专题24 两条直线的位置关系（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题24 两条直线的位置关系 ( 【复习目标】 会判断平面内两条直线的位置关系，能求两条直线的交点坐标，知道点到直线的距离公式； 会用待定系数法求与已知直线平行（或垂直）的直线方程，会求点到直线的距离 . ) 【考点1 两条直线的位置关系】 1.两条直线平行： （1）若直线与直线平行且都平行于轴，则直线与直线的倾斜角都为0，此时斜率都为0． （2）若直线与直线平行且都垂直于轴，则直线与直线的斜率都不存在． （3）若直线：与直线：平行，则直线与直线的倾斜角相等，即，此时直线与直线的 ，即． （4）若直线：与直线：的斜率相等，即，且，则这 ． （5）在平面直角坐标系中，当两条直线的斜率与都存在，并有且时，两条直线平行；当两条直线的斜率都不存在时，两条直线也平行． 总结：对于两条不重合的直线，，其斜率分别为（斜率存在），有. 2.两条直线相交： （1）在同一平面内，若两条直线和相交，且斜率与都存在，则；反之，若两条直线和的斜率与都存在且，则这两条直线与直线相交． （2）若直线的斜率不存在，而直线的斜率存在，则直线与直线相交． （3）直线与直线相交，交点的坐标同时满足两条直线的方程．因此，两条直线的交点的坐标就是两条直线的方程组成的方程组的解． 3. 两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于； 反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点： (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 4. 另有结论： 设 ，则 （1）； （2） ； （3） 与 重合； （4） 与 相交. 5. 直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. . 【即时训练】 一、单选题 1．若直线与平行，则实数的值为（   ） A．1或 B．或3 C． D． 2．与直线平行的直线的斜率为 （    ） A． B．1 C． D．2 3．直线与平行，则它们之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 4．下列哪对直线互相垂直（    ） A．； B．； C．； D．； 5．已知点，则线段AB的垂直平分线方程是（    ）. A． B． C． D． 二、填空题 6．点关于直线的对称点为__________． 7．直线：与两坐标轴围成的三角形面积为______. 8．过点，且与直线平行的直线方程是______． 9．已知点，到经过点的直线l的距离相等，则l的方程为__________． 10．已知直线与直线平行，则实数的值为______． 三、解答题 11．已知直线经过点，且与直线平行. (1)求直线的方程； (2)求直线与轴、轴的交点坐标； 12．已知直线：，：交点为. (1)求过点且与直线平行的直线方程； (2)求过点且与直线垂直的直线方程. 【考点2 距离公式】 1. 点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线：的距离称为 ． 2. 两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离称为 ． 【即时训练】 一、单选题 1．点到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C．3.4 D．4 2．若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 3．已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C．5 D．10 5．平行线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点________． 7．某工厂在平面直角坐标系中，有一台机床的位置坐标为，传送带所在的直线方程为，则机床到传送带的距离为______. 9．若两条平行直线与之间的距离为，则______. 10．两条平行线与之间的距离为__________． 三、解答题 11．汽车生产车间设计两条传送带和，传送带的方程为，传送带经过零件装配点且与垂直. (1)求传送带的方程； (2)求成品检测点到两条传送带的距离之和. 12．已知光线经过已知直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射． (1)求反射光线所在的直线的方程． (2)求与距离为的直线方程． 1.（2026·内蒙古·真题T06）已知直线：与直线：垂直，则 的值为（ ） A. B. C. D. 2.（2025·内蒙古·真题T07）经过点的直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 3.（2024·内蒙古·真题T05）若直线的斜率是一元二次方程的两个根，则直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交且垂直 C. 重合 D. 相交但不垂直 4.（2023·内蒙古·真题T09）已知直线经过点，，经过点，，若直线，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 2或7 D. 0或5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题24 两条直线的位置关系 ( 【复习目标】 会判断平面内两条直线的位置关系，能求两条直线的交点坐标，知道点到直线的距离公式； 会用待定系数法求与已知直线平行（或垂直）的直线方程，会求点到直线的距离 . ) 【考点1 两条直线的位置关系】 1.两条直线平行： （1）若直线与直线平行且都平行于轴，则直线与直线的倾斜角都为0，此时斜率都为0． （2）若直线与直线平行且都垂直于轴，则直线与直线的斜率都不存在． （3）若直线：与直线：平行，则直线与直线的倾斜角相等，即，此时直线与直线的斜率相等，即． （4）若直线：与直线：的斜率相等，即，且，则这两条直线重合． （5）在平面直角坐标系中，当两条直线的斜率与都存在，并有且时，两条直线平行；当两条直线的斜率都不存在时，两条直线也平行． 总结：对于两条不重合的直线，，其斜率分别为（斜率存在），有. 2.两条直线相交： （1）在同一平面内，若两条直线和相交，且斜率与都存在，则；反之，若两条直线和的斜率与都存在且，则这两条直线与直线相交． （2）若直线的斜率不存在，而直线的斜率存在，则直线与直线相交． （3）直线与直线相交，交点的坐标同时满足两条直线的方程．因此，两条直线的交点的坐标就是两条直线的方程组成的方程组的解． 3. 两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于； 反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点： (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 4. 另有结论： 设 ，则 （1）； （2） ； （3） 与 重合； （4） 与 相交. 5. 直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. . 【即时训练】 一、单选题 1．若直线与平行，则实数的值为（   ） A．1或 B．或3 C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行，直线方程系数的关系即可求解. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得. 故选：D. 2．与直线平行的直线的斜率为 （    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据直线方程求出直线斜率，结合两条直线平行斜率的关系即可得解. 【详解】直线， 所以直线斜率为， 即与直线平行的直线的斜率为， 故选：. 3．直线与平行，则它们之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】若两直线平行，斜率相等，据此先求出m的值，进而求解. 【详解】因为直线与平行，则两直线斜率相等， 得， 根据两平行线的距离公式， 两直线与的距离． 故选：C 4．下列哪对直线互相垂直（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】由两直线垂直，其斜率乘积等于来判断选项中的直线是否垂直即可. 【详解】选项A，斜率为，斜率为，，故两直线不垂直， 选项B，斜率为，斜率为，，故两直线不垂直， 选项C，斜率为，斜率为，，故两直线垂直， 选项D，斜率为，斜率为，，故两直线不垂直， 故选：C. 5．已知点，则线段AB的垂直平分线方程是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的斜率，与线段AB的中点坐标，再由点斜式求垂直平分线方程即可. 【详解】点，则直线的斜率， 的中点坐标为，即， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为， 线段AB的垂直平分线方程是，即. 故选：B. 二、填空题 6．点关于直线的对称点为__________． 【答案】 【分析】设出对称点坐标，根据点与的中点在上且斜率关系得到方程，求出对称点的坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为， 点与的中点在上， 且过点与的直线斜率与的斜率乘积为-1， 则， 解得，， 点关于直线的对称点为． 故答案为：． 7．直线：与两坐标轴围成的三角形面积为______. 【答案】1 【分析】分别令、求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】直线：中，令，得，令，得， 所以直线：与两坐标轴的交点坐标为， 所以直线：与两坐标轴围成的三角形面积为. 故答案为：1. 8．过点，且与直线平行的直线方程是______． 【答案】 【分析】依据两平行直线斜率相等，根据点斜式写出直线方程. 【详解】由题意，直线斜率为， 所以所求直线的斜率为， 又因为直线过点， 所以直线的点斜式方程为：， 化为一般式得． 故答案为：. 9．已知点，到经过点的直线l的距离相等，则l的方程为__________． 【答案】或． 【解析】当直线平行于直线或过线段的中点时，满足题意，然后分别利用平行直线的条件和直线方程的点斜式，线段的中点公式求出直线的方程. 【详解】解：根据题意，当直线l平行于直线AB或过线段AB的中点时，满足题意， 若直线l平行于直线AB，则其斜率， 此时直线l的方程为，即， 若直线l经过AB的中点时，点，， 则AB中点的坐标为， 当直线l经过线段AB的中点时，l的方程是， 综合可得：直线l的方程为：或， 故答案为：或． 10．已知直线与直线平行，则实数的值为______． 【答案】 【分析】根据两直线平行的条件，即可求解. 【详解】由题意知直线与直线平行， 则，即， 所以，即， 解得或， 经检验，当时，，即两直线重合， 经检验时直线平行. 故答案为：． 三、解答题 11．已知直线经过点，且与直线平行. (1)求直线的方程； (2)求直线与轴、轴的交点坐标； 【答案】(1) (2)与轴交点为，与轴交点为 【分析】（1）根据两平行线斜率的关系得出直线的斜率，然后将点代入直线的方程求出余下参数即可. （2）分别将与代入直线的方程求出对应的坐标即可. 【详解】（1）设直线的方程为:， 直线与直线平行， ， 直线过点， 有， 解得:， 直线的方程为:. （2）将代入直线的方程得， ， 直线与轴交点的坐标为， 同理，将代入直线的方程得， ， 解得:， 直线与轴的交点为. 12．已知直线：，：交点为. (1)求过点且与直线平行的直线方程； (2)求过点且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出坐标，由两平行直线的斜率相等即可求解； （2）两直线垂直斜率关系即可求解. 【详解】（1）联立方程组，解得，所以点的坐标为 因所求直线与直线平行， 可设过点且与直线平行的直线方程， 把代入，得，解得， 故过点且与直线平行的直线方程为，即为. （2）设过点且与直线垂直的直线方程为 把代入，得，解得， 故过点且与直线垂直的直线方程为. 【考点2 距离公式】 1. 点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线：的距离称为点到直线的距离公式． 2. 两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离称为两条平行线间的距离． 【即时训练】 一、单选题 1．点到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C．3.4 D．4 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离是. 故选：C. 2．若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，解得．利用平行线之间的距离公式即可得出． 因为直线互相平行， 所以，解得：， 所以直线， 由两直线之间的距离为，可得，解得：或， 当时，直线，满足条件； 当时，直线，满足条件； 故选：C 3．已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分别研究位于直线同侧以及位于直线两侧时的情况，即可得出答案. 【详解】当位于直线同侧时，只有时，且两平行线之间的距离为时，满足条件，这样的直线有2条； 又， 所以位于直线两侧时，只有当直线恰为直线的中垂线时，满足条件，此时的直线有1条. 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故选：C． 4．两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】在直线上任取一点,点到直线的距离为两平行直线的距离. 【详解】在直线上取一点, 点到直线的距离为， 即两平行直线的距离. 故选：B. 5．平行线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线间的距离公式求解. 【详解】平行线与之间的距离为. 故选：B. 二、填空题 6．若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点________． 【答案】 【分析】在直线上任意取一点，根据题意以及直线关于某个点对称的性质，求得直线的方程，可得直线恒过的定点坐标. 【详解】在直线上任意取一点， 则点关于点的对称点为， 在直线上， 故有， 即， 即， 令，求得，， 可得直线恒过定点. 故答案为: . 7．某工厂在平面直角坐标系中，有一台机床的位置坐标为，传送带所在的直线方程为，则机床到传送带的距离为______. 【答案】/ 【分析】根据点到直线的距离公式可求解. 【详解】由题可知，机床到传送带的距离： . 故答案为： 8．点到直线的距离是______． 【答案】/ 【分析】根据点到直线的距离公式求值即可. 【详解】点到直线的距离为， ， 故答案为：. 9．若两条平行直线与之间的距离为，则______. 【答案】11或 【分析】由平行直线的距离公式求解， 【详解】直线，即， 直线与平行， ，解得， 直线与的距离为， ，解得或 故答案为：11或 10．两条平行线与之间的距离为__________． 【答案】/ 【分析】利用两条平行线间的距离公式即可求解． 【详解】已知直线可化为. 由两平行线间的距离公式可得， ． 故答案为：. 三、解答题 11．汽车生产车间设计两条传送带和，传送带的方程为，传送带经过零件装配点且与垂直. (1)求传送带的方程； (2)求成品检测点到两条传送带的距离之和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线垂直的性质以及直线点斜式方程求解即可. （2）根据点到直线的距离的公式求解即可. 【详解】（1）因为传送带的斜率为，所以的斜率为， 则的方程为，即. （2）点到的距离， 点到的距离 ， 所以 12．已知光线经过已知直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射． (1)求反射光线所在的直线的方程． (2)求与距离为的直线方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由题可得，进而可得，然后结合条件及直线的点斜式即得； （2）根据平行线间距离公式即得. 【详解】（1）由，可得， 即，又， 所以， 所以反射光线所在的直线的斜率为， 故反射光线所在的直线的方程，即； （2）由题可设所求直线方程为，则 ，解得或， 所以与距离为的直线方程为或. 1.（2026·内蒙古·真题T06）已知直线：与直线：垂直，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的性质列出方程即可得解. 【详解】直线：与直线：垂直， 所以，解得， 故选： . 2.（2025·内蒙古·真题T07）经过点的直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线平行斜率相等及两点间的斜率公式求出，代入两点间距离公式即可得解. 【详解】直线，斜率为， 因为经过点的直线与直线平行， 所以直线的斜率为，则， 则， 故选：. 3.（2024·内蒙古·真题T05）若直线的斜率是一元二次方程的两个根，则直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交且垂直 C. 重合 D. 相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合韦达定理得出两条直线的斜率之积为即可得解. 【详解】设直线的斜率为， 所以是一元二次方程的两个根， 则， 所以直线的位置关系是相交且垂直， 故选：. 4.（2023·内蒙古·真题T09）已知直线经过点，，经过点，，若直线，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 2或7 D. 0或5 【答案】D 【解析】 【分析】当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于求解，若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0，求解两种情况即可. 【详解】由题意知的斜率一定存在， 的斜率可能不存在，当的斜率不存在时，点横坐标相同，即，即， 此时，则，满足题意. 当的斜率存在时，，由斜率公式得： ，， 由，知， 即，得到,解得. 综上所述，a的值为0或5. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $