专题20 平面向量的概念及线性运算（练习）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以支架式教学为理念，通过挖空讲解与分层训练，构建平面向量概念到线性运算的完整进阶路径，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量有关的概念|17题（选择5+填空10+解答2）|以选择填空为主，聚焦向量定义、模、方向、相等/共线向量等基础辨析|从向量基本属性（大小与方向）切入，通过几何图形（菱形、正六边形）强化概念理解，形成“定义-辨析-应用”逻辑链| |向量的线性运算|17题（选择5+填空10+解答2）|涵盖选择填空解答，考查加减、数乘运算规则及共线向量判定|基于概念基础，递进至运算规律，通过代数式化简与几何图形应用，实现“概念-运算-综合应用”的能力提升|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题20 平面向量的概念及线性运算 【考点1 向量有关的概念】 一、单选题 1．四边形为菱形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．向量能比较大小 3．向量是具有（    ）的量. A．大小 B．大小和方向 C．方向 D．以上说法都不对 4．下列量中：温度、加速度、频率、长度，其中向量有（   ） A．温度 B．加速度 C．频率 D．长度 5．下列说法中，正确的是（ ） A．模为的向量与任意向量共线 B．单位向量只有一个 C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 二、填空题 6．平行四边形中，与相等的向量可写为______. 7．若表示从点到点的位移，则与的方向______. 8．已知，与的方向相反，且，则_______ 9．如图所示，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，    则：（1）与向量相等的向量有______； （2）与向量相反的向量有______； （3）与向量的模相等的向量有______.（填图中所画出的向量） 10．有下列命题： ①单位向量一定相等； ②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同； ④方向相反的两个单位向量互为相反向量； ⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆． 其中正确的命题的个数为______． 三、解答题 11．如图所示，已知正六边形．    (1)写出的相等向量； (2)写出的相反向量（任写3个即可）； (3)写出的共线向量（任写3个即可）． 12．如图，在方格纸中，取两个格子的格点（A，B，C，D，E，F）为起点和终点作向量，写出满足下列条件的向量： （1）与相等的向量； （2）与的相反向量； （3）与的模相等的向量． 【考点2 向量的线性运算】 一、单选题 1．若，则与非零向量的方向（　　） A．相同 B．垂直 C．相反 D．无法确定 2．若 为非零向量，且，则 与 （　　） A．方向相同 B．方向相反 C．一定不平行 D．模一定相等 3．若，则等于（    ） A． B． C．单位向量 D． 4．在中，（　　） A． B． C． D． 5．若与同向，，则为（　　） A．13 B．9 C．4 D．5 二、填空题 6．若与反向，且，则______. 7．已知是非零不共线向量，且满足，则_________ 8．已知向量的模，则_______. 9．已知，则_____________； 10．计算____________ 三、解答题 11．已知 . (1)用 表示 ； (2)说明这个式子体现了哪种运算. 12．计算： (1) (2) 【考点1 向量有关的概念】 一、单选题 1．关于向量的说法正确的是（　　） A．起点是 B．只有大小没有方向 C．方向由指向 D．与完全相同 2．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．零向量没有大小 C．零向量大小为0 D．零向量方向唯一 3．下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．，则 C．若，且，则 D．若，则与不共线 4．关于向量和的叙述正确的是 （    ） A．更大 B．更大 C．一样大 D．无法比较 5．在正六边形中，设，则下列向量中与不共线的是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 6．如图所示，在正三角形中，P、Q、R分别是、、的中点，则与向量相等的向量是________． 7．有下列说法： ①向量和的长度相等； ②； ③“”的充要条件是“”． 其中，正确的说法是______．（填序号） 8．正方形的边长为2，则____________________； 9．“”是“”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 10．如图，O是正方形的对角线的交点，四边形、是正方形，在图中所示的向量中， （1）与相等的向量有_____________； （2）与共线的向量有___________． 三、解答题 11．如图，四边形和四边形都是平行四边形． (1)写出与向量相等的向量； (2)写出与向量共线的向量． 12．如图所示，的三边均不相等，、、分别是、、的中点．    (1)写出向量的平行向量； (2)写出与向量相等的向量； (3)写出向量的相反向量． 【考点2 向量的线性运算】 一、单选题 1．下列式子体现向量加法交换律的是（　　） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，等于（　　） A． B． C． D． 3．表达式等于（　　） A． B． C． D． 4．若，则（　　） A． B． C． D． 5．若，则下列说法正确的是（　　） A．两向量方向相同， B．两向量方向相反， C．两向量一定相等 D．两向量一定垂直 二、填空题 6．若与方向相反，且，则______. 7．如图，______． 8．同起点向量 与 满足 ______. 9．若 ，则 ______. 10．设，是两个不共线的向量.若向量与的方向相反，则________. 三、解答题 11．化简： (1) (2) 12．已知是两个非零不共线的向量，，，若与是共线向量，求实数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题20 平面向量的概念及线性运算 【考点1 向量有关的概念】 一、单选题 1．四边形为菱形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据菱形对边平行且相等的性质，结合相等向量的定义逐一判断各选项即可. 【详解】长度相等，方向相反，则，故A错误， 与所在直线是菱形的两条对角线所在直线，二者方向不同， 长度也不一定相等，因此不是相等向量，故B错误， 只有特殊的菱形（正方形）的邻边才相互垂直， 普通菱形的邻边夹角不为，故C错误， 与对应菱形的一组对边，二者长度相等， 方向相同，则，故D正确， 故选：D. 2．下列说法正确的是（    ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．向量能比较大小 【答案】C 【分析】对每个选项所涉及的向量基本概念进行分析即可. 【详解】选项A：零向量的模为0，0不是正实数，故A选项错误； 选项B：单位向量是指模等于1的向量，不同方向的单位向量是不同的， 所以单位向量有无数个，而不是只有一个，故B选项错误； 选项C：向量的大小即向量的模，它只与向量的长度有关，与向量的方向无关，故C选项正确； 选项D：向量既有大小又有方向，则向量不能比较大小，故D选项错误. 故选：C. 3．向量是具有（    ）的量. A．大小 B．大小和方向 C．方向 D．以上说法都不对 【答案】B 【分析】根据向量的两个要素求解即可. 【详解】向量是具有大小和方向的量. 故选：B. 4．下列量中：温度、加速度、频率、长度，其中向量有（   ） A．温度 B．加速度 C．频率 D．长度 【答案】B 【分析】根据向量的定义判断. 【详解】温度、频率、长度，它们只有大小，没有方向，所以不是向量； 加速度既有大小又有方向，是向量， 故选：B. 5．下列说法中，正确的是（ ） A．模为的向量与任意向量共线 B．单位向量只有一个 C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 【答案】A 【分析】根据零向量的定义可判断A选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用向量的定义可判断D选项. 对A，模为的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故A正确； 对B，单位向量的模为，但方向为任意方向，故B错误； 对C，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故C错误； 对D，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故D错误． 故选：A． 二、填空题 6．平行四边形中，与相等的向量可写为______. 【答案】 【分析】根据题意，结合相等向量的概念，即可求解. 【详解】    因为平行四边形中，对边平行且相等， 所以与长度相等且方向相同，故. 故答案为：. 7．若表示从点到点的位移，则与的方向______. 【答案】相反 【分析】根据题意，结合向量的概念，即可求解. 【详解】由题意，若表示从点到点的位移，则表示从点到点的位移， 所以与的方向相反. 故答案为：相反. 8．已知，与的方向相反，且，则_______ 【答案】 【分析】根据相反向量的定义，结合题意即可求解. 【详解】因为，与的方向相反， 所以， 所以. 故答案为：. 9．如图所示，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，    则：（1）与向量相等的向量有______； （2）与向量相反的向量有______； （3）与向量的模相等的向量有______.（填图中所画出的向量） 【答案】 ， ，，，， 【分析】根据已知，结合图象以及向量的概念，即可得出答案. 【详解】因为O是正三角形ABC的中心，所以. 因为四边形AOCD为平行四边形，所以，且. 根据图象可知，与向量相等的向量有； 由已知可得，，且，且. 所以，与向量相反的向量有，； 因为，， 所以与向量的模相等的向量有，，，，. 故答案为：；，；，，，，. 10．有下列命题： ①单位向量一定相等； ②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同； ④方向相反的两个单位向量互为相反向量； ⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆． 其中正确的命题的个数为______． 【答案】 【分析】由相等向量、相反向量的知识依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，两个单位向量方向不同时不相等，①错误； 对于②，方向相同且模长相等的向量为相等向量，与起点无关，②正确； 对于③，相等的非零向量方向相同且模长相等，若起点不同，则终点不同，③正确； 对于④，单位向量模长相等，又方向相反，则这两个向量为相反向量，④正确； 对于⑤，若两个向量起点相同，且模长相等且不为零，则终点的轨迹为球面，⑤错误； 则正确的命题个数为个. 故答案为：. 三、解答题 11．如图所示，已知正六边形．    (1)写出的相等向量； (2)写出的相反向量（任写3个即可）； (3)写出的共线向量（任写3个即可）． 【答案】(1)、、 (2)、、、 (3)、、、、、、、、 【分析】（1）根据相等向量的概念求解即可. （2）根据相反向量的概念求解即可. （3）根据共线向量的概念求解即可. 【详解】（1）如图所示，的相等向量有、、. （2）如图所示，的相反向量右、、、. （3）如图所示，的共线向量有、、、、、、、、. 12．如图，在方格纸中，取两个格子的格点（A，B，C，D，E，F）为起点和终点作向量，写出满足下列条件的向量： （1）与相等的向量； （2）与的相反向量； （3）与的模相等的向量． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）方向相同且模长相等的向量为相等向量；（2）方向相反且模长相等的向量为相反向量；（3）利用矩形对角线相等，求解与的模相等的向量. 【详解】（1）方向相同且模长相等的向量为相等向量，故与相等的向量为； （2）方向相反且模长相等的向量为相反向量，故与的相反向量为； （3）与的模相等的向量为. 【考点2 向量的线性运算】 一、单选题 1．若，则与非零向量的方向（　　） A．相同 B．垂直 C．相反 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据实数与向量相乘时，实数的正负对向量方向的影响即可求解. 【详解】已知，为非零向量， 根据向量数乘性质可知与非零向量的方向相反. 故选：C. 2．若 为非零向量，且，则 与 （　　） A．方向相同 B．方向相反 C．一定不平行 D．模一定相等 【答案】B 【分析】根据向量数乘运算求解即可. 【详解】负数倍向量与原向量方向相反，且二者平行，故B选项符合题意. A选项：仅当时方向才相同，不符合的条件； C选项：由可知两个向量是平行（共线）的； D选项：，只有时两向量的模才相等，不符. 故选：B. 3．若，则等于（    ） A． B． C．单位向量 D． 【答案】D 【分析】根据向量数乘运算求解即可. 【详解】任何向量乘以都得到零向量. 故选：D. 4．在中，（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的加法法则即可得解. 【详解】在中，， 故选：. 5．若与同向，，则为（　　） A．13 B．9 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据平面向量的运算及模长即可得解. 【详解】若与同向，， 则， 故选：. 二、填空题 6．若与反向，且，则______. 【答案】5 【分析】根据向量模的运算即可解得. 【详解】由题，已知与反向， 则和向量的模等于模的差的绝对值，即， 又知， 则. 故答案为：. 7．已知是非零不共线向量，且满足，则_________ 【答案】 【分析】根据相等关系列式求解的值，由此计算即可. 【详解】因为满足， 所以可得，解得， 所以. 故答案为：. 8．已知向量的模，则_______. 【答案】9 【分析】根据向量模的性质求值即可. 【详解】已知，则， 故. 故答案为：9. 9．已知，则_____________； 【答案】 【分析】根据平面向量的运算法则即可得解. 【详解】， 故答案为：. 10．计算____________ 【答案】 【分析】根据平面向量的运算法则即可得解. 【详解】， 故答案为：. 三、解答题 11．已知 . (1)用 表示 ； (2)说明这个式子体现了哪种运算. 【答案】(1) (2)体现向量减法 【分析】（1）根据向量的减法求解即可 （2）根据向量的减法概念求解即可. 【详解】（1）已知，是从到的差向量，因此 . （2）向量的减法 12．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合向量的加、减运算，即可求解； （2）根据题意，结合向量的加、减运算，即可求解. 【详解】（1）； （2）. 【考点1 向量有关的概念】 一、单选题 1．关于向量的说法正确的是（　　） A．起点是 B．只有大小没有方向 C．方向由指向 D．与完全相同 【答案】C 【分析】根据向量的概念判断选项即可. 【详解】向量表示有向线段从指向，既有大小又有方向，故B错误； 故向量的起点是，终点是，方向由指向，故A错误，C正确； 向量起点是，终点是，故向量与不相同，故D错误. 故选：C. 2．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．零向量没有大小 C．零向量大小为0 D．零向量方向唯一 【答案】C 【分析】根据零向量的概念求解即可. 【详解】零向量的长度为0，方向不确定，为任意方向， 所以选项ABD错误，选项C正确. 故选：C. 3．下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．，则 C．若，且，则 D．若，则与不共线 【答案】A 【分析】根据向量及共线向量的定义判断. 由向量相等的定义知选项A正确； 向量是有方向的量，不能比较大小，选项B错误； 当时，与不一定平行，选项C不正确； 可以是但与的模不相等，选项D不正确. 故选：A. 4．关于向量和的叙述正确的是 （    ） A．更大 B．更大 C．一样大 D．无法比较 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的概念，即可求解. 【详解】因为向量是有长度和方向的量，无法比较大小. 故选：D. 5．在正六边形中，设，则下列向量中与不共线的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线向量的概念可判断结果. 【详解】在正六边形中，四边形，都是平行四边形， 所以，与共线，与不共线， 又因为三点共线，所以与共线. 故选：C 二、填空题 6．如图所示，在正三角形中，P、Q、R分别是、、的中点，则与向量相等的向量是________． 【答案】， 【分析】利用相等向量的定义找到与相等的向量即可. 【详解】因为P、Q、R分别是、、的中点，所以，， 因为方向相同，大小相等的向量为相等向量，所以与相等的向量为，. 故答案为：，. 7．有下列说法： ①向量和的长度相等； ②； ③“”的充要条件是“”． 其中，正确的说法是______．（填序号） 【答案】① 【分析】根据相等向量，零向量和相反向量的概念结合充要条件的判别方法逐个分析即可. 【详解】已知向量和为相反向量，所以和长度相等方向相反，故①正确， 是向量，0是标量，所以，故②错误， 若，则有，即能推出， 若，则与不一定相等，方向有可能不同，即不能推出， 所以”是“的充分不必要条件.故③错误. 所以正确的只有①. 故答案为：①. 8．正方形的边长为2，则____________________； 【答案】 【分析】根据向量模长的定义求解即可. 【详解】即模长，即边长，则. 故答案为：. 9．“”是“”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】根据相等向量和充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】解：“”表示向量与向量是相等向量， “”表示向量与向量的模相等． 模相等且方向相同的两个向量称为相等向量， ∴，， ∴“”是“”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要. 10．如图，O是正方形的对角线的交点，四边形、是正方形，在图中所示的向量中， （1）与相等的向量有_____________； （2）与共线的向量有___________． 【答案】 、、 【分析】根据相等向量、共线向量的概念结合图形进行问题的求解. 【详解】（1）与长度相等方向相同的向量有：； （2）与方向相同或相反的向量有：、、， 故答案为：；、、. 三、解答题 11．如图，四边形和四边形都是平行四边形． (1)写出与向量相等的向量； (2)写出与向量共线的向量． 【答案】(1) (2)，，，，，， 【分析】（1）由相等向量的定义即可得解. （2）由共线向量的定义即可得解. 【详解】（1）∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，，∴， 故与向量相等的向量是，. （2）由共线向量的条件知， 与共线的向量有，，，，，，. 12．如图所示，的三边均不相等，、、分别是、、的中点．    (1)写出向量的平行向量； (2)写出与向量相等的向量； (3)写出向量的相反向量． 【答案】(1)，，，，，，． (2)与 (3)，，． 【分析】（1）根据平行向量的概念分析即可. （2）根据相等向量的概念分析即可. （3）根据相反向量的概念分析即可. 【详解】（1）由三角形的性质可知，三角形的中位线平行于三角形的第三条边， 长度等于第三条边的一半， ∵、分别是、的中点， ∴，且， ∵是的中点， ∴， ∴的平行向量有，，，，，，． （2）由（1）可知，与向量相等的向量有与． （3）∵、、分别是、、的中点， ∴，， ∴的相反向量有，，． 【考点2 向量的线性运算】 一、单选题 1．下列式子体现向量加法交换律的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法交换律的定义判断即可． 【详解】向量加法交换律的定义：两个向量相加，交换它们的位置，和不变，即. 选项A：，完全符合向量加法交换律的定义，所以选项A正确； 选项B：，即任何向量与零向量相加都等于它本身，并非向量加法交换律，所以选项B错误； 选项C：，即一个向量与它的相反向量相加等于零向量，不是向量加法交换律，所以选项C错误； 选项D：，表示向量的模长为，与向量加法交换律无关，所以选项D错误， 故选：A. 2．在平行四边形中，等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法的平行四边形法则求解. 【详解】在平行四边形中，根据向量加法的平行四边形法则，可知. 故选：D． 3．表达式等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法的运算法则即可求解. 【详解】因为向量减法等于加上相反向量，所以. 故选：D. 4．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量模长性质即可得出结果. 【详解】. 故选： 5．若，则下列说法正确的是（　　） A．两向量方向相同， B．两向量方向相反， C．两向量一定相等 D．两向量一定垂直 【答案】A 【分析】根据相反向量，相等向量，共线向量的概念即可求解. 【详解】对A，B，由题意得，系数为是正数，所以两向量方向相同， 又因为，所以，故A正确，B错误. 对C，因为，，所以两向量不相等，故C错误. 对D，因为，所以两向量共线，即不垂直，故D错误. 故选：A. 二、填空题 6．若与方向相反，且，则______. 【答案】5 【分析】方向相反的两个向量相加，和向量的模等于模的差的绝对值，由此求解即可. 【详解】因为与方向相反，且， 所以. 故答案为：5. 7．如图，______． 【答案】 【分析】根据向量的运算法则即可求解. 【详解】原式. 故答案为：. 8．同起点向量 与 满足 ______. 【答案】 【分析】根据向量减法的运算求解即可. 【详解】、起点都是O，就是从减向量的终点A，指向被减向量的终点B的向量，也就是. 故答案为：. 9．若 ，则 ______. 【答案】15 【分析】根据向量的模求解即可. 【详解】. 故答案为：15. 10．设，是两个不共线的向量.若向量与的方向相反，则________. 【答案】 【分析】根据方向相反的向量的概念列方程求解即可. 【详解】因为向量与的方向相反， 所以，其中， 因，是两个不共线的向量， 则，，联立可得：，则. 故答案为：. 三、解答题 11．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合向量的线性运算，即可求解； （2）根据题意，结合向量的加、减法运算，即可求解. 【详解】（1）. （2）. 12．已知是两个非零不共线的向量，，，若与是共线向量，求实数的值. 【答案】. 【分析】根据题意结合共线向量概念即可得解. 【详解】因为与是共线向量，， 因为，， ，又与是两个非零不共线向量， ，解得， 实数的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $