第13练 椭圆的几何性质《数学》拓展模块上册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》第13练（椭圆的几何性质），以三阶分层设计覆盖基础概念到综合应用，通过"概念理解-性质应用-问题解决"路径巩固知识，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|椭圆定义、离心率计算|单选题1-3直接考查a,b,c关系及离心率公式，夯实概念理解| |中档层|几何性质综合应用|单选题4-6结合焦点三角形、直线与椭圆位置关系，提升推理能力| |综合层|直线与椭圆综合问题|解答题13-14涉及面积计算、中点坐标，强化模型意识与问题解决能力|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 13 练 椭圆的几何性质（1） 一、单选题 1．焦点在轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件列方程组求出，结合焦点的位置写出椭圆的方程. 【详解】设椭圆的长、短半轴长分别为，半焦距为，其中， ∵长、短半轴长之和为10，∴①， ∵焦距为，∴，即， 又，∴②， 联立①②解得． ∵焦点在轴上，∴椭圆的方程为. 故选：C. 2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，则该椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点与短轴的性质可得，再由的关系和离心率公式求值即可. 【详解】椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成直角三角形， 则如图，为等腰直角三角形， 所以，设椭圆的方程为， 则短轴顶点为，， 因为，故， 即，所以，得， 所以该椭圆的离心率是， 故选：A. 3．已知椭圆的左、右焦点为，，上、下顶点分别，，若四边形为正方形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据椭圆的性质得出四边形各顶点的坐标，再结合正方形的性质得到、、的关系，最后根据椭圆离心率公式求解离心率. 【详解】因为椭圆， 所以，，其中，，， 因为四边形为正方形，所以（为坐标原点）， 可得，，则， 又，得到， 即离心率. 故选：B. 4．若直线与焦点在轴上的椭圆恒有交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为直线恒过点，由题意可知点在椭圆上或内部，列出不等式即可得解. 【详解】焦点在轴上的椭圆，则， 因为直线恒过点， 直线与椭圆恒有交点，则点在椭圆上或内部， 则，因为，化简， 结合，则， 所以实数的取值范围为， 故选：. 5．设分别是椭圆的左右焦点，A是椭圆与y轴正半轴的交点，线段的中点在直线上，该椭圆上的一点P满足，若的周长为，则    （       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，性质，结合中点坐标公式，两点间距离公式即可求解. 【详解】由椭圆的定义可得，，的周长为，所以， 因为，所以. 在椭圆中，，因为A是椭圆与y轴正半轴的交点，则设， 则，所以，解得. 因为中点，又线段的中点在直线上，所以，即， 则，解得. 故选：B.    6．已知点，若点在直线上，且满足，则满足上述要求的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】C 【分析】先根据椭圆的定义得到满足的点的轨迹，结合点在直线上，联立直线与椭圆方程，即可求解. 【详解】因为点，点满足， 所以点的轨迹是一个以和为焦点的椭圆， 其中，即椭圆方程为， 又点在直线上， 联立直线与椭圆方程，消除得到， ， 所以直线与椭圆有两个交点，即满足条件的点有两个. 故选：C. 7．已知椭圆内有一点，过点的弦恰好以为中点，那么这条弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由过点的直线按斜率是否存在分类讨论，当存在时，由点差法求出，再写出直线方程即可. 【详解】当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，垂直轴， 此时点不是弦的中点，不符合题意， 当过点的直线斜率存在时，设弦的端点为， 代入椭圆方程可得，两式相减得， 因式分解得， 因为点是弦的中点，所以， 可得，且存在，， 则， 所以直线方程为，即. 故选：B. 8．过椭圆 的左焦点作倾斜角为 的弦，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解椭圆的左焦点和直线方程，联立直线方程由韦达定理结合弦长公式即可求解. 【详解】椭圆的标准方程为， 所以，左焦点是 ， 又因为直线的倾斜角为，所以斜率， 所以直线的方程为, 由，消去并整理，得， 设，则，． 由弦长公式，得 . 故选：B． 二、填空题 9．椭圆被直线所截得的弦长______． 【答案】 【分析】联立方程组，根据韦达定理求出与，代入弦长公式即可得解. 【详解】设， 根据题意联立方程组得， 则，， 所以， 故答案为：. 10．椭圆内，过点且被该点平分的弦所在的直线方程为___________． 【答案】 【分析】由题可知，直线的斜率必存在，设直线与椭圆的两个交点为，代入椭圆方程后作差，根据中点和斜率公式，可得弦所在直线的斜率，再利用点斜式可求直线方程. 【详解】由题可知，直线的斜率必存在，设直线与椭圆的两个交点为， 因为在椭圆上，即，作差，可得， 所以，即， 因为是弦的中点，所以， 所以，解得， 所以的方程为：，即． 故答案为： 11．是椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且，则的面积为 _______________. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义和勾股定理、三角形的面积公式求解. 【详解】因为椭圆方程为，则，，，， 是椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点， 所以，由椭圆的定义知， ①， 因为，在中，由勾股定理知，②， ①式平方，带入②式化简可得，，. 故答案为：4. 12．直线与椭圆的交点坐标是__________． 【答案】， 【分析】联立直线方程和椭圆方程，即可求解其交点坐标. 【详解】联立直线与椭圆， 整理得，解得或． 当时，；当时，， ∴直线与椭圆的交点坐标是和. 故答案为：，. 三、解答题 13．已知椭圆． (1)求椭圆C的离心率； (2)已知点，直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆方程求解离心率即可 （2）利用点到直线的距离公式、直线与椭圆的方程联立方程组求解交点，进而即可求解. 【详解】（1）因为椭圆. 所以. 所以椭圆的离心率. （2）联立方程得或. 所以. 因为点到直线的距离. 所以. 14．已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)求弦的中点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率和短轴的一个端点到右焦点的距离，求出，进而求出，得到椭圆方程； （2）由点斜式得直线方程为，与椭圆方程联立化为，由韦达定理可得，再利用中点坐标公式即可得出． 【详解】（1）由题意可得：，且，即， 故，， 故椭圆的标准方程为：． （2）由点斜式得直线方程为，设直线与椭圆相交于点， 联立，化为，， 由韦达定理可得，故中点横坐标， 代入直线方程可得中点纵坐标． 弦的中点坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 13 练 椭圆的几何性质（1） 一、单选题 1．焦点在轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，则该椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左、右焦点为，，上、下顶点分别，，若四边形为正方形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．若直线与焦点在轴上的椭圆恒有交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．设分别是椭圆的左右焦点，A是椭圆与y轴正半轴的交点，线段的中点在直线上，该椭圆上的一点P满足，若的周长为，则    （       ） A． B． C． D． 6．已知点，若点在直线上，且满足，则满足上述要求的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 7．已知椭圆内有一点，过点的弦恰好以为中点，那么这条弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 8．过椭圆 的左焦点作倾斜角为 的弦，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．椭圆被直线所截得的弦长______． 10．椭圆内，过点且被该点平分的弦所在的直线方程为___________． 11．是椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且，则的面积为 _______________. 12．直线与椭圆的交点坐标是__________． 三、解答题 13．已知椭圆． (1)求椭圆C的离心率； (2)已知点，直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积． 14．已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)求弦的中点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $