专题21 平面向量的内积（练习）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以内蒙古对口招生考情为导向，采用支架式教学，通过分层训练构建平面向量内积“概念-性质-应用”的完整进阶路径，培养运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-3题|定义辨析、夹角与内积关系判断|从内积定义式切入，建立概念认知| |性质应用|单选4-8题、填空9-14题|模与夹角计算、垂直条件应用|通过数量关系推导内积性质，强化推理能力| |综合应用|解答15-18题|几何问题、物理做功情境|结合几何与现实情境，体现数学语言表达现实世界的应用意识| |真题再现|3道近年真题|高频考点针对性训练|紧扣考情，实现从知识到应试能力的转化|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题21 平面向量的内积 一、单选题 1．两个非零向量的夹角为，则它们的内积定义式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的内积公式求解即可. 【详解】向量内积的定义为. 故选：A. 2．已知，夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量内积的定义即可得解. 【详解】，夹角为， 则， 故选：. 3．若两个非零向量的夹角为锐角，则它们的内积（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．一定等于 【答案】B 【分析】利用向量内积公式以及锐角的范围来确定内积的正负. 【详解】设两个非零向量为和，它们的夹角为， 已知两个非零向量的夹角为锐角，即，则， 又因为和是非零向量，所以且， 那么， 故选：B. 4．已知，夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的内积公式即可求解. 【详解】已知，夹角为， 则， 故选：B 5．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量内积的运算求解. 【详解】. 故选：C. 6．设，则（　　） A． B． C． D．的夹角为 【答案】C 【分析】根据向量垂直的表示求解. 【详解】非零向量内积为当且仅当两个向量垂直． 若，则， 故选：C. 7．两个非零向量，若，则的夹角可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量内积公式来判断夹角的范围. 【详解】设的夹角为， 已知，则， 因为，，所以， 又，则可得，故ABC错误；D正确， 故选：D. 8．若，且，则的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量内积公式求出两向量夹角的余弦值，再根据夹角的取值范围确定夹角的大小. 【详解】设向量与的夹角为，已知， 由，可得，解得， 因为，所以， 故选：C. 二、填空题 9．若两个非零向量内积为，则这两个向量互相______. 【答案】垂直 【分析】根据平面向量垂直的性质即可得解. 【详解】两个非零向量内积为，则这两个向量互相垂直， 故答案为：垂直. 10．若，的夹角为，则______. 【答案】10 【分析】根据向量内积的定义计算． 【详解】若，的夹角为， 则， 故答案为：10． 11．若且同向，则______. 【答案】12 【分析】根据平面向量内积的定义即可得解. 【详解】且同向，则， 故答案为：. 12．若向量，满足，，，则________． 【答案】 【分析】根据题意利用平面向量的运算法则即可得解. 【详解】因为，， ， 所以， 故答案为：. 13．已知向量，为单位向量，且，若，则________． 【答案】 【分析】根据题意利用平面向量垂直的性质，运算法则及夹角公式即可得解. 【详解】向量，为单位向量，且，， 则， 且， 故. 故答案为：. 14．若都是单位向量，，则向量与的夹角大小为__________. 【答案】 【分析】根据题意利用平面向量的运算法则及夹角公式即可得解. 【详解】都是单位向量，故，且， 设夹角为，， ， ， ，又， 故，即向量与的夹角为. 故答案为：. 三、解答题 15．已知 ， ，两向量夹角为 ， 求 . 【答案】12 【分析】使用向量数量积公式计算即可得出结果. 【详解】因为 ， ，两向量夹角为 ， 所以 . 16．已知，的夹角为. (1)求； (2)判断为正还是负. 【答案】(1)9 (2)正 【分析】（1）根据向量内积公式计算， （2）根据计算结果判断正负. 【详解】（1）已知，与的夹角为， 可得：. （2）由（1）可知，即为正. 17．一名工人移动货箱，推力大小为，位移大小为，推力与位移夹角为. (1)用内积求做功； (2)说明夹角对结果的影响. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，结合向量内积的定义，即可求解. （2）根据题意，结合向量内积的定义，及余弦函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，设推力大小为F,位移大小为S， 则做功为. （2）由内积的定义，可知，， 又余弦函数在时单调递减， 当夹角越大，余弦值越小，力在位移方向上的有效作用就越小. 18．已知向量，满足，，，，的夹角为. (1)求； (2)若，求实数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知的模长和夹角求出，再根据向量模长的平方等于向量自身的平方求解； （2）根据向量垂直的性质，建立关于的方程，求解即可. 【详解】（1）， 又，， ， . （2），， ， 又∵， ，解得. 一、单选题 1．已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量夹角的公式求值即可. 【详解】已知， 则， 因为，所以， 故选：D. 2．已知，则为（   ） A．28 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的运算的法则得出的值即可得解. 【详解】因为， ， 所以， 故选：. 3．若非零向量，满足，且 ，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直求出，再求出夹角的余弦值，进而确定夹角. 【详解】已知，所以. 因为非零向量，满足，所以. 因为，解得. 故选：B. 4．两个平面向量，，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量内积的定义求出夹角的余弦值，结合向量夹角的取值范围即可确定夹角大小. 【详解】已知，，， 所以， 因为，因此. 故选：D. 5．四边形为正方形，则下列关系正确的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合正方形的性质，根据相等向量的定义、向量加法的三角形法则、向量数量积的定义逐一判断各选项即可. 【详解】设正方形边长为a，邻边互相垂直，对边平行且模长相等， 选项A：与模长相等、方向相反，为相反向量，不是相等向量，故A错误， 选项B：与对应正方形的两条对角线，模长均为，但方向不同， 不满足相等向量的定义，故B错误， 选项C：根据向量加法的三角形法则，，模长为， 与夹角为，显然不等于，故C错误， 选项D：正方形中，即与的夹角为，则，故D正确. 故选：D. 6．已知单位向量和，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据模长相等以及向量的运算律得，结合向量夹角公式即可求解. 【详解】由题意得，，， 即，所以，则， 则， 则， 又，所以. 故选：A. 7．已知向量，满足，，，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积以及向量的模公式求解即可. 【详解】向量，满足，，， 所以， 解得. 故选：A. 8．如图所示，在平行四边形中，，，，则（    ）    A．7 B． C．2 D．10 【答案】B 【分析】根据题意结合平面向量的运算法则即可得解. 【详解】在平行四边形中，，，， ， 则 ， 故选：. 二、填空题 9．若，则______. 【答案】0 【分析】根据向量垂直的性质求解． 【详解】若，则， 故答案为：0． 10．在中，M是的中点，，，则________． 【答案】5 【分析】利用向量的线性运算及向量内积的运算性质求解. 【详解】M是的中点，则，， ， 故答案为：5. 11．已知，为单位向量，其夹角为，则__________. 【答案】0 【分析】根据题意结合平面向量的运算律即可得解. 【详解】已知，为单位向量，其夹角为， 则， 故答案为：. 12．已知非零向量，的夹角为，，且，则______. 【答案】4 【分析】根据向量内积的运算律列方程求解即可. 【详解】已知， 则， 由，得， 解得. 故答案为：4. 13．在中，已知，若，则__________ 【答案】 【分析】根据向量夹角的公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 因为，则. 故答案为：. 14．若向量满足，则______. 【答案】9 【分析】将左右同时平方，展开整理，即可得答案. 由题意， 解得. 三、解答题 15．如图，在菱形中，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算可求的表示形式，从而可求的值； （2）根据数量积的运算律可求的值． 【详解】（1）， 因不共线，故，故. （2）， 故 . 16．已知向量与满足：，，且． (1)求与的夹角 (2)求与的夹角的余弦值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示求出，再利用向量夹角公式求解. （2）利用向量数量积的运算律及向量夹角公式求解. （1）由，，得，解得， 又，因此，而， 所以与的夹角. （2）由（1）得， ， ， 所以与的夹角的余弦值. 17．已知与的夹角为，求. 【答案】 【详解】 18．已知，求·；；. 【答案】3；10；. 【分析】根据向量内积的定义式，向量内积运算法则以及向量夹角余弦值公式即可求解. 【详解】因为， 所以， ， 又， ， 所以， 则. 1．（2025·内蒙古·真题T20）已知向量，向量与的夹角为. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合平面向量的模长公式及平面向量内积的定义即可得解. （）根据题意结合平面向量垂直的性质即可得解. 小问1详解】 向量，向量与的夹角为，， 则由，解得. 【小问2详解】 因为，且， 则，故 则，解得. 2.（2024·内蒙古·真题T08）已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量内积的运算法则和向量模的运算法则计算即可. 【详解】已知与均为单位向量， 则，，由它们的夹角为， 可得， 所以 ， 故选：D. 3.（2023·内蒙古·真题T05）在中，，，则（ ） A. 3 B. C. 0 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】用数量积定义计算即可得解. 【详解】因为在中，，， 所以. 故选：A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题21 平面向量的内积 一、单选题 1．两个非零向量的夹角为，则它们的内积定义式是（　　） A． B． C． D． 2．已知，夹角为，则（　　） A． B． C． D． 3．若两个非零向量的夹角为锐角，则它们的内积（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．一定等于 4．已知，夹角为，则（　　） A． B． C． D． 5．若，则（　　） A． B． C． D． 6．设，则（　　） A． B． C． D．的夹角为 7．两个非零向量，若，则的夹角可能是（　　） A． B． C． D． 8．若，且，则的夹角为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．若两个非零向量内积为，则这两个向量互相______. 10．若，的夹角为，则______. 11．若且同向，则______. 12．若向量，满足，，，则________． 13．已知向量，为单位向量，且，若，则________． 14．若都是单位向量，，则向量与的夹角大小为__________. 三、解答题 15．已知 ， ，两向量夹角为 ， 求 . 16．已知，的夹角为. (1)求； (2)判断为正还是负. 17．一名工人移动货箱，推力大小为，位移大小为，推力与位移夹角为. (1)用内积求做功； (2)说明夹角对结果的影响. 18．已知向量，满足，，，，的夹角为. (1)求； (2)若，求实数. 一、单选题 1．已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则为（   ） A．28 B． C． D． 3．若非零向量，满足，且 ，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．两个平面向量，，，则 （    ） A． B． C． D． 5．四边形为正方形，则下列关系正确的选项是（    ） A． B． C． D． 6．已知单位向量和，若，则等于（     ） A． B． C． D． 7．已知向量，满足，，，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 8．如图所示，在平行四边形中，，，，则（    ）    A．7 B． C．2 D．10 二、填空题 9．若，则______. 10．在中，M是的中点，，，则________． 11．已知，为单位向量，其夹角为，则__________. 12．已知非零向量，的夹角为，，且，则______. 13．在中，已知，若，则__________ 14．若向量满足，则______. 三、解答题 15．如图，在菱形中，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 16．已知向量与满足：，，且． (1)求与的夹角 (2)求与的夹角的余弦值 17．已知与的夹角为，求. 18．已知，求·；；. 1．（2025·内蒙古·真题T20）已知向量，向量与的夹角为. （1）求； （2）若，求的值. 2.（2024·内蒙古·真题T08）已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ） A. 4 B. C. D. 3.（2023·内蒙古·真题T05）在中，，，则（ ） A. 3 B. C. 0 D. 不能确定 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $