专题22 向量的坐标表示（练习）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以内蒙古对口招生考情为导向，采用支架式教学理念，通过挖空讲解与分层训练构建向量坐标表示从基础到综合的完整进阶路径，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量的坐标表示和运算|单选5+填空5+解答2+真题3|覆盖坐标运算、共线条件等基础计算，解答题含平行四边形顶点坐标等综合应用|从向量坐标概念生成，到加减、数乘运算，再到共线条件推导，形成“概念-运算-应用”逻辑链| |平面向量内积的性质及坐标表示|单选5+填空5+解答2+真题3|包含内积计算、垂直判定、夹角求解，结合网格、单位圆等情境|以内积定义为基础，通过坐标表示实现性质应用，衔接几何意义与代数运算，体现数形结合|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题22 向量的坐标表示 【考点1 平面向量的坐标表示和运算】 一、单选题 1．已知为坐标原点， ，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】已知，设， 则， 所以，即点的坐标是. 故选：A. 2．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标表示即可得解. 【详解】，则， 故选：. 3．若，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把向量的横纵坐标分别与系数相乘即可选出正确答案. 【详解】已知， 则， 故选：D 4．若，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】终点坐标减去起点坐标即为向量坐标，据此即可选出正确答案. 【详解】已知， 则， 故选：A 5．若与共线，则为（　　） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据两向量共线的坐标关系来求解的值即可. 【详解】因为与共线， 故，解得. 故选：A. 二、填空题 6．已知，则______. 【答案】 【分析】终点坐标减去起点坐标即为向量坐标，据此即可求解. 【详解】已知， 则， 故答案为：. 7．若，且，则 ______. 【答案】2 【分析】终点坐标减去起点坐标即为向量坐标，据此即可求解. 【详解】已知，且， 得， 故答案为：2 8．向量的模为______. 【答案】10 【分析】根据求向量的模的公式即可求解. 【详解】已知向量， 则， 故答案为：10 9．若，且，则点的坐标为______. 【答案】 【分析】根据向量的坐标表示求解. 【详解】设点的坐标为，已知，所以， 又已知，可得方程组，解得，， 故点的坐标为， 故答案为： 10．若，则______. 【答案】 【分析】根据向量的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 三、解答题 11．已知，求 的坐标及其模. 【答案】， 【分析】终点坐标减去起点坐标，即可得到向量坐标，再代入模长公式即可求模. 【详解】已知， 则， . 12．已知平行四边形的顶点按顺序排列为，，，求第四个顶点的坐标. 【答案】 【分析】在平行四边形中，，由此根据向量的坐标表示求解. 【详解】，，则， 设点坐标为，则， 在平行四边形中，，所以，解得, 因此，第四个顶点的坐标为. 【考点2 平面向量内积的性质及坐标表示】 一、单选题 1．向量与的内积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量内积的计算公式即可求解. 【详解】已知向量与， 则两向量的内积为：， 故选：C 2．向量与的位置关系是（    ） A．方向相同 B．方向相反 C．平行 D．垂直 【答案】D 【分析】若两向量内积为0，则两向量垂直，据此即可选出正确答案.. 【详解】已知向量与， 则，所以两向量不平行，即ABC错误； 两向量的内积为：，所以两向量垂直，故D正确. 故选：D 3．若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量模的坐标表示计算. 【详解】若，则. 故选：B. 4．向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则（    ）    A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意，可建立适当的直角坐标系，表示出向量的坐标，结合向量线性运算和向量的模的坐标表示，即可求解. 【详解】    由题意，以向量在正方形网格中的起点为原点建立直角坐标系（如图所示）， 则，所以， 所以. 故选：B. 5．已知向量，，且 ，则实数的值为（    ） A．12 B． C．13 D． 【答案】D 【分析】先求出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示求解. 【详解】已知向量，， 可得， 因为， 所以，解得， 故选：D. 二、填空题 6．已知，且，的夹角为钝角，求实数的取值范围为_____________ 【答案】 【分析】由题意得出且与不共线，利用向量内积的坐标运算可求出实数的取值范围. 【详解】因为，的夹角为钝角，所以，且与不共线， 即，解得：， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 7．与向量同方向的单位向量的坐标为________ . 【答案】 【分析】与向量 同方向的单位向量为 ，先求 的模长，再将 除以模长即可. 【详解】向量的模， 与向量同方向的单位向量的坐标为. 故答案为：. 8．已知向量，则_____________ 【答案】1 【分析】由向量内积的坐标运算求解即可. 【详解】因为, 所以. 故答案为：. 9．已知两点，点在轴上，且，则点的坐标为____________． 【答案】或 【分析】设点的坐标为，再由得出，，最后由向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知两点， 点在轴上，设点的坐标为， 则， ， 因为，所以， 则，即， 解得，即点的坐标为或， 故答案为：或. 10．已知，，与夹角为______. 【答案】 【分析】根据向量内积的坐标表示及夹角公式即可求解. 【详解】因为，，所以. 则， 因为， 所以夹角为. 故答案为：. 三、解答题 11．已知，. (1)求； (2)判断两向量是否垂直. 【答案】(1)5 (2)不垂直 【分析】（1）根据向量内积的坐标运算公式求出， （2）根据向量垂直的判定条件判断两向量是否垂直. 【详解】（1）已知，，可得：. （2）由（1）可知，所以与不垂直. 12．已知， (1)若与垂直，求实数的值； (2)若，求实数和的值. 【答案】(1) (2)和 【分析】（）根据平面向量线性运算的坐标表示及垂直的性质即可得解. （）根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】（1）， 则，且与垂直， 所以，解得. （2）， 因为，， 则，解得， 所以，. 【考点1 平面向量的坐标表示和运算】 一、单选题 1．若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数乘法则即可求解. 【详解】， 则， 故选：D 2．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标公式计算即可得出结果. 【详解】若，， 终点坐标等于起点坐标加向量坐标，所以. 故选： 3．已知，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过移项，利用向量减法法则即可得出结果. 【详解】因为， 所以. 故选：C 4．若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数乘向量、向量加法法则计算即可. 【详解】由已知可得：， 所以. 故选： 5．若与共线，则的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【分析】根据平面向量的共线定理即可得解. 【详解】因为与共线， 则， 所以，解得， 所以， 故选：. 二、填空题 6．，，则__________. 【答案】 【分析】根据平面向量运算的坐标表示即可得解. 【详解】，， 则， 故答案为：. 7．已知向量，，若与平行，则实数________． 【答案】 【分析】先计算和的坐标，再利用平行条件列方程求解. 【详解】向量，， ， ， 若与平行， 则，解得. 故答案为：. 8．已知平面向量 ，根据向量数乘与加减运算法则，计算________. 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为平面向量 ，则， 所以. 故答案为： 9．已知，则________. 【答案】 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示和模的坐标表示求值即可. 【详解】已知， 则， ， 故答案为：. 10．已知点，，，若向量与共线，则实数x等于________． 【答案】 【分析】首先由向量的坐标表示求出与，再由向量共线的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知点，，， 则，， 因为向量与共线， 所以，解得， 故答案为：. 三、解答题 11．已知向量，试计算： (1)求 (2)若向量与平行，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量坐标的线性运算即可解得. （2）根据两向量平行的条件列出方程求解即可解得. 【详解】（1）. （2）由（1）可知，，， 又知与平行，则，解得. 12．已知向量， (1)求； (2)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算求解即可. （2）根据向量平行的坐标表示及向量的坐标运算求解即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以， ， 又因为， 所以，解得：. 【考点2 平面向量内积的性质及坐标表示】 一、单选题 1．已知向量，，且，则（    ） A． B． C．5 D．0 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量，， 由，得， 解得， 故选：A. 2．已知向量，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量内积的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量， 所以. 故选：A. 3．在边长为2的正方形中，E为的中点，则（   ）. A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算，可以求得结果. 【详解】以A为坐标原点，建系如图：   ， 则，，，，； 所以， 故选：D. 4．已知向量，，，且，则实数（   ）. A． B． C．1 D．6 【答案】C 【分析】根据向量垂直关系的坐标表示，可得结果. 【详解】∵，， ∴，∵，， ∴，解得， 故选：C. 5．已知向量，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的夹角公式求解. 【详解】设向量与的夹角为， 已知向量，， 则 因为，所以， 故选：D. 二、填空题 6．如图，单位圆与x轴交于A、B两点，点C为圆上一点，且，则________．    【答案】 【分析】根据单位圆的特征写出各点的坐标，根据向量的坐标表示以及内积的坐标运算即可求解. 【详解】由单位圆半径为1可知， 因为，所以， 所以， 则. 故答案为：. 7．若向量，，，且，则________． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，，，则, 所以，解得. 故答案为：. 8．已知向量，，，若，则_______． 【答案】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示直接求解即可. 【详解】根据题意，， 又因为，则， 解得. 故答案为： 9．已知平面向量，若，则____________. 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算及向量平行的充要条件、模长的坐标公式列式计算即可得到结果. 【详解】由，可得， 由，可得，解得， 所以，. 故答案为：. 10．已知向量满足，且与的夹角为，则_________. 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积公式得出，再把模长转化为数量积计算求值. 因为向量满足，则， 又与的夹角为， 所以， 则. 故答案为：. 三、解答题 11．已知向量， (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，及向量的模的坐标表示，即可求解； （2）根据题意，结合向量夹角的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）因为向量， 所以， 所以； （2）因为向量，所以， 所以， 所以. 12．已知向量，， (1)若，求的值； (2)求的余弦值. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据平面向量线性运算的坐标表示求出与的坐标，利用平面向量的平行列出方程即可得解. （）根据平面向量的夹角公式即可得解. 【详解】（1）向量，， ，， 因为，则， 解得. （2）向量，， 则，，， 所以. 1.（2025·内蒙古·真题T04）已知向量，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算的坐标表示求出，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】向量， 则， 因为，则， 解得. 故选：B. 2（2022·内蒙古·真题T05）已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，且与不共线，列式求解即可． 【详解】由题意得，且与不共线， ∴，且，解得，且， 故的取值范围是． 故选：D． 3.（2026·内蒙古·真题T19）已知点，，．若点 满足，且，求 点的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】设点 的坐标为，表示出题干涉及的所有向量，利用平面向量共线、垂直的坐标运算性质列方程组，求解方程组即可得到 点坐标。 【详解】设点 的坐标为， 且点，，， 所以， ， ， ， 因为，， 所以，即， 解得， 所以 点的坐标为. 4.（2024·内蒙古·真题T20）已知，，求满足，且的点的坐标. 【答案】或 【解析】 【分析】先设定，结合向量坐标的表示及运算，以及向量模的坐标表示，即可求解. 【详解】由题意，设， 又，， 所以， 即，得到， 又，即， 所以，解得或， 所以点坐标为或. 5.（2023·内蒙古·真题T20）平面内给定三个向量，，，且． （1）求满足条件的实数m，n的值； （2）若满足，且，求的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先由向量的坐标运算表示出，再联立向量垂直和相等向量求解t的值即可. （2）设出的坐标，由向量的线性坐标运算和共线向量坐标运算，以及模长公式联立求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又因为， 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以，又因为， 解得，. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 设， ，， 因为， 所以， 所以， 所以①， 又因为，且， 所以②， 将①代入②中有，，可解或， ，或. 则或. 6.（2022·内蒙古·真题T20）已知，，．求： （1）的值； （2）与的夹角的余弦值． 【答案】（1）30 （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量内积的坐标表示计算即可； （2）利用向量的夹角公式求解． 【小问1详解】 ∵，，，∴， ∴． 【小问2详解】 ∵，， ， 设与的夹角为， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题22 向量的坐标表示 【考点1 平面向量的坐标表示和运算】 一、单选题 1．已知为坐标原点， ，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．已知，则（　　） A． B． C． D． 3．若，则 （　　） A． B． C． D． 4．若，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．若与共线，则为（　　） A．1 B．2 C．3 D．6 二、填空题 6．已知，则______. 7．若，且，则 ______. 8．向量的模为______. 9．若，且，则点的坐标为______. 10．若，则______. 三、解答题 11．已知，求 的坐标及其模. 12． 已知平行四边形的顶点按顺序排列为，，，求第四个顶点的坐标. 【考点2 平面向量内积的性质及坐标表示】 一、单选题 1．向量与的内积为（　　） A． B． C． D． 2．向量与的位置关系是（    ） A．方向相同 B．方向相反 C．平行 D．垂直 3．若，则等于（　　） A． B． C． D． 4．向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则（    ）    A．2 B． C． D．3 5．已知向量，，且 ，则实数的值为（    ） A．12 B． C．13 D． 二、填空题 6．已知，且，的夹角为钝角，求实数的取值范围为_____________ 7．与向量同方向的单位向量的坐标为________ . 8．已知向量，则_____________ 9．已知两点，点在轴上，且，则点的坐标为____________． 10．已知，，与夹角为______. 三、解答题 11．已知，. (1)求； (2)判断两向量是否垂直. 12．已知， (1)若与垂直，求实数的值； (2)若，求实数和的值. 【考点1 平面向量的坐标表示和运算】 一、单选题 1．若，则为（　　） A． B． C． D． 2．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．已知，则为（　　） A． B． C． D． 4．若，，则等于（　　） A． B． C． D． 5．若与共线，则的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．12 二、填空题 6．，，则__________. 7．已知向量，，若与平行，则实数________． 8．已知平面向量 ，根据向量数乘与加减运算法则，计算________. 9．已知，则________. 10．已知点，，，若向量与共线，则实数x等于________． 三、解答题 11．已知向量，试计算： (1)求 (2)若向量与平行，求x的值． 12．已知向量， (1)求； (2)若，求实数k的值. 【考点2 平面向量内积的性质及坐标表示】 一、单选题 1．已知向量，，且，则（    ） A． B． C．5 D．0 2．已知向量，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 3．在边长为2的正方形中，E为的中点，则（   ）. A． B． C． D．1 4．已知向量，，，且，则实数（   ）. A． B． C．1 D．6 5．已知向量，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，单位圆与x轴交于A、B两点，点C为圆上一点，且，则________．    7．若向量，，，且，则________． 8．已知向量，，，若，则_______． 9．已知平面向量，若，则____________. 10．已知向量满足，且与的夹角为，则_________. 三、解答题 11．已知向量， (1)求的值； (2)求的值. 12．已知向量，， (1)若，求的值； (2)求的余弦值. 1.（2025·内蒙古·真题T04）已知向量，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 2（2022·内蒙古·真题T05）已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.（2026·内蒙古·真题T19）已知点，，．若点 满足，且，求 点的坐标． 4.（2024·内蒙古·真题T20）已知，，求满足，且的点的坐标. 5.（2023·内蒙古·真题T20）平面内给定三个向量，，，且． （1）求满足条件的实数m，n的值； （2）若满足，且，求的坐标． 6.（2022·内蒙古·真题T20）已知，，．求： （1）的值； （2）与的夹角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $