第19练 抛物线的几何性质《数学》拓展模块上册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学高教版《一课一练》第19练以“三阶递进”设计巩固抛物线几何性质，通过基础辨析、能力应用到综合建模，培养数学抽象、运算能力与模型意识，适配课堂同步巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|抛物线定义、顶点/离心率等概念|单选题4直接考查概念辨析，强化数学抽象| |能力提升|焦点弦、直线与抛物线位置关系|填空题9求动点到直线距离最小值，体现几何直观与运算能力| |综合应用|方程求解、中点弦、面积计算|解答题13结合方程、中点、面积综合考查，培养模型意识与逻辑推理|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 19 练 抛物线的几何性质（2） 一、单选题 1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，过焦点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，从，两点向准线作垂线，垂足分别为，，若，则四边形的面积为（     ） A．16 B．8 C． D．4 2．已知抛物线的顶点是坐标原点，准线方程为，在该抛物线上有一个动点，则动点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 3．在同一坐标系中，方程与表示的曲线可能是（   ） A．   B．   C．   D．   4．下列关于抛物线的说法错误的是（    ） A．任何抛物线都只有一个顶点 B．抛物线的离心率小于1 C．抛物线只有一条对称轴 D．抛物线的所有焦点弦中，通径的长最短 5．将抛物线绕顶点沿逆时针方向旋转，所得抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．直线与抛物线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 8．已知直线过抛物线的焦点，且直线与抛物线交于，两点，若直线的方程为，则（   ） A．16 B．8 C．12 D．4 二、填空题 9．在抛物线上有一动点，则到直线距离的最小值为______． 10．过抛物线的顶点，且倾斜角为的直线与抛物线的另一个交点为，若，则__________. 11．直线与抛物线相切，则的值及该抛物线的焦点坐标分别是__________. 12．已知是过抛物线焦点的弦，若线段中点的横坐标为2，则________． 三、解答题 13．已知抛物线C：的焦点，直线：与抛物线C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若线段的中点为P，求点P的坐标； (3)若点O为坐标原点，求的面积. 14．已知抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆的左焦点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若过点作直线交抛物线于A、B两点，使得点M是AB弦的中点，求直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 19 练 抛物线的几何性质（2） 一、单选题 1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，过焦点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，从，两点向准线作垂线，垂足分别为，，若，则四边形的面积为（     ） A．16 B．8 C． D．4 【答案】C 【分析】设出抛物线方程，根据题意写出直线的点斜式方程，联立方程组结合韦达定理及弦长公式求出值，代入梯形的面积公式即可得解. 【详解】    设抛物线方程为，则焦点坐标为，准线方程为， 则过焦点且斜率为的直线方程为， 联立方程组， 设，， 由韦达定理可知，，， 因为，则，解得， 所以抛物线方程为，则焦点坐标为，准线方程为， 四边形为直角梯形，，高为， ， 所以梯形的面积为， 故选：. 2．已知抛物线的顶点是坐标原点，准线方程为，在该抛物线上有一个动点，则动点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据准线方程求出抛物线方程，再设出抛物线上动点的坐标，最后根据两点间距离公式及二次函数的性质求出最小距离. 【详解】准线方程为，即， 则，得，则， 故该抛物线的方程为， 设抛物线上的动点，则， 所以， 所以当时，． 故选：C . 3．在同一坐标系中，方程与表示的曲线可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据椭圆及抛物线方程及图像的关系判断即可. 【详解】方程表示焦点在轴的椭圆，由此可排除CD选项； 方程可化为：， 则该方程表示开口向左的抛物线，A符合题意，B不符合题意. 故选：A. 4．下列关于抛物线的说法错误的是（    ） A．任何抛物线都只有一个顶点 B．抛物线的离心率小于1 C．抛物线只有一条对称轴 D．抛物线的所有焦点弦中，通径的长最短 【答案】B 【分析】根据题意，结合抛物线的定义和几何性质，结合弦长公式，逐项判断即可. 【详解】根据抛物线的定义和几何性质可知： 抛物线只有一个顶点，故选项A正确，不符合题意； 抛物线的离心率是抛物线上得点到焦点的距离与到准线的距离之比，故离心率为1， 故选项B错误，符合题意； 抛物线只有一条对称轴，故选项C正确，不符合题意； 假设过抛物线焦点的直线与抛物线交于， 设过焦点的直线AB的倾斜角为，， 可设直线AB方程为，， 联立抛物线方程化简可得，， ， 则抛物线的焦点弦的弦长为， 则，所以当时，取得最小值， 此时，为抛物线的通径，故抛物线的所有焦点弦中，通径的长最短， 故选项D正确，不符合题意； 故选：B. 5．将抛物线绕顶点沿逆时针方向旋转，所得抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线绕顶点逆时针旋转，即将横纵坐标互换，由此可求方程. 【详解】如图所示，原抛物线图像顶点为原点，开口方向向左，即， 绕顶点沿逆时针方向旋转后，开口向下，即， 则横纵坐标互换，即. 故选：D. 6．已知垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出点坐标，则纵坐标为，代入抛物线方程中即可得解. 【详解】    根据题意作出图像，垂直于轴的直线交抛物线于两点，且， 设，则， 所以，解得， 所以直线的方程为， 故选：. 7．直线与抛物线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线的方程，利用判别式求解. 【详解】将代入，得，即. 判别式，方程有两个相等的实数解， 说明直线与抛物线相切，直线与抛物线的交点个数为1个， 故选：B. 8．已知直线过抛物线的焦点，且直线与抛物线交于，两点，若直线的方程为，则（   ） A．16 B．8 C．12 D．4 【答案】A 【分析】首先求出抛物线的方程，再联立两方程，根据抛物线焦点弦长公式求解即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 因为直线过抛物线的焦点， 所以，解得，因此抛物线的方程为， 由，得，则， 所以． 故选：A． 二、填空题 9．在抛物线上有一动点，则到直线距离的最小值为______． 【答案】 【分析】先求出与直线平行且与抛物线相切的直线方程，再根据两平行直线之间的距离计算即可求解. 【详解】设与直线平行且与抛物线相切的直线为， 联立，消y可得，， 由相切可得，解得， ∴与直线平行且与抛物线相切的直线为， 即两直线化为一般式为，以及 ∴两平行直线之间的距离为， ∴到直线距离的最小值为． 故答案为：.    10．过抛物线的顶点，且倾斜角为的直线与抛物线的另一个交点为，若，则__________. 【答案】6 【分析】先求解出直线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解出点A的坐标，再由两点间距离公式求解即可. 【详解】设点， 直线的倾斜角为，则斜率， ∴过抛物线顶点的直线为， 联立，消y可得，， 解得或， ∴点A的横坐标为，则， ∴点， ∵，则， 整理可得，即， ∵，可得. 故答案为：6. 11．直线与抛物线相切，则的值及该抛物线的焦点坐标分别是__________. 【答案】， 【分析】先联立直线与抛物线方程，根据相切的性质得到关于的方程，求解的值，再根据抛物线的标准方程求出焦点坐标. 【详解】将直线代入抛物线， 可得，即， 因为直线与抛物线相切， 所以判别式，即，解得， 在抛物线中，，则，所以焦点坐标为， 故答案为：，. 12．已知是过抛物线焦点的弦，若线段中点的横坐标为2，则________． 【答案】6 【分析】根据抛物线方程求出准线方程，利用抛物线定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离即可求解. 【详解】由抛物线方程可知，则其准线方程为， 设，因为线段中点的横坐标为2， 所以，则， 所以. 故答案为：6. 三、解答题 13．已知抛物线C：的焦点，直线：与抛物线C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若线段的中点为P，求点P的坐标； (3)若点O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1). (2). (3). 【分析】（）根据抛物线的焦点坐标求出值即可得解. （）联立方程组，结合韦达定理及中点坐标公式即可得解. （）根据弦长公式求出的长度，结合点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）抛物线C：的焦点， 则抛物线的焦点在轴正半轴，且， 抛物线方程为：. （2）令，， 联立方程组得， 则，， 直线方程，所以， 所以线段的中点为P的坐标为， 所以线段的中点为P的坐标为. （3）令，， 由（）可知，，， 则， 原点到直线：的距离为， 所以. 14．已知抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆的左焦点． (1)求抛物线的标准方程； (2)若过点作直线交抛物线于A、B两点，使得点M是AB弦的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出椭圆的左焦点，即抛物线的焦点，再写出抛物线方程即可. （2） 分直线斜率是否存在进行讨论，当直线斜率存在时，设，将两点代入抛物线方程，两式相减结合中点坐标，求出斜率，进而写出直线方程. 【详解】（1）椭圆化为，椭圆的焦点在轴上， 则椭圆的左焦点为，即， 由题意可得为所求抛物线的焦点， 可设抛物线方程为， ， 抛物线方程为． （2）①若直线斜率不存在，直线方程为，此时A、B的中点为，不符合题意； ②若直线斜率存在，设斜率为， 设，点为A、B两点的中点， 则，且 、B在抛物线上，则 ① ② ①②得，， 可得， ，， 所以直线方程为，即 综上，直线方程为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $