次，记为解下个圆环需要移动圆环的最少次数，且，则解下8个圆环所需要移动圆环的最少次数为_____． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．在递增的等比数列中，，，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 22．已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的通项公式. 23．已知等比数列的公比为3，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前20项和. 24．已知等差数列的前项和为，，，等比数列的各项均为正．且，． (1)求数列与的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第七章 数列 （B卷·能力提升） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设等差数列的前n项和为，若和是方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 解析：等差数列中，和是方程的两个实数根，则， 所以，故选：. 2．在等差数列中，，则（    ） A．72 B．60 C．48 D．36 【答案】B 解析：在等差数列中，，解得， 则，故选：. 3．为创建“卫生文明城市”，某志愿者团队第一天服务几小时，之后每天比前一天多服务相同时间，前5天共服务50小时，前10天共服务150小时，则从第________天起，当日服务时间首次超过12小时．（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 解析：设该志愿者团队第一天服务小时，每天比前一天多服务小时，那么每天服务的时间构成一个首项为，公差为的等差数列.设等差数列的前项和为， 已知前天共服务小时，可得，即①； 已知前天共服务小时，可得，即②， 联立①②解得：，，所以， 令，即，解得，因为为正整数，所以的最小值为，即从第天起，当日服务时间首次超过小时，故选：B． 4．等比数列中，已知，，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 解析：等比数列中，已知，，设公比为， 则， 解得，则， 所以，故选：. 5．在递增等比数列中，若，且是和的等差中项，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 解析：设等比数列的公比为，是和的等差中项， 则，解得或， 因为等比数列递增，故舍去，所以，. 故选：. 6．已知正项等比数列满足，则数列前4项和的值为（    ） A．120或15 B．15或 C．120或40 D．或40 【答案】A 解析：等比数列的公比为，由题意可知， 在等比数列中，， 又已知，联立可得，解得或， 当，时，，因为，所以， 则，所以， 当，时， ，因为，所以， 则，所以， 综上的值为120或15，故选：A. 7．某工厂2026年1月的产值为100万元，计划从2月起，每月产值比上月增长，按照此计划，预计该工厂2026年全年的总产值约为________万元．（参考数据：，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解析：由题意可得，从 1 月到 12 月，各月产值构成首项 、公比 的等比数列， 设 1 月产值为 万元，公比 ，则2026年全年的总产值，代入， 则.故选：B. 8．若的三内角A，B，C成等差数列，则必有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以2B=A＋C，且A＋B＋C=180°，故B=60°.故选：C. 9．已知，，是实数，，是三角形的内角，有以下四种说法： ①“”是“是，的等比中项”的充分不必要条件； ②“”是“”的充要条件； ③“”是“”的充分不必要条件； ④“是偶数”是“，都是偶数”的必要不充分条件． 其中，正确说法的所有序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 解析：①当时，满足，但0不能作为等比数列的项，故充分性不成立，若是，的等比中项，则有，故必要性成立， ∴“”是“是，的等比中项”的必要不充分条件，故①错误； ②由可以得到，故充分性成立，由也可以得到，故必要性成立， ∴“”是“”的充要条件，故②正确； ③，是三角形的内角，当时，必然有，故充分性成立， 当时，则有，作为三角形的内角，则，即，故必要性成立， ∴“”是“”的充要条件，故③错误； ④当是偶数时，则，都是偶数或，都是奇数，故充分性不成立， 若，都是偶数，则是偶数，故必要性成立， ∴“是偶数”是“，都是偶数”的必要不充分条件，故④正确， 则正确说法的所有序号是②④.故选：D. 10．数学源于生活，数学在生活中无处不在，学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界，1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.    不妨记第个图中的图形的周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解析：由图知：第一个图有3条边，各边长为2，故周长； 第二个图有12条边，各边长为，故周长； 第三个图有48条边，各边长为，故周长；…… 所以边的条数是首项为3，公比为4的等比数列，则第n个图的边有条， 边长是首项为2，公比为的等比数列，则第n个图的边长为， 故.故选：C. 11．已知数列的前n项和为，，且对于任意，满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 解析：∵对于任意，满足， ∴，∴. ∴数列在时是等差数列，公差为2， 又，， ∴，， ，.故选：D. 12．是等差数列的前项和，且，则时，的最大值为（   ） A．197 B．198 C．199 D．200 【答案】B 解析：因为，即， 所以，所以数列的公差，所以， ，故时，的最大值为198.故选：B. 13．给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列.若数列的一阶差数列的通项公式为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解析：根据给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列， 若数列的一阶差数列的通项公式为， 可得， 则 又因为，故.故选：C. 14．已知数列满足.设，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解析：因为，所以，即是以2为首项、2为公比的等比数列，所以，所以， 因为数列是单调递增数列，所以对于任意的恒成立， 即， 即， 即，令，其图像开口朝上，对称轴为， 所以函数在上单调递增，因为， 所以当时，，所以，即. 故选：C. 15．在各项均为正数的等比数列中，，则等于（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 解析：已知为各项均为正数的等比数列，所以，， 因为，所以 ，故选：C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知数列的前项和为，且，则______． 【答案】32 解析：由题意可知. 故答案为： 17．甲、乙两个机器人分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.若甲、乙各自到达对方起点后立即按原运动方式返回，则它们第二次相遇时距离刚出发时的时长为______分钟． 【答案】15 解析：甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，可知甲每分钟走的路程成等差数列，设为，则， 乙每分钟走5米，第一次相遇甲、乙共走70米；第二次甲、乙相遇共走210米，设第二次相遇的时间为t，则，解得.故答案为：15. 18．已知数列中，，设其前项和为，若对任意的，恒成立，则的最小值为__________. 【答案】 解析：由，变形为，且， ∴数列是公比为2，首项为1的等比数列，则， ， ， ∵对任意的，恒成立， ， 令，则时，，当时，， ， ；；；， 当时，，从第3项开始单调递减， 时，数列取得最大值，， 则，的最小值为，故答案为：. 19．设等比数列满足.则通项公式__________． 【答案】 解析：设的公比为，则.因为等比数列满足， 所以，解得，， 所以数列的通项公式为.故答案为：. 20．九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具．它用九个圆环相连成串，解开九连环最少需要移动341次．它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环．”九连环有多种玩法，在某种玩法中：已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环2次，记为解下个圆环需要移动圆环的最少次数，且，则解下8个圆环所需要移动圆环的最少次数为_____． 【答案】170 解析：∵解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环2次， 即，且， ∴， ， ， ， ， ， ， ∵解开九连环最少需要移动341次． ∴，解得， ∴.即解下8个圆环所需要移动圆环的最少次数为170． 故答案为：170. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．在递增的等比数列中，，，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 解析：（1）由， 等比数列是递增数列，得， 因此数列的公比， 则， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）得，， . 22．已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 解析：（1）因为，故， 所以，即， 故等比数列的公比为. 令，得，解得， 故. （2）由（1）可知 . 23．已知等比数列的公比为3，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前20项和. 【答案】(1) (2) 解析：（1）已知等比数列公比，因此，. 因为成等差数列，所以 ， 即. 则. （2）已知， 因此是首项为、公差为的等差数列， 所以. 24．已知等差数列的前项和为，，，等比数列的各项均为正．且，． (1)求数列与的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 解析：（1）设等差数列的公差为， 在等差数列中，解得， 又，所以，又，所以公差， 所以等差数列的通项公式为， 因为等比数列中，， 设等比数列的公比为，则，解得， 所以等比数列的通项公式为. （2）因为， 所以数列的前项和， 两边同时乘以2为， 两式相减为：， 即， 整理为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $