专题23 两点间距离公式、中点公式及直线的方程（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题23 两点间的距离公式、中点公式及直线的方程 ( 【复习目标】 1.掌握两点间的距离公式与中点坐标公式; 2.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念; 3.掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程 . ) 【考点1 两点间距离公式及中点坐标公式】 1．数轴上A，B两点的距离 数轴上点A的坐标为，点B的坐标为，则A，B两点间的距离：． 2．两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，两点，之间的距离公式为：. 3．线段的中点坐标公式 若点A，B的坐标分别为，，线段AB的中点M的坐标为：. 【即时训练】 一、单选题 1．点与之间的距离是（　　） A． B． C． D． 2．已知线段端点 与中点，另一端点的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．点与原点的距离为（　　） A． B． C． D． 4．平面直角坐标系中，点间的距离公式是（　　） A． B． C． D． 5．若是的中点，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．线段端点与的中点为______. 7．以为端点的线段长度为______. 8．若，，且，则的值为______. 9．已知点，线段的中点坐标，则线段端点的坐标为____________. 10．若数轴上两点和的距离是10，且其中点坐标是，则 ______， ______. 三、解答题 11．一块平面图上两个定位点分别记为．若单位长度代表，求两点间距离，并写出线段的中点坐标. 12．如图所示，已知的三个顶点分别是    (1)求边上的中点的坐标； (2)计算边上中线的长度. 【考点2 直线的方程】 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为． (2)斜率：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即．当直线平行于x轴或者与x轴重合时k＝0；当直线的倾斜角为锐角时k>0；当直线的倾斜角为钝角时k<0；倾斜角为90°的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．　 (3)经过两点，()的直线的斜率公式为． 2．直线方程的几种形式 (1)截距：直线l与x轴交点(a，0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距（注：截距不是距离）． (2)直线方程的四种形式： 名称 方程 适用范围 点斜式 存在 斜截式 存在 截距式 且 一般式 (A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的所有直线 【即时训练】 一、单选题 1．一条导轨经过，斜率为，其方程可写为（　　） A． B． C． D． 2．过点，的直线斜率是（　　） A． B． C． D． 3．直线的纵截距是（　　） A． B． C． D． 4．过点且斜率为的直线点斜式是（　　） A． B． C． D． 5．当时，直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．点在直线上，则______. 7．过点且斜率为的直线斜截式方程为______. 8．直线 化为斜截式为______. 9．过点且斜率为的直线点斜式方程为______. 10．直线与坐标轴围成的三角形的面积是 ______ . 三、解答题 11．用点斜式求过点且斜率为的直线方程，并化为一般式方程. 12．已知直线过点和点. (1)求直线的斜率； (2)写出直线的点斜式方程； (3)将方程化为斜截式. 1.（2022·内蒙古·真题T08）已知直线的斜率，则此直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题23 两点间的距离公式、中点公式及直线的方程 ( 【复习目标】 1.掌握两点间的距离公式与中点坐标公式; 2.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念; 3.掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程 . ) 【考点1 两点间距离公式及中点坐标公式】 1．数轴上A，B两点的距离 数轴上点A的坐标为，点B的坐标为，则A，B两点间的距离：． 2．两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，两点，之间的距离公式为：. 3．线段的中点坐标公式 若点A，B的坐标分别为，，线段AB的中点M的坐标为：. 【即时训练】 一、单选题 1．点与之间的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点间的距离公式求解. 【详解】点与之间的距离为. 故选：A. 2．已知线段端点 与中点，另一端点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点坐标公式即可求解. 【详解】设点， 由题意得，， 解得，即. 故选：B. 3．点与原点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式求解. 【详解】点与原点的距离为. 故选：D. 4．平面直角坐标系中，点间的距离公式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间的距离公式求解. 【详解】根据两点间的距离公式可知，点间的距离公式是. 故选：B. 5．若是的中点，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点坐标公式求解. 【详解】若是的中点，则的坐标为，即. 故选：A. 二、填空题 6．线段端点与的中点为______. 【答案】 【分析】根据中点坐标公式即可求得结果. 【详解】，中点坐标. 故答案为： 7．以为端点的线段长度为______. 【答案】8 【分析】根据两点间的距离公式求解． 【详解】以为端点的线段长度为， 故答案为：8． 8．若，，且，则的值为______. 【答案】或 【分析】根据两点间的距离公式列出方程求解. 【详解】已知，， 可得：， 又因为，所以， 则或，解得或， 故答案为：或. 9．已知点，线段的中点坐标，则线段端点的坐标为____________. 【答案】 【分析】根据题意结合中点坐标公式即可得解. 【详解】点，线段的中点坐标， 设线段端点的坐标为， 则，解得， 所以线段端点的坐标为， 故答案为：. 10．若数轴上两点和的距离是10，且其中点坐标是，则 ______， ______. 【答案】 10 【分析】运用数轴上两点间的距离公式以及中点坐标公式建立关于和的方程求解. 【详解】数轴上两点和的中点坐标是，则，得， 数轴上两点和的距离是，所以， 故答案为：，. 三、解答题 11．一块平面图上两个定位点分别记为．若单位长度代表，求两点间距离，并写出线段的中点坐标. 【答案】两点间距离为，线段的中点坐标为 【分析】根据两点间距离公式和线段的中点坐标公式求解. 【详解】两点间距离为（）， 线段的中点坐标为，即. 12．如图所示，已知的三个顶点分别是    (1)求边上的中点的坐标； (2)计算边上中线的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点坐标公式即可解得. （2）根据两点坐标计算其距离即可. 【详解】（1）设线段的中点D坐标为， 由点和线段的中点坐标公式，得，， 即边上的中点的坐标为. （2）因为, 所以， 即边上中线的长度为. 【考点2 直线的方程】 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为． (2)斜率：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即．当直线平行于x轴或者与x轴重合时k＝0；当直线的倾斜角为锐角时k>0；当直线的倾斜角为钝角时k<0；倾斜角为90°的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．　 (3)经过两点，()的直线的斜率公式为． 2．直线方程的几种形式 (1)截距：直线l与x轴交点(a，0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距（注：截距不是距离）． (2)直线方程的四种形式： 名称 方程 适用范围 点斜式 存在 斜截式 存在 截距式 且 一般式 (A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的所有直线 【即时训练】 一、单选题 1．一条导轨经过，斜率为，其方程可写为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜截式方程即可得解. 【详解】一条导轨经过，即纵截距为，且斜率为， 其方程可写为. 故选：. 2．过点，的直线斜率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点斜率公式计算即可. 【详解】因为两点斜率公式为：. 代入计算可得：. 故选：B 3．直线的纵截距是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜截式中，为斜率，为纵截距，即可得出结果. 【详解】对比和，得，即纵截距为. 故选：C 4．过点且斜率为的直线点斜式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点斜式和斜截式方程计算即可. 【详解】因为直线的点斜式方程为：， 代入点斜式得. 故选：C 5．当时，直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线化为斜截式方程，由此求解斜率即可. 【详解】因为，所以直线化为斜截式方程为， 所以当时，直线的斜率为. 故选：C. 二、填空题 6．点在直线上，则______. 【答案】 【分析】根据把点代入直线方程即可求解. 【详解】因为点在直线上， 所以，解得. 故答案为：. 7．过点且斜率为的直线斜截式方程为______. 【答案】 【分析】根据直线的斜截式方程即可求解. 【详解】因为直线过点，所以纵截距为， 则直线的斜截式方程为. 故答案为：. 8．直线 化为斜截式为______. 【答案】 【分析】根据点斜式化为斜截式的方法即可求解. 【详解】由直线展开得，，移项化简得. 故答案为：. 9．过点且斜率为的直线点斜式方程为______. 【答案】 【分析】根据条件写成直线的点斜式方程即可； 【详解】过点且斜率为的直线点斜式方程为. 故答案为： 10．直线与坐标轴围成的三角形的面积是 ______ . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合直线方程求出直线在 轴、 轴上的截距，再求面积即可. 【详解】因为直线方程为， 令，则；令，则； 所以直线在 轴上的截距为，在 轴上的截距为3， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积. 故答案为：. 三、解答题 11．用点斜式求过点且斜率为的直线方程，并化为一般式方程. 【答案】，一般式方程为 【分析】先求出直线的点斜式方程，进而化为一般式方程． 【详解】过点且斜率为的直线方程为， 整理可得一般式方程为. 12．已知直线过点和点. (1)求直线的斜率； (2)写出直线的点斜式方程； (3)将方程化为斜截式. 【答案】(1)2 (2)或 (3) 【分析】（）根据两点间斜率公式即可得解. （）根据直线的点斜式方程即可得解. （）将点斜式方程化为斜截式方程即可得解. 【详解】（1）直线过点和点， 所以斜率为， （2）直线过点和点， 则直线的点斜式方程为或. （3）直线的点斜式方程为或， 化为斜截式方程为. 1.（2022·内蒙古·真题T08）已知直线的斜率，则此直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的倾斜角的范围以及，分析可得答案． 【详解】设直线的倾斜角为，则， 根据题意，有， 则的取值范围是． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $