第6练 向量的内积《数学》拓展模块上册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》第6练“向量的内积”，以三阶分层设计实现从概念理解到综合应用的递进，通过基础巩固、性质深化、综合运算三阶训练，培养数学思维与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|向量内积定义、简单运算|单选题1-4（如等边三角形内积计算）直接考查概念，降低门槛| |中档层|内积性质、夹角关系|填空题9-12（如向量垂直条件判断）强化推理意识，衔接基础与综合| |综合层|多向量运算、实际应用|解答题13-14（如求模与夹角）整合多知识点，提升数学语言表达能力|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 6 练 向量的内积 一、单选题 1．等边三角形的边长为1则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，与的夹角为30°，则（   ） A．5 B． C．3 D． 3．设是非零向量，则“”是“为锐角”的（    ）条件. A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 4．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 5．已知向量的夹角为，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．若，为非零向量，且满足，则与的关系是（    ） A．既不共线也不垂直 B．垂直 C．同向 D．反向 8．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若向量与的夹角为，且，则________. 10．若，向量夹角，则_____ 11．已知，则__________. 12．若向量是空间的非零向量，则“”是“”的______条件． 三、解答题 13．已知向量，，且与的夹角为.求： (1)； (2)的值； (3)与的夹角. 14．已知，，，当为何值时，向量与向量互相垂直？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 6 练 向量的内积 一、单选题 1．等边三角形的边长为1则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到的模与夹角，从而利用向量内积的定义即可得解. 【详解】因为是边长为1的等边三角形，所以， 因为中，，又与的夹角是的补角 所以向量与的夹角， 则. 故选：A. 2．已知向量，满足，，与的夹角为30°，则（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据向量内积的定义求解即可. 【详解】因为，，与的夹角为， 则， 故选：B. 3．设是非零向量，则“”是“为锐角”的（    ）条件. A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】由向量内积的定义，及充分必要条件，即可得解. 【详解】令非零向量的夹角为，， 当为锐角时，， 则， 所以“”是“为锐角”的必要条件； 当时，则， 得到，即有可能为0，不一定为锐角， 所以“”不是“为锐角”的充分条件， 综上，“”是“为锐角”的必要非充分条件. 故选：C. 4．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【分析】利用向量内积的定义即可得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 5．已知向量的夹角为，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用，再结合向量内积的定义计算即可. 【详解】解：由题可知：，向量的夹角为， 所以 . 故选：A. 6．已知且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量内积的定义求两向量夹角的余弦值，进而求角的度数. 【详解】， ， ， ， ， ． 故选：C. 7．若，为非零向量，且满足，则与的关系是（    ） A．既不共线也不垂直 B．垂直 C．同向 D．反向 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量内积的定义及向量的模，即可求解. 【详解】因为，为非零向量，且满足， 所以，即， 所以，即， 所以，又， 所以，即与的关系是反向. 故选：D. 8．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】有平面向量的内积及运算法则进行化简即可得解. 【详解】根据题意有， 解得或（舍）， 故选：. 二、填空题 9．若向量与的夹角为，且，则________. 【答案】 【分析】由向量的数量积的定义可得，再由计算即可． 【详解】∵，∴， 又向量与的夹角为，且， ∴， ∴， 故 . 故答案为：. 10．若，向量夹角，则_____ 【答案】 【分析】利用向量内积的定义与运算律即可得解. 【详解】因为，， 所以， 则. 故答案为：. 11．已知，则__________. 【答案】2 【分析】利用向量内积的定义即可得解. 【详解】因为， 所以，即，则. 故答案为：2. 12．若向量是空间的非零向量，则“”是“”的______条件． 【答案】充分不必要 【分析】利用内积公式、相等相反向量的概念结合条件的充分性及必要性即可求解. 【详解】向量互为反向向量， “”“”， 但“”推不出“”是“”，比如向量互为同向向量， “”是“”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 三、解答题 13．已知向量，，且与的夹角为.求： (1)； (2)的值； (3)与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量内积的定义即可得解； （2）利用向量内积的运算律即可得解； （3）利用向量内积的运算律与向量的夹角公式即可得解. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为， 所以. （2）由（1）得，， 所以. （3）因为， 设与的夹角为， 则， 所以，因为，所以. 14．已知，，，当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】 【分析】利用向量内积的定义与运算法则，结合向量垂直的性质即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 要使向量与向量互相垂直， 必须满足，即，解得， 经检验，当时，向量与向量互相垂直. 所以当时，向量与向量互相垂直. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $