专题22 向量的坐标表示（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题22 向量的坐标表示 ( 【复习目标】 1. 理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算 ； 2. 掌握向量数量积的坐标运算，熟记向量平行与垂直的坐标运算公式 . ) 【考点1 平面向量的坐标表示和运算】 1. 平面向量的正交分解及坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.则实数对(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a相等的向量的坐标也为(x，y)．显然，i＝(1，0)， j＝(0，1)，0＝(0，0). 2. 平面向量的坐标运算 （1）已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). （2）如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). （3）若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). （4）如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 【即时训练】 一、单选题 1．点，则为（　　） A． B． C． D． 2．若，则为（　　） A． B． C． D． 3．向量 中，表示纵向分量的是（　　） A． B． C． D． 4．若，则为（　　） A． B． C． D． 5．若，，则为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．若，，则______. 7．若，，则______. 8．若，则______. 9．已知向量，且，则______. 10．若，，则______. 三、解答题 11．已知点，且 . (1)求点 的坐标； (2)写出 的坐标. 12．已知，. (1)求； (2)求. 【考点2 平面向量内积的性质及坐标表示】 1．向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 (1)； (2)当与同向时，；当与反向时，；特别地，或； (3)； (4) 2．向量内积的坐标表示 (1)若，则； (2)向量数量积：若，则； (3)若向量，则 【即时训练】 一、单选题 1．向量与的内积为（　　） A． B． C． D． 2．若，则等于（　　） A． B． C． D． 3．要证明非零向量与垂直，可检查（　　） A． B． C． D．两向量的坐标都为正 4．已知，，则两向量夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 5．已知，且，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．若，则 ______. 7．已知，，则______. 8．若，且，则______. 9．设x为实数，若三点共线，则实数x的值为_________. 10．若向量，，且，则________. 三、解答题 11．已知. (1)判断与是否垂直； (2)求. 12．已知向量，. (1)求； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值. 1.（2025·内蒙古·真题T04）已知向量，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 2（2022·内蒙古·真题T05）已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.（2026·内蒙古·真题T19）已知点，，．若点 满足，且，求 点的坐标． 4.（2024·内蒙古·真题T20）已知，，求满足，且的点的坐标. 5.（2023·内蒙古·真题T20）平面内给定三个向量，，，且． （1）求满足条件的实数m，n的值； （2）若满足，且，求的坐标． 6.（2022·内蒙古·真题T20）已知，，．求： （1）的值； （2）与的夹角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题22 向量的坐标表示 ( 【复习目标】 1. 理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算 ； 2. 掌握向量数量积的坐标运算，熟记向量平行与垂直的坐标运算公式 . ) 【考点1 平面向量的坐标表示和运算】 1. 平面向量的正交分解及坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.则实数对(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a相等的向量的坐标也为(x，y)．显然，i＝(1，0)， j＝(0，1)，0＝(0，0). 2. 平面向量的坐标运算 （1）已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). （2）如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). （3）若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). （4）如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 【即时训练】 一、单选题 1．点，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，据此即可求解. 【详解】已知点， 向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标， 则， 故选：A 2．若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的模的计算公式即可求解. 【详解】已知， 则， 故选：B 3．向量 中，表示纵向分量的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量坐标的定义即可得出结果. 【详解】，横向分量为，纵向分量为. 故选：. 4．若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量坐标形式的加法法则即可求解. 【详解】平面向量相加，就是把两个向量横、纵坐标分别相加，得到和向量坐标， 若，则， 故选：A 5．若，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量减法运算，对应坐标相减即可得出结果. 【详解】由题意得，. 故选： 二、填空题 6．若，，则______. 【答案】 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 7．若，，则______. 【答案】 【分析】根据向量减法的坐标运算求解即可. 【详解】. 故答案为：. 8．若，则______. 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解. 【详解】，则，又， 所以. 故答案为：. 9．已知向量，且，则______. 【答案】2 【分析】根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，且， 所以，故. 故答案为：2. 10．若，，则______. 【答案】 【分析】根据向量减法的坐标运算规则计算. 【详解】已知，，可得， 故答案为：. 三、解答题 11．已知点，且 . (1)求点 的坐标； (2)写出 的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的坐标公式计算即可得出结果； （2）利用相反向量的概念直接可求得结果. 【详解】（1）设，点，且， 所以 所以，解得，即 （2）. 12．已知，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】运用向量线性运算的坐标表示计算. 【详解】（1）已知，， 可得：. （2）已知，那么， 又，则. 【考点2 平面向量内积的性质及坐标表示】 1．向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 (1)； (2)当与同向时，；当与反向时，；特别地，或； (3)； (4) 2．向量内积的坐标表示 (1)若，则； (2)向量数量积：若，则； (3)若向量，则 【即时训练】 一、单选题 1．向量与的内积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量内积的坐标表示求解即可. 【详解】. 故选：C. 2．若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量内积的坐标公式即可求解. 【详解】已知， 根据平面向量内积的坐标公式，， 故选：A 3．要证明非零向量与垂直，可检查（　　） A． B． C． D．两向量的坐标都为正 【答案】A 【分析】根据向量垂直的判定条件求解． 【详解】选项A：对于两个非零向量与，， 所以可以通过检查来证明非零向量与垂直，该选项正确； 选项B：意味着，这表明与大小相等， 方向相反，两向量是共线向量，而不是垂直向量，所以该选项错误； 选项C：只能说明两个向量的模长相等， 但不能说明它们的方向关系，两向量不一定垂直，所以该选项错误； 选项D：两向量的坐标都为正，设向量，，， 则，不能得出两向量垂直的结论，所以该选项错误， 故选：A. 4．已知，，则两向量夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角的余弦值的公式计算. 【详解】已知，， 可得：，，， 设向量与的夹角为， 所以， 故选：B. 5．已知，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量垂直的性质即可得解. 【详解】，且， 则，解得， 故选：. 二、填空题 6．若，则 ______. 【答案】0 【分析】根据向量内积的计算公式即可求解. 【详解】已知， 根据向量内积的计算公式， ， 故答案为：0 7．已知，，则______. 【答案】24 【分析】根据向量内积的坐标表示求解. 【详解】已知，，则. 故答案为：24. 8．若，且，则______. 【答案】2 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解. 【详解】若，且， 则，解得. 故答案为：2. 9．设x为实数，若三点共线，则实数x的值为_________. 【答案】4 【分析】将三点共线转化为两向量共线，利用坐标求解即可. 【详解】由三点共线， 得和共线， 即得，解得. 故答案为：4 10．若向量，，且，则________. 【答案】 【分析】根据向量垂直的条件列方程求解即可. 【详解】由，， 则. 因为，所以，所以. 故答案为：. 三、解答题 11．已知. (1)判断与是否垂直； (2)求. 【答案】(1)垂直 (2) 【分析】（1）先求两向量的内积，进而判断两向量是否垂直； （2）代入向量模长公式计算即可. 【详解】（1）已知， 则， 故与垂直； （2）已知， 则. 12．已知向量，. (1)求； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）先表示出的坐标，再由模长公式求解即可； （2）先表示出与的坐标，再由向量平行的坐标表示求解即可； （3）先表示出的坐标，再由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】（1）因为向量，， 所以， 所以； （2）因为向量，， 所以，， 因为， 所以，解得； （3）因为向量，， 所以， 因为，即， 所以，解得. 1.（2025·内蒙古·真题T04）已知向量，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算的坐标表示求出，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】向量， 则， 因为，则， 解得. 故选：B. 2（2022·内蒙古·真题T05）已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，且与不共线，列式求解即可． 【详解】由题意得，且与不共线， ∴，且，解得，且， 故的取值范围是． 故选：D． 3.（2026·内蒙古·真题T19）已知点，，．若点 满足，且，求 点的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】设点 的坐标为，表示出题干涉及的所有向量，利用平面向量共线、垂直的坐标运算性质列方程组，求解方程组即可得到 点坐标。 【详解】设点 的坐标为， 且点，，， 所以， ， ， ， 因为，， 所以，即， 解得， 所以 点的坐标为. 4.（2024·内蒙古·真题T20）已知，，求满足，且的点的坐标. 【答案】或 【解析】 【分析】先设定，结合向量坐标的表示及运算，以及向量模的坐标表示，即可求解. 【详解】由题意，设， 又，， 所以， 即，得到， 又，即， 所以，解得或， 所以点坐标为或. 5.（2023·内蒙古·真题T20）平面内给定三个向量，，，且． （1）求满足条件的实数m，n的值； （2）若满足，且，求的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先由向量的坐标运算表示出，再联立向量垂直和相等向量求解t的值即可. （2）设出的坐标，由向量的线性坐标运算和共线向量坐标运算，以及模长公式联立求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又因为， 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以，又因为， 解得，. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 设， ，， 因为， 所以， 所以， 所以①， 又因为，且， 所以②， 将①代入②中有，，可解或， ，或. 则或. 6.（2022·内蒙古·真题T20）已知，，．求： （1）的值； （2）与的夹角的余弦值． 【答案】（1）30 （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量内积的坐标表示计算即可； （2）利用向量的夹角公式求解． 【小问1详解】 ∵，，，∴， ∴． 【小问2详解】 ∵，， ， 设与的夹角为， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $