第16练 双曲线的几何性质《数学》拓展模块上册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学高教版《一课一练》第16练围绕双曲线几何性质，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，通过单选题、填空题、解答题递进训练，强化概念理解与运算推理，适配同步教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|渐近线方程、焦点坐标等单一概念|单选题1-5直接考查定义与公式应用，夯实基础认知| |提升层|离心率计算、直线与双曲线位置关系|填空题9-12结合距离公式与几何性质，培养推理能力| |综合层|方程求解与面积计算等综合应用|解答题13-14整合多知识点，通过分步设问发展模型意识与运算能力|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 16 练 双曲线的几何性质（2） 一、单选题 1．以为渐近线，焦点在的双曲线方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的焦点为，点M在双曲线上，且轴，则到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．已知点是双曲线的左焦点，点P在双曲线上，直线与x轴垂直，且，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D．3 4．已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的焦距为（   ） A． B． C．4 D． 5．直线与双曲线的位置关系是（    ） A．相离 B．相交且只有一个交点 C．相交且有两个交点 D．相切 6．过点作一条直线与双曲线：相交于两点，若为中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线于A、B两点，则（    ） A． B． C．6 D． 8．如图所示，已知点，分别为双曲线的左、右两个焦点，过点作垂直于轴的直线交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（    ）    A．2 B． C． D． 二、填空题 9．已知双曲线的焦点到它的渐近线的距离是，离心率，则双曲线的标准方程是________ 10．过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是__________. 11．已知双曲线，点、为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若，则的值为___________． 12．已知双曲线与椭圆有公共的焦点，点为双曲线与椭圆的交点，且，则双曲线的离心率为__________. 三、解答题 13．曲线上的动点到双曲线的两焦点的距离之和为．点为双曲线与曲线在第一象限的交点． (1)求曲线的方程； (2)求的值； (3)求的面积． 14．已知双曲线经过点，其离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且点为的中点，求直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 16 练 双曲线的几何性质（2） 一、单选题 1．以为渐近线，焦点在的双曲线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出双曲线的焦点在轴上，结合渐近线方程联立方程组求出即可得解. 【详解】由题意可知，双曲线焦点在轴上，焦点坐标为，则， 双曲线渐近线方程，则， 联立方程组，解得 所以方程为， 故选：. 2．已知双曲线的焦点为，点M在双曲线上，且轴，则到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程与定义求得，再利用等面积法求解即可. 【详解】由题可得，， 所以，    设，则，解得， 由于双曲线的对称性，不妨取，所以， 根据双曲线的定义可得，，解得， 设到直线的距离为，又， 在直角三角形中，， 即，所以. 故选：C. 3．已知点是双曲线的左焦点，点P在双曲线上，直线与x轴垂直，且，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质得到，再根据与x轴垂直，由勾股定理得到，即可求解. 【详解】根据双曲线的定义，且，所以， 因为点P在双曲线上，直线与x轴垂直， 所以，即， 所以，即，所以双曲线的离心率是； 故选：A. 4．已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的焦距为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据双曲线离心率公式及点到直线的距离公式，列出方程组求解. 【详解】双曲线渐近线的方程为，即． 不妨取右焦点，则焦点到渐近线的距离为， 由题意知解得， 所以双曲线的焦距． 故选：B． 5．直线与双曲线的位置关系是（    ） A．相离 B．相交且只有一个交点 C．相交且有两个交点 D．相切 【答案】B 【分析】联立直线与双曲线方程，根据整理得到的方程及其根的个数即可判断. 【详解】联立直线与双曲线的方程，消除得到， 整理得一元一次方程，解得， 代入解得，这表明直线与双曲线有一个公共交点， 双曲线中，双曲线渐近线与直线平行并且不重合， 所以直线与双曲线相交且只有一个交点. 故选：B. 6．过点作一条直线与双曲线：相交于两点，若为中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点差法可得直线的斜率，故直线的方程为，直线与双曲线联立方程组消得，由韦达定理代入得到结果. 【详解】设， 代入双曲线方程得，即， 两式相减得， 化简得， 因为为中点， 所以， 所以，即所求直线的斜率， 由点斜式求出直线的方程为，即， 联立方程组得，消掉得， 由韦达定理得， 所以 故选：D 7．过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线于A、B两点，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程得到其右焦点坐标，进而得到题干中直线方程，再将直线方程代入双曲线方程求得A、B两点的纵坐标，从而得解. 【详解】对于双曲线，，则， 所以双曲线的右焦点， 则过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线为， 将代入，得，解得， 所以. 故选：C. 8．如图所示，已知点，分别为双曲线的左、右两个焦点，过点作垂直于轴的直线交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形中三角函数关系，及双曲线的定义与离心率公式即可得解. 【详解】∵在中，， ∴，即， 点在双曲线右支商，由双曲线的定义知，， 所以，， 又∵，即，故， ∴离心率. 故选：B. 二、填空题 9．已知双曲线的焦点到它的渐近线的距离是，离心率，则双曲线的标准方程是________ 【答案】 【分析】根据题意，表示出焦点坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求得b的值，结合离心率，及双曲线中之间的关系，即可求得的值，即可求得双曲线的标准方程. 【详解】由题意，双曲线的焦点坐标为，且， 渐近线方程为，即， 由双曲线的对称性，不妨取焦点和渐近线， 所以焦点到渐近线的距离， 又离心率，所以， 所以，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 10．过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是__________. 【答案】24 【分析】根据双曲线的定义，结合题意即可求解. 【详解】因为双曲线方程为， 所以， 即， 由双曲线定义知：， 所以，， 又， 故， 故的周长为， 故答案为：24. 11．已知双曲线，点、为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】首先根据定义得到，再结合勾股定理求出，最后平方即可求解. 【详解】双曲线化为标准方程为， 由定义知①， 又因为，由勾股定理可知，②， ①式平方得③， 联立②③得，则， 则. 故答案为： 12．已知双曲线与椭圆有公共的焦点，点为双曲线与椭圆的交点，且，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【分析】由椭圆方程求出焦距，设，由椭圆的定义及勾股定理列方程求出，即可求出，进而得出双曲线的离心率. 【详解】椭圆焦点，点为双曲线与椭圆的交点， 设，则， ，又， 所以， 因为，所以， 则， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，且点为双曲线与椭圆的交点， 所以，即， 所以双曲线的离心率为.    故答案为：. 三、解答题 13．曲线上的动点到双曲线的两焦点的距离之和为．点为双曲线与曲线在第一象限的交点． (1)求曲线的方程； (2)求的值； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知曲线为椭圆，且椭圆中，据此即可求得曲线的方程. （2）由椭圆和双曲线的定义可得，，利用余弦定理即可求得. （3）由（2）中结果结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为双曲线的两焦点分别为和， 所以，曲线为椭圆， 且曲线中，，所以曲线的方程为. （2）由题意， ，， 又， 在中，由余弦定理， 可得； （3）由（2）可得，，， 所以， ， 故的面积为 14．已知双曲线经过点，其离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且点为的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据双曲线上的点求出，再代入已知离心率，根据双曲线之间的关系即可解得. （2）设出交点坐标，根据中点坐标列出等式再代入双曲线方程，结合直线的点斜式方程即可解得. 【详解】（1）双曲线经过点，，且焦点在x轴， ， 双曲线的标准方程为. （2）设，点为的中点， ， 两点在双曲线上，， 两式相减整理得， ，即直线的斜率为2， 由点斜式方程可得， 即直线的方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $