专题07 平面向量与立体几何- 云南省职教高考五年（2022-2026）《数学真题分类汇编》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦云南中职高考真题，系统汇编平面向量与立体几何核心考点，覆盖近5年典型试题，适配备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|9题|平面向量坐标运算（如2026云南题）、立体几何三视图表面积（如2026云南题）|真题导向，基础概念与计算并重| |填空|3题|向量平行参数求解（如2023云南题）、柱体体积计算（如2024云南题）|梯度设计，衔接选择与解答| |解答|2题|线面垂直证明（如2026云南四棱锥题）、几何体体积综合（如2025云南三棱锥题）|综合考查空间想象与逻辑推理，贴合高考命题趋势|

专题07 平面向量与立体几何 平面向量 1.能体会向量及有关概念的抽象过程，知道有向线段可以表示向量； 2.会判定两个非零向量是否平行； 3.知道两个向量的内积与向量内积的性质及几何应用； 4.会用直角坐标表示向量，会用向量的坐标形式判定两个向量平行或垂直； 5.会计算两个向量的内积，知道用向量的内积判定两个向量是否垂直。 简单几何体 1.会由实物抽象出简单几何图形，会根据简单图形想象实物的形状； 2.能画出简单几何体的三视图； 3.会通过实物观察和直观想象感知水平放置的平面几何图形的直观图，会用斜二测法画出简单几何体的直观图； 4.会求直棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥、球的表面积； 5.会求柱、锥、球的体积； 6.能根据三视图绘制简单几何体的直观图； 7.会推导直棱柱、正棱锥的侧面积公式。 立体几何 1.能体会平面概念和平面基本性质的抽象过程，会判断空间点、线、面间的位置关系； 2.在长方体中会用自然语言、符号语言、图形语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系； 3.会在简单几何体中判断两条直线是否异面，是否垂直； 4.在简单几何体中，会用直线与平面平行（垂直）、平面与平面平行（垂直）的判定定理和性质定理进行推理和证明。 考点01 平面向量 1.（2026云南）已知向量，则（ ） A. B. C. D. 2.（2025云南）向量，，且，则等于（ ） A． B． C． D． 3.（2024云南）已知向量与互相垂直，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 4.（2024云南）已知向量，，，则__________． 5.（2023云南）已知向量与，且，则__________ 6.（2022云南）已知，，且，则（ ）． A. B. C. D. 考点02 立体几何 1.（2026云南）如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）. A. B. C. D. 2.（2026云南）如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面. （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积. 3.（2025云南）如图所示，在三棱锥中，，，，已知． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 4.（2024云南）圆柱的底面积是，轴截面是一个正方形，则圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 5.（2024云南）高为的直三棱柱，它的底面是边长为的正三角形，则直三棱柱的体积是__________． 6.（2023云南）如果一个正方体的体对角线为a，则这个正方体的棱长是（ ） A. B. C. D. 7.（2023云南）已知圆柱体的表面积为，且其底面直径和高相等，则这个圆柱体的体积是__________ 8.（2022云南）已知矩形的两边长分别为、，且满足，矩形分别以其短边和长边所在直线为轴，旋转一周，求所形成几何体的体积之比． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平面向量与立体几何 平面向量 1.能体会向量及有关概念的抽象过程，知道有向线段可以表示向量； 2.会判定两个非零向量是否平行； 3.知道两个向量的内积与向量内积的性质及几何应用； 4.会用直角坐标表示向量，会用向量的坐标形式判定两个向量平行或垂直； 5.会计算两个向量的内积，知道用向量的内积判定两个向量是否垂直。 简单几何体 1.会由实物抽象出简单几何图形，会根据简单图形想象实物的形状； 2.能画出简单几何体的三视图； 3.会通过实物观察和直观想象感知水平放置的平面几何图形的直观图，会用斜二测法画出简单几何体的直观图； 4.会求直棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥、球的表面积； 5.会求柱、锥、球的体积； 6.能根据三视图绘制简单几何体的直观图； 7.会推导直棱柱、正棱锥的侧面积公式。 立体几何 1.能体会平面概念和平面基本性质的抽象过程，会判断空间点、线、面间的位置关系； 2.在长方体中会用自然语言、符号语言、图形语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系； 3.会在简单几何体中判断两条直线是否异面，是否垂直； 4.在简单几何体中，会用直线与平面平行（垂直）、平面与平面平行（垂直）的判定定理和性质定理进行推理和证明。 考点01 平面向量 1.（2026云南）已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量运算的坐标表示即可得解. 【详解】向量，则. 故选：. 2.（2025云南）向量，，且，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标公式列方程求解即可. 【详解】向量，，且， 则有，解得. 故选：C. 3.（2024云南）已知向量与互相垂直，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直则，列出方程即可得解. 【详解】向量与互相垂直，所以， 则，解得， 故选：. 4.（2024云南）已知向量，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量模长先求未知数，再代入易得向量内积. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以. 故答案：. 5.（2023云南）已知向量与，且，则__________ 【答案】2或. 【解析】 【分析】由向量内积的坐标运算求解参数即可. 【详解】因为向量与，且， 所以， 解得或. 故答案为：2或. 6.（2022云南）已知，，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的内积为易得答案. 【详解】因为, 所以. 故选:C. 考点02 立体几何 1.（2026云南）如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，再借助球的表面积公式求解即可. 【详解】由三视图可知该几何体为球， 由图可知，球的半径， 所以其表面积. 故选：B. 2.（2026云南）如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面. （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析. （2）6. 【解析】 【分析】（）根据题意结合线面垂直的判定定理及性质即可得解. （）根据题意结合棱锥的体积公式即可得解. 【小问1详解】 在正方形中，， 平面，平面， 所以， 因为平面，， 所以平面. 【小问2详解】 ， 因为平面， 则三棱锥的体积为. 3.（2025云南）如图所示，在三棱锥中，，，，已知． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可求解. （2）由题意可得，，两两相互垂直结合棱锥体积公式即可求解. 【详解】（1）在三棱锥中， 因为，，， 平面，平面， 所以平面. （2）根据题意可得，，两两相互垂直，平面， 又，所以三棱锥的体积为， 即三棱锥的体积为. 4.（2024云南）圆柱的底面积是，轴截面是一个正方形，则圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由底面积求出底面圆半径为，则高为，再根据圆柱侧面积公式求解. 【详解】因为圆柱底面积为，根据圆的面积公式得， 则底面半径， 因为轴截面是一个正方形， 所以高为， 那么圆柱的侧面积为. 故选：D. 5.（2024云南）高为的直三棱柱，它的底面是边长为的正三角形，则直三棱柱的体积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式及直三棱柱体积公式可求. 【详解】底面是边长为的正三角形，则三角形的高为， 则底面积， 则体积； 故答案为：. 6.（2023云南）如果一个正方体的体对角线为a，则这个正方体的棱长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体棱长与体对角线的关系求解即可 【详解】设正方体棱长为则，则. 故选：A. 7.（2023云南）已知圆柱体的表面积为，且其底面直径和高相等，则这个圆柱体的体积是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱体的表面积公式求出底面直径和高，再求解圆柱体的体积即可. 【详解】设底面半径为r， 因为底面直径和高相等，所以高为， 所以， ，解得， 所以圆柱体的体积为. 故答案为：. 8.（2022云南）已知矩形的两边长分别为、，且满足，矩形分别以其短边和长边所在直线为轴，旋转一周，求所形成几何体的体积之比． 【答案】2:1 【解析】 【分析】分别以其短边和长边所在直线为轴旋转分类讨论，求对应圆柱的体积. 【详解】若以短边为轴进行旋转，形成的圆柱底面半径为，高为, 体积; 若以长边为轴进行旋转，形成的圆柱底面半径为,高为, 体积; 所以，所形成的几何体体积之比为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $