专题25 圆的方程（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题25 圆的方程 ( 【复习目标】 1.掌握圆的标准方程，能准确识别圆心坐标与半径，会根据圆心、半径直接写 出圆的标准方程； 2.掌握圆的一般方程，能将一般方程化为标准方程，求解圆心与半径. ) 【考点1 圆的方程】 1. 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 2. 圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3. 圆的一般式方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【即时训练】 一、单选题 1．圆的半径等于（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．以点为圆心，5为半径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．圆心在原点，半径为的圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 4．圆的圆心坐标及半径分别为（　　） A．，5 B．， C．， D．，5 5．方程表示圆的充要条件是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在平面直角坐标系中，以为圆心，以1为半径的圆的标准方程是______． 7．圆心为且和x轴相切的圆的方程是________． 8．三个顶点的坐标分别是，则外接圆的标准方程是__________. 9．若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是__________． 10．圆的方程为，则该圆的半径为______． 三、解答题 11．已知点，，求以点为圆心，为半径的圆的标准方程. 12．求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心为点，半径为； (2)圆心为点，且过坐标原点． 【考点2 点与圆的位置关系】 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即时训练】 一、单选题 1．已知点，则以AB为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．设点M为圆的圆心，则点M到直线的距离是（   ） A． B．4 C．5 D．3 3．若点在圆：外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B．3 C．1 D． 5．方程 表示圆，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若的圆心为P，则点P到直线的距离为______. 7．已知点在圆的外部，则的取值范围是_________． 8．点与圆的位置关系为________.（填“点在圆内”，“点在圆上”或“点在圆外”） 9．若点在圆上，则实数______. 10．已知点在圆的内部，则的范围是_______. 三、解答题 11．判断下列各点与圆的位置关系，并说明理由． (1)； (2)； (3)． 12．求以为圆心、半径为的圆的标准方程，并判断点是否在圆上. 1.（2024·内蒙古·真题T15）已知点，，若动点满足，则点到直线的距离的最小值为_________. 2.（2022·内蒙古·真题T15）若直线过圆：的圆心，则的值为______. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题25 圆的方程 ( 【复习目标】 1.掌握圆的标准方程，能准确识别圆心坐标与半径，会根据圆心、半径直接写 出圆的标准方程； 2.掌握圆的一般方程，能将一般方程化为标准方程，求解圆心与半径. ) 【考点1 圆的方程】 1. 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 2. 圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3. 圆的一般式方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【即时训练】 一、单选题 1．圆的半径等于（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程可直接求出半径. 【详解】圆心在原点的圆的标准方程为， 其中为圆的半径， ， 所以圆的半径等于4， 故选：B 2．以点为圆心，5为半径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心和半径直接写出圆的标准方程. 【详解】因为圆心为，半径为5， 所以圆的标准方程是. 故选：D 3．圆心在原点，半径为的圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的标准方程求解即可. 【详解】圆心在原点，半径为的圆的标准方程是，即. 故选：D. 4．圆的圆心坐标及半径分别为（　　） A．，5 B．， C．， D．，5 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程可求. 【详解】原式可化为， 则圆心坐标为，半径为. 故选：B 5．方程表示圆的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件即可求解. 【详解】方程表示圆的充要条件是. 故选：A. 二、填空题 6．在平面直角坐标系中，以为圆心，以1为半径的圆的标准方程是______． 【答案】 【分析】根据圆心坐标与半径，直接写出圆的标准方程. 【详解】因为圆心为，半径为1， 所以圆的标准方程是. 故答案为： 7．圆心为且和x轴相切的圆的方程是________． 【答案】 【分析】根据圆心坐标与半径即可求解. 【详解】因为圆心为的圆与轴相切，所以半径为，所以圆的方程为. 故答案为：. 8．三个顶点的坐标分别是，则外接圆的标准方程是__________. 【答案】 【分析】设出圆的一般方程为，利用待定系数法，分别将三个点坐标代入圆的方程，解方程组求出，从而得出圆的一般方程，再根据圆的一般方程和标准方程的互化，即可得出答案. 【详解】设所求圆的一般方程为：，， 由圆经过三点， ，解得：， 则所求圆的一般方程为：， 所以的外接圆的标准方程是：. 故答案为：. 9．若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【分析】将圆的一般方程写成标准方程，在根据等号右边的式子大于0求解. 【详解】原方程可化为，方程表示圆，则有，即. 故答案为： 10．圆的方程为，则该圆的半径为______． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准式即可得答案. 【详解】圆的方程为， 即， 故则该圆的半径为. 故答案为：. 三、解答题 11．已知点，，求以点为圆心，为半径的圆的标准方程. 【答案】 【分析】首先由两点之间的距离公式求出半径，再由圆心和半径写出圆的方程即可. 【详解】因为点，， 则， 即. 所以圆的标准方程为. 12．求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心为点，半径为； (2)圆心为点，且过坐标原点． 【答案】(1) (2) 【分析】根据圆的标准方程易得答案. 【详解】（1）由题意可得圆的标准方程：； （2）由题意可得圆的半径为：， 所以圆的标准方程：． 【考点2 点与圆的位置关系】 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即时训练】 一、单选题 1．已知点，则以AB为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点坐标公式以及两点间的距离公式求出圆心以及半径，进而得到圆的标准方程. 【详解】因为点，所以线段的中点为， . 则以AB为直径的圆的圆心为，半径为， 进而圆的方程为. 故选：A. 2．设点M为圆的圆心，则点M到直线的距离是（   ） A． B．4 C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据圆的标准方程先求出圆心坐标，结合点到直线的距离公式，代入即可求解． 【详解】由题意，圆的圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离等于． 故选：D． 3．若点在圆：外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合点在圆外的代数关系式与圆的一般方程的定义即可. 【详解】由于点在圆：外， 有，解得， 即的取值范围是. 故选：B. 4．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】D 【分析】由圆的一般式方程得到圆心，再代点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆的圆心为. 则圆心到直线的距离为：. 故选：D. 5．方程 表示圆，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程表示圆列不等式求解即可. 【详解】方程 表示圆， 其中， 则，即， 解得 ， 故选：D. 二、填空题 6．若的圆心为P，则点P到直线的距离为______. 【答案】/ 【分析】先由圆的一般式方程确定圆心P，再利用点到直线的距离公式计算即可得解. 【详解】由可得圆心， 由点到直线的距离公式得. 故答案为：. 7．已知点在圆的外部，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据点在圆外列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】方程表示圆，则， 由于点在圆的外部， 所以， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 8．点与圆的位置关系为________.（填“点在圆内”，“点在圆上”或“点在圆外”） 【答案】点在圆外 【分析】比较点到圆心的距离与圆的半径的大小即可得出结论. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 点到圆心的距离， 因为，即，所以点在圆外. 故答案为：点在圆外. 9．若点在圆上，则实数______. 【答案】 【分析】将点代入圆的方程即可. 【详解】∵点在圆上， ∴将代入圆的方程，得到， ∴， 故答案为：. 10．已知点在圆的内部，则的范围是_______. 【答案】 【分析】由点与圆的位置关系即可求解. 【详解】因为点在圆的内部， 所以，解得，故实数的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 11．判断下列各点与圆的位置关系，并说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)点在圆上，理由见解析 (2)点在圆外，理由见解析 (3)在圆内，理由见解析 【分析】把各点坐标代入圆的方程的左侧，和右侧的5比较大小即可得出结论. 【详解】（1）因为圆的方程为，且， 所以点在圆上． （2）因为圆的方程为，且， 所以点在圆外． （3）因为圆的方程为，且， 所以点在圆内． 12．求以为圆心、半径为的圆的标准方程，并判断点是否在圆上. 【答案】，点在圆上 【分析】根据圆心坐标与半径求解圆的标准方程，再将点代入圆的方程判断是否在圆上即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为， 将点代入圆的标准方程可得：， 故点在圆上. 1.（2024·内蒙古·真题T15）已知点，，若动点满足，则点到直线的距离的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的坐标表示及内积的坐标运算，表示出，结合圆的标准方程，可判断点的运动轨迹，结合圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】由题意，设动点坐标，则， 又，即， 所以，即， 所以动点在以圆心为，半径的圆周上运动， 所以圆心到直线l的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为. 故答案：. 2.（2022·内蒙古·真题T15）若直线过圆：的圆心，则的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】圆心坐标代入直线方程即可得解． 【详解】圆：的圆心为，即， 代入直线，得，解得． 故答案为：3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $