专题25 圆的方程（练习）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以内蒙古对口招生考情为导向，采用支架式教学，通过基础概念辨析与综合应用训练，构建圆的方程从概念到能力的完整进阶路径。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的方程基础|单选16题/填空11题|聚焦圆心半径计算、位置关系判断|从标准方程到一般方程，形成概念生成与运算推理链条| |综合应用|解答题8题/真题2题|结合实际情境与几何对称，考查方程建立|通过实际问题与真题迁移，体现模型意识与应用能力|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题25 圆的方程 一、单选题 1．已知圆的方程，则圆心的坐标和半径分别为（    ） A．圆心，半径5 B．圆心，半径5 C．圆心，半径25 D．圆心，半径25 2．点与圆的位置关系为（     ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与m的值有关 3．圆的圆心到直线的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A．，4 B．，2 C．，4 D．，2 6．与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 7．若圆与轴相切，且圆心坐标为，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．与圆C：关于直线对称的圆的方程为（      ） A． B． C． D． 二、填空题 9．经过点和且圆心在轴上的圆的标准方程是________． 10．圆的方程为，则该圆圆心为_________，半径为_______. 11．直线与轴、轴分别交于点，，则______；以线段为直径的圆的方程为_________． 12．某圆形运动场的半径为米，以中心为原点，则其边沿的方程为______. 13．已知点，，则以AB为直径的圆的标准方程是________． 14．已知点，，，四点共圆，则______. 三、解答题 15．若方程表示圆，求m的取值范围. 16．某圆形工件在坐标图中圆心为，边缘上一点为. (1)求工件半径； (2)写出边缘所在圆的标准方程. 17．（1）写出圆心为，半径是的圆的标准方程； （2）求圆的圆心坐标和半径. 18．在平面直角坐标系中，曲线与y轴交于A点，与x轴交于B，C两点． (1)求的面积； (2)求外接圆的方程． 【考点1 两条直线的位置关系】 一、单选题 1．圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A． B． C． D． 2．已知圆的圆心坐标为，，分别为（   ） A．4， B．， C．，6 D．4，6 3．已知圆的方程为，则该圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 4．圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 5．圆心为，半径为的圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 6．若圆的圆心到直线的距离为，则实数a的值为（    ） A．0或2 B．0或 C．0或 D．或2 7．圆心为且过点的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 8．直线与轴交于点，则以点为圆心、半径为3的圆的方程为（   ）. A． B． C． D． 二、填空题 9．若圆心为 C（1，2），半径 r =2，圆的标准方程为________. 10．已知圆与轴交于两点，且圆心坐标为，则圆的标准方程为________ 11．已知二次函数的图像与两坐标轴交于三点，则的外接圆的半径为______． 12．方程表示的圆心坐标是__________________ 13．若方程表示圆，则实数的取值范围是______. 14．在平面直角坐标系中，经过三点，，的圆的方程为________． 三、解答题 15．已知圆的方程为. (1)求圆的圆心坐标； (2)设直线经过点，且恰好平分圆的圆周，求直线的方程. 16．设直线与轴、轴的交点分别为、． (1)求； (2)求过点、和原点的圆的方程． 17．已知直线过原点，且与平行． (1)求直线的方程； (2)求与间的距离； (3)若圆经过点,，并且被直线平分，求圆的方程． 18．如图所示，圆心点在轴上，为圆上一点， (1)求圆心坐标； (2)求圆的方程； (3)求半径所在的直线方程 1. （2024·内蒙古·真题T15）已知点，，若动点满足，则点到直线的距离的最小值为_________. 2.（2022·内蒙古·真题T15）若直线过圆：的圆心，则的值为______. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题25 圆的方程 一、单选题 1．已知圆的方程，则圆心的坐标和半径分别为（    ） A．圆心，半径5 B．圆心，半径5 C．圆心，半径25 D．圆心，半径25 【答案】B 【分析】由圆的标准方程即可求解. 【详解】因为圆的标准方程为， 所以圆心坐标是，半径为5. 故选：B. 2．点与圆的位置关系为（     ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与m的值有关 【答案】A 【分析】根据点与圆心的距离与半径的比较即可判断点与圆的位置关系. 【详解】因为圆的方程为,所以圆心为. 点到圆心的距离为. 因为恒成立. 所以. 所以. 所以点与圆的圆心距离恒大于半径. 所以点在圆外. 故选：A. 3．圆的圆心到直线的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆心到的距离. 故选：B. 4．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出对称圆的圆心，再根据圆的标准方程即可解得. 【详解】由题，圆的圆心为，半径为， 直线可化为，斜率为，又知两对称圆圆心所在的直线与该直线垂直， 设对称圆的圆心为，则依题意得解得 所以所求的圆的方程为； 故选：C. 5．圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A．，4 B．，2 C．，4 D．，2 【答案】B 【分析】将圆的一般方程转化为圆的标准方程进而得到圆心以及半径. 【详解】圆，配方得， 所以圆心为，半径为. 故选：B. 6．与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为,代入点即可求解. 【详解】设所求圆的方程为，由该圆过点，得m＝4， 所以所求圆的方程为. 故选：B 7．若圆与轴相切，且圆心坐标为，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意求出圆的标准式，从而再求出一般式. 【详解】由已知得圆的半径为2，故圆的方程为， 即．故A正确. 故选：A. 8．与圆C：关于直线对称的圆的方程为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆的圆心和半径，再根据对称时对应点的连线与对称轴垂直和其中点再对称轴上列出方程求出圆心坐标即可. 【详解】圆C：的圆心，半径． 设点关于直线的对称点为， 则， 所以圆C关于直线的对称圆的方程为， 故选:C． 二、填空题 9．经过点和且圆心在轴上的圆的标准方程是________． 【答案】 【分析】根据条件设出圆的标准方程，代入圆上点的坐标求解即可. 【详解】因为圆心在轴上，设圆心为.设圆的标准方程为. 因为点和在圆上，所以，即, 化简得，解得，则. 所以标准方程为：. 故答案为：. 10．圆的方程为，则该圆圆心为_________，半径为_______. 【答案】 7 【分析】由圆的标准方程即可求解. 【详解】令圆的半径为，由圆的方程可知， 圆心坐标为，，即圆的半径为. 故答案为：；. 11．直线与轴、轴分别交于点，，则______；以线段为直径的圆的方程为_________． 【答案】 【分析】先求出的坐标,再由两点之间的距离公式求出,利用中点公式求出圆心坐标,再求出半径,写出圆的方程即可. 【详解】令得,令得,所以, 所以, 所以AB中点坐标为，半径为； 所以圆的方程：. 故答案为:； 12．某圆形运动场的半径为米，以中心为原点，则其边沿的方程为______. 【答案】 【分析】根据题目所给的圆心位置和半径直接得出圆的标准方程. 【详解】已知该圆形运动场以中心为原点，即圆心坐标为，半径米， 所以圆的标准方程为，即， 故答案为：. 13．已知点，，则以AB为直径的圆的标准方程是________． 【答案】 【分析】根据题意求出AB的长和AB的中点坐标，即是圆的半径和圆心，从而写出标准方程. 【详解】因为点，， 所以， 点，的中点坐标为， 则以AB为直径的圆的半径为，圆心为AB的中点， 所以以AB为直径的圆的标准方程是. 故答案为： 14．已知点，，，四点共圆，则______. 【答案】1 【分析】设出圆的一般方程，带入，，坐标，求出圆的方程，再带入点求出答案. 【详解】设过，，的圆的方程为，， 则， 解得， 所以过，，的圆的方程为， 又点在此圆上， 所以， 即， 所以， 故答案为：1 三、解答题 15．若方程表示圆，求m的取值范围. 【答案】 【分析】转化为标准方程，根据标准方程的性质，即可求解参数. 【详解】圆的一般方程为， 转化为标准方程为， 是半径的平方， 故可得，解得或， 取值范围为. 16．某圆形工件在坐标图中圆心为，边缘上一点为. (1)求工件半径； (2)写出边缘所在圆的标准方程. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据圆心和边缘上一点的距离即为半径求解即可； （2）根据圆心和半径求解圆的标准方程即可. 【详解】（1）因为某圆形工件在坐标图中圆心为，边缘上一点为. 所以工件半径； （2）已知该圆形工件的圆心为，半径为， 故边缘所在圆的标准方程为. 17．（1）写出圆心为，半径是的圆的标准方程； （2）求圆的圆心坐标和半径. 【答案】（1）； （2）圆心为，半径是. 【分析】（1）根据圆心坐标和圆的半径可直接写出圆的标准方程. （2）将圆的一般方程化成标准方程，即得到圆心坐标和半径； 【详解】（1）因为圆心为，半径是， 其对应的圆的标准方程为 所以圆的标准方程是. （2）由圆的一般方程可化为： 即得圆的标准方程为， 所以圆的圆心为，半径是. 18．在平面直角坐标系中，曲线与y轴交于A点，与x轴交于B，C两点． (1)求的面积； (2)求外接圆的方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求出，，的坐标，然后利用三角形面积公式可求； （2）设出外接圆一般方程，将，，代入圆的方程，解方程即可求. 【详解】（1）因曲线与y轴交于A点，与x轴交于B，C两点，不妨令点B在点C的右侧， 与y轴相交，即，则， 与x轴相交，即，解得：，， 即，， 即， 则， 所以的面积. （2）设外接圆的方程是， 则有，解得， 于是得， 所以外接圆的方程是. 【考点1 两条直线的位置关系】 一、单选题 1．圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得圆心和半径. 由题可知圆的标准方程为，所以圆心为，半径为． 故选：D. 2．已知圆的圆心坐标为，，分别为（   ） A．4， B．， C．，6 D．4，6 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程的圆心坐标求解即可. 【详解】∵圆的圆心坐标为， ∴，解得. 故选：A. 3．已知圆的方程为，则该圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程确定圆的圆心坐标即可. 【详解】已知圆的方程为， 其中， 则该圆的圆心坐标为，即， 故选：D. 4．圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的标准方程解答即可. 【详解】因为圆，所以圆的标准方程为， 所以圆心坐标是， 故选：B. 5．圆心为，半径为的圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心和半径写出圆的标准方程即可得解. 【详解】圆心为，半径为的圆的标准方程为， 故选：. 6．若圆的圆心到直线的距离为，则实数a的值为（    ） A．0或2 B．0或 C．0或 D．或2 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标，代入点到直线距离公式即可得解. 【详解】因为圆的圆心为， 圆心到直线的距离为，则， 解得或， 故选：. 7．圆心为且过点的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件求得圆的半径，进而可求解. 由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为， 故选：C 8．直线与轴交于点，则以点为圆心、半径为3的圆的方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出的值，即可得点的坐标，再结合圆的标准方程，求解即可. 【详解】当时，，解得：， 即直线与轴的交点为， 又因为圆的半径，所以， 所以圆的方程为：. 故选：D. 二、填空题 9．若圆心为 C（1，2），半径 r =2，圆的标准方程为________. 【答案】 【分析】根据圆的标准方程，直接代入圆心与半径即可. 【详解】设圆的标准方程为 ∵圆心为 C（1，2），半径 r =2， 代入可得： 整理得 故答案为:. 10．已知圆与轴交于两点，且圆心坐标为，则圆的标准方程为________ 【答案】 【分析】根据题意可知圆心在线段的垂直平分线上，求出的垂直平分线，即可确定圆心，再由两点之间的距离公式求出半径，即可写出圆的方程. 【详解】已知圆与轴交于两点， 得圆心在线段的垂直平分线上，的中点为， 所以的垂直平分线为， 故圆心为，所以， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 11．已知二次函数的图像与两坐标轴交于三点，则的外接圆的半径为______． 【答案】 【分析】先求出的坐标，再根据圆的性质设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心坐标和半径即可得解. 【详解】在中，令得，得或， 令，得， 不妨设，，， 根据圆的性质可设圆心， 由得，解得，所以， 所以的外接圆的半径为. 故答案为：. 12．方程表示的圆心坐标是__________________ 【答案】 【分析】根据圆的标准方程确定圆心即可. 【详解】由方程， 可得圆心为， 故答案为：. 13．若方程表示圆，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据计算即可. 【详解】由题可知： 所以 故答案为： 14．在平面直角坐标系中，经过三点，，的圆的方程为________． 【答案】 【分析】先设出圆的方程，再把三个点代入圆的方程即可求解. 【详解】设圆的方程为， 因为圆经过三点，，，则， 解得，即圆的方程为． 故答案为：. 三、解答题 15．已知圆的方程为. (1)求圆的圆心坐标； (2)设直线经过点，且恰好平分圆的圆周，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，从而得解； （2）根据题意可知直线必经过圆心，从而利用两点坐标得到直线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可得解. 【详解】（1）因为圆可化为， 所以圆的圆心坐标为. （2）因为直线恰好平分圆的圆周， 所以直线必经过圆心，又直线经过点， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 16．设直线与轴、轴的交点分别为、． (1)求； (2)求过点、和原点的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线，分别求出、的坐标，利用两点间距离公式即可求. （2）设圆的一般方程为，将原点及、点坐标代入求解即可. 【详解】（1）直线与轴、轴的交点分别为、， 当时，；时，， 所以、的坐标分别为、， 所以. （2）设所求圆的一般方程为：， 则由该圆过原点知，又圆过A、B两点， 有：， 解得：， 故所求圆的方程为． 17．已知直线过原点，且与平行． (1)求直线的方程； (2)求与间的距离； (3)若圆经过点,，并且被直线平分，求圆的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线平行满足斜率相等，即可求解， （2）根据平行线间距离公式即可求解， （3）根据圆心在上，结合,在圆上，由两点距离公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，直线与平行， 则有斜率为， ． 又因其过原点，所以方程为． （2）方程为， 所以与间的距离为．  ． （3）设圆心 由于直线平分圆，所以圆心在直线上，即． 又，所以有． 联立，解得． 所以 所以圆的方程为． 18．如图所示，圆心点在轴上，为圆上一点， (1)求圆心坐标； (2)求圆的方程； (3)求半径所在的直线方程 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合图像即可确定圆心坐标. （2）由两点之间的距离公式求出半径，再由圆心半径写出圆的方程即可. （3）首先由两点确定斜率，再列出点斜式方程，最后化为一般式即可. 【详解】（1）已知圆心点在轴上， 由图可知，圆心坐标为. （2）由（1）可得，圆心坐标为， 为圆上一点，则， 所以圆的方程为. （3）已知圆心坐标为，， 则， 所以半径所在的直线的点斜式方程为， 所以直线的方程为. 1.（2024·内蒙古·真题T15）已知点，，若动点满足，则点到直线的距离的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的坐标表示及内积的坐标运算，表示出，结合圆的标准方程，可判断点的运动轨迹，结合圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】由题意，设动点坐标，则， 又，即， 所以，即， 所以动点在以圆心为，半径的圆周上运动， 所以圆心到直线l的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为. 故答案：. 2.（2022·内蒙古·真题T15）若直线过圆：的圆心，则的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】圆心坐标代入直线方程即可得解． 【详解】圆：的圆心为，即， 代入直线，得，解得． 故答案为：3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $