专题21 平面向量的内积（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题21 平面向量的内积 ( 【复习目标】 1. 理解平面向量夹角的概念 . 2. 掌握平面向量内积的定义、会求平面向量的内积、夹角，判断向量的垂直 . 3. 理解平面向量内积的运算律 . ) 【考点1 向量的内积】 1. 平面向量的夹角 （1）已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)． （2）向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．a与b同向时，夹角θ＝ 0°；a与b反向时，夹角θ＝180°. （3）如果向量a与b的夹角是90°，我们就说a与b垂直，记作a⊥b． 2．向量内积的定义 (1)定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积(也称内积)； (2)记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0； (3)由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 3．向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 (1)； (2)当与同向时，；当与反向时，；特别地，或； (3)； (4) 【即时训练】 一、单选题 1．计算两个向量夹角余弦时，通常需要内积和两个向量的（　　） A．起点 B．颜色 C．模 D．名称 2．若 ，夹角为，则（　　） A． B． C． D． 3．已知，夹角为，则（　　） A． B． C． D． 4．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．当两个非零向量方向相同时，它们的夹角为（　　） A． B． C． D． 6．若，则等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．若，夹角为，则______. 8．当非零向量满足时，两向量夹角为______. 9．若，则两向量夹角的余弦值为______. 10．若，则______. 11．已知，的夹角为，则______. 三、解答题 12．已知，，两向量夹角为.求. 13．已知向量满足.求： (1)的值； (2)向量与的夹角（）. 14．已知，求和. 15．已知，，，求. 1．（2025·内蒙古·真题T20）已知向量，向量与的夹角为. （1）求； （2）若，求的值. 2.（2024·内蒙古·真题T08）已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ） A. 4 B. C. D. 3.（2023·内蒙古·真题T05）在中，，，则（ ） A. 3 B. C. 0 D. 不能确定 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题21 平面向量的内积 ( 【复习目标】 1. 理解平面向量夹角的概念 . 2. 掌握平面向量内积的定义、会求平面向量的内积、夹角，判断向量的垂直 . 3. 理解平面向量内积的运算律 . ) 【考点1 向量的内积】 1. 平面向量的夹角 （1）已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)． （2）向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．a与b同向时，夹角θ＝ 0°；a与b反向时，夹角θ＝180°. （3）如果向量a与b的夹角是90°，我们就说a与b垂直，记作a⊥b． 2．向量内积的定义 (1)定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积(也称内积)； (2)记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0； (3)由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 3．向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 (1)； (2)当与同向时，；当与反向时，；特别地，或； (3)； (4) 【即时训练】 一、单选题 1．计算两个向量夹角余弦时，通常需要内积和两个向量的（　　） A．起点 B．颜色 C．模 D．名称 【答案】C 【分析】根据向量内积的计算公式即可选出正确答案. 【详解】设向量的夹角为， 根据向量内积的计算公式：， 所以计算两个向量夹角余弦时，通常需要内积和两个向量的模， 故选：C 2．若 ，夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量内积的计算公式求解即可. 【详解】因为，夹角为， 所以. 故选：D. 3．已知，夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的内积运算即可求解. 【详解】由题意得，，夹角为， 则. 故选：B. 4．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积性质 求解即可. 【详解】 ， . 故选：C 5．当两个非零向量方向相同时，它们的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角的定义求解即可. 【详解】方向相同的非零向量夹角为. 故选：B. 6．若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的数量积公式计算即可得出结果. 【详解】 ，夹角 ， 故选： 二、填空题 7．若，夹角为，则______. 【答案】10 【分析】根据向量内积的计算公式求解即可. 【详解】因为，夹角为，所以. 故答案为：. 8．当非零向量满足时，两向量夹角为______. 【答案】 【分析】根据向量内积的计算公式及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】设的夹角为， 因为，所以， 因为，所以. 故答案为：. 9．若，则两向量夹角的余弦值为______. 【答案】 【分析】根据向量的内积公式即可求解. 【详解】设两向量夹角为， ， 故答案为： 10．若，则______. 【答案】7 【分析】根据向量内积的运算求解. 【详解】，故. 故答案为：7. 11．已知，的夹角为，则______. 【答案】8 【分析】根据向量内积的定义求解. 【详解】由题意，. 故答案为：8. 三、解答题 12．已知，，两向量夹角为.求. 【答案】5 【分析】根据向量内积的定义求解即可. 【详解】因为，，两向量夹角为. 所以. 13．已知向量满足.求： (1)的值； (2)向量与的夹角（）. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据平面向量的运算法则将等号两边平方即可得解. （）根据平面向量内积的定义即可得解. 【详解】（1）向量满足， 则，解得. （2）因为， 则，解得， 因为， 所以. 14．已知，求和. 【答案】 【分析】根据向量的运算以及向量内积求解即可. 【详解】因为， 所以， 则， . 15．已知，，，求. 【答案】15 【分析】根据题意，结合向量内积的定义及运算律，即可求解. 【详解】因为，，， 所以. 1．（2025·内蒙古·真题T20）已知向量，向量与的夹角为. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合平面向量的模长公式及平面向量内积的定义即可得解. （）根据题意结合平面向量垂直的性质即可得解. 小问1详解】 向量，向量与的夹角为，， 则由，解得. 【小问2详解】 因为，且， 则，故 则，解得. 2.（2024·内蒙古·真题T08）已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量内积的运算法则和向量模的运算法则计算即可. 【详解】已知与均为单位向量， 则，，由它们的夹角为， 可得， 所以 ， 故选：D. 3.（2023·内蒙古·真题T05）在中，，，则（ ） A. 3 B. C. 0 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】用数量积定义计算即可得解. 【详解】因为在中，，， 所以. 故选：A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $