第12练 椭圆的几何性质《数学》拓展模块上册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 依托三阶支架体系，以“概念理解-参数运算-综合应用”分层设计，聚焦椭圆几何性质，强化基础巩固与适度提升，培养数学眼光与思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|椭圆基本量（长轴、短轴、离心率）|单选题1-5直接考查定义与公式，强化概念理解| |提升层|参数关系与位置判断|填空题9-12涉及焦距、离心率计算，单选题6-8训练位置关系推理| |综合层|方程构建与几何应用|解答题13-14综合求性质、建方程及弦长，发展模型意识与运算能力|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 12 练 椭圆的几何性质（1） 一、单选题 1．椭圆的长轴长，短轴长，离心率依次是（    ） A．8、6、 B．8、6、 C．36、18、 D．16、9、 【答案】A 【分析】将椭圆方程化为标准形式，进而得到，从而得解. 【详解】将椭圆化为， 则，故，，， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为. 故选：A. 2．椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的方程确定的值，即可求出长轴长. 【详解】由椭圆可知，， 所以长轴长为， 故选：B. 3．椭圆的焦点在y轴上，长轴是短轴的两倍，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程即可求解. 【详解】化简得，由椭圆的焦点在y轴上有； 由长轴是短轴的两倍得，即．将两边平方，得， 则，则. 故选：B. 4．椭圆与的关系为（   ） A．有相等的长轴 B．有相等的短轴 C．有相同的焦点 D．有相等的焦距 【答案】D 【分析】根据椭圆标准求出的值，结合椭圆的性质即可得解. 【详解】椭圆，焦点在轴上，，； 椭圆， 因为，所以焦点在轴上，，， 则，， 所以两椭圆长轴不相等，短轴不相等，焦点也不相同，故错误， ，即， ，即， 所以两椭圆有相等的焦距，故正确， 故选：. 5．已知椭圆方程：，下列说法错误的是（    ） A．焦点为， B．离心率 C．长轴在轴上 D．短轴长为 【答案】C 【分析】先将椭圆方程化为标准方程，得到，再分析判断. 【详解】将椭圆化为标准式，得到，此椭圆为焦点在轴上. 得到，，故. 所以，焦点坐标为和. 离心率. 长轴在轴上. 短轴长. 故选：C. 6．点在椭圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点与椭圆位置关系求解. 【详解】因为点在椭圆的内部， 所以，解得， 故选：A． 7．直线与椭圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据直线方程，求出定点，再将定点坐标代入椭圆方程进行分析，即可得出结果. 【详解】由题知，直线恒过定点， 将定点代入得出， 故定点在椭圆内，直线与椭圆相交； 故选：B. 8．椭圆上一点P到焦点的距离为4，点M是的中点，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由题可知：，解得的值，在中为中位线，即可求得的长. 【详解】解：由题可知：， ． 在，M为中点，O为中点， . 故选：A. 二、填空题 9．若椭圆的焦距为，则______． 【答案】或 【分析】分类讨论焦点在轴上或焦点在轴上两种情况，利用椭圆中的关系即可求解. 【详解】当焦点在轴上时，有， 此时，由 得， 即 ， ∴； 当焦点在轴上时，有， 此时， 由得， 即，∴. 综上可知或. 故答案为：或. 10．设分别是椭圆的一个顶点和两个焦点，若是直角三角形，则椭圆的离心率为__________. 【答案】/ 【分析】根据椭圆的性质求出离心率即可. 【详解】①当为直角顶点时，因为为椭圆的一个顶点，为焦点. 当时，点在短轴顶点处. 因为且是直角三角形， 所以（直角三角形斜边长为直角边的倍）. 又因为且，所以， 两边同时平方得，从而得出. 根据，可得. 离心率，由可得，所以. ②当或为直角顶点时，此时要使是直角三角形， 点不可能为椭圆的一个顶点.（舍去）. 故答案为：. 11．已知椭圆的长轴顶点为，且离心率，则椭圆的方程是_______． 【答案】 【分析】由长轴顶点坐标确定及焦点位置，由离心率公式求得，进而可得，即可写出椭圆的方程. 【详解】∵椭圆的长轴顶点为，∴，且焦点在轴上， ∵离心率，∴，得， ∴， 又焦点在轴上，故所求椭圆方程为． 故答案为：. 12．已知一个椭圆的方程为，则该椭圆的短轴长为_____ 【答案】 【分析】将椭圆的方程化为标准方程，进而求得，从而得解. 【详解】因为椭圆方程，可化为， 所以，则， 则短轴长. 故答案为：. 三、解答题 13．求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 【答案】答案见解析 【分析】首先将已知方程化为标准方程，再由标准方程确定的值，并由椭圆的几何性质解答即可. 【详解】由， 得，所以，，， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是和， 离心率， 两个焦点坐标分别是，， 四个顶点坐标分别是，，，. 14．已知椭圆C:的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求MN的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知求椭圆的参数，即可得椭圆方程； （2）由题设直线为，联立椭圆方程求交点坐标，再利用弦长公式求解即可； 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4，为正三角形； 所以，解得； 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）可知，， 所以该直线为， 联立，消去并整理得， 解得，即为点横坐标， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 12 练 椭圆的几何性质（1） 一、单选题 1．椭圆的长轴长，短轴长，离心率依次是（    ） A．8、6、 B．8、6、 C．36、18、 D．16、9、 2．椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．8 C． D． 3．椭圆的焦点在y轴上，长轴是短轴的两倍，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 4．椭圆与的关系为（   ） A．有相等的长轴 B．有相等的短轴 C．有相同的焦点 D．有相等的焦距 5．已知椭圆方程：，下列说法错误的是（    ） A．焦点为， B．离心率 C．长轴在轴上 D．短轴长为 6．点在椭圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．直线与椭圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判断 8．椭圆上一点P到焦点的距离为4，点M是的中点，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 9．若椭圆的焦距为，则______． 10．设分别是椭圆的一个顶点和两个焦点，若是直角三角形，则椭圆的离心率为__________. 11．已知椭圆的长轴顶点为，且离心率，则椭圆的方程是_______． 12．已知一个椭圆的方程为，则该椭圆的短轴长为_____ 三、解答题 13．求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 14．已知椭圆C:的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求MN的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $