专题20 平面向量的概念及线性运算（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题20 平面向量的概念及线性运算 ( 【复习目标】 1. 掌握平面向量的概念，理解单位向量、相等向量、相反向量、共线向量等的含义 . 2. 掌握平面向量的加减法、会进行平面向量的线性运算 . 3. 掌握 平面向量共线定理 . ) 【考点1 向量有关的概念】 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模). 向量表示方法：向量或；模或. (2)零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示，特别的：非零向量的单位向量是. (4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为； 特别的：与任一向量平行或共线. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作. 【即时训练】 一、单选题 1．下列量中，属于向量的是（　　） A．面积 B．力 C．时间 D．温度 2．下列量中，可以看作向量的是（　　） A．线段长度 B．位移 C．图形面积 D．物体质量 3．向量的特征是（　　） A．模为 B．模为 C．方向固定向右 D．方向固定向左 4．若两个非零向量方向相同或相反，则它们的位置关系可称为（　　） A．相等向量 B．单位向量 C．平行向量 D．垂直向量 5．已知两个非零向量与长度相等、方向相同，则（　　） A．重合 B．重合 C． D． 二、填空题 6．若表示向北的位移，则______. 7．零向量的长度为______. 8．“两个向量相等”是“两个向量共线”的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”） 9．下列说法中正确的有________．（填序号） ①温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量； ②作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量； ③向量可以比较大小； ④体积、面积和时间都不是向量． 10．如图以方格中的格点（各线段的交点）为起点和终点的向量中． (1)与相等的向量有___________； (2)与共线的向量有___________． 三、解答题 11．如图，四边形和都是平行四边形． (1)写出与向量相等的向量； (2)若，求向量的模． 12．如图所示，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形． (1)写出与相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)向量与是否相等？ 【考点2 向量的线性运算】 (1)向量的加法 ①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. ②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. ③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. (2)向量的减法 ①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即. ②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量） 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. (3)向量的数乘 向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. (4)共线向量定理 ①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. ②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 【即时训练】 一、单选题 1．向量 的模为（　　） A． B． C． D． 2．已知非零向量，向量的方向与的方向（    ） A．相同 B．相反 C．一定垂直 D．无法比较 3．若向量与的起点均为，则等于（    ） A． B． C． D． 4．若以同一点为起点作，，则等于（　　） A． B． C． D． 5．在平行四边形 中， 等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6． ______. 7．若，则______. 8．在平行四边形中，______. 9．若，且同向，则______. 10．已知两向量，不共线，若向量与向量共线，则实数的值为________． 三、解答题 11．化简： (1)； (2). 12．如图所示，已知是线段的三等分点，P是线段外任意一点，设，，试用表示，．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题20 平面向量的概念及线性运算 ( 【复习目标】 1. 掌握平面向量的概念，理解单位向量、相等向量、相反向量、共线向量等的含义 . 2. 掌握平面向量的加减法、会进行平面向量的线性运算 . 3. 掌握 平面向量共线定理 . ) 【考点1 向量有关的概念】 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模). 向量表示方法：向量或；模或. (2)零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示，特别的：非零向量的单位向量是. (4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为； 特别的：与任一向量平行或共线. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作. 【即时训练】 一、单选题 1．下列量中，属于向量的是（　　） A．面积 B．力 C．时间 D．温度 【答案】B 【分析】根据向量即既有大小又有方向判断选项即可. 【详解】面积，时间，温度只有大小没有方向，是数量，不是向量，故ACD选项不满足题意. 力既有大小又有方向，可以用向量表示,故B选项满足题意. 故选：B. 2．下列量中，可以看作向量的是（　　） A．线段长度 B．位移 C．图形面积 D．物体质量 【答案】B 【分析】根据向量既有大小又有方向判断选项即可. 【详解】位移既有大小又有方向，可用向量表示；而长度、面积、质量只有大小，没有方向. 故选：B. 3．向量的特征是（　　） A．模为 B．模为 C．方向固定向右 D．方向固定向左 【答案】A 【分析】根据向量的定义即可求解. 【详解】零向量的模为，故A正确，B错误； 零向量的方向任意，不固定，故CD选项错误. 故选：A. 4．若两个非零向量方向相同或相反，则它们的位置关系可称为（　　） A．相等向量 B．单位向量 C．平行向量 D．垂直向量 【答案】C 【分析】根据平行向量的概念判断即可. 【详解】方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也叫共线向量. 故两个非零向量方向相同或相反，则它们的位置关系可称为平行向量. 故选：C. 5．已知两个非零向量与长度相等、方向相同，则（　　） A．重合 B．重合 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量相等的定义求解. 【详解】已知两个非零向量与长度相等、方向相同，根据向量相等的定义可知：，故C正确； 选项A中，和分别是向量与的起点，仅向量相等并不能得出起点一定相同，所以A选项错误； 选项B中，和分别是向量与的终点，同理，向量相等不能推出终点一定相同，所以B选项错误； 选项D中，与方向相反，而与方向相同，所以，D选项错误， 故选：C. 二、填空题 6．若表示向北的位移，则______. 【答案】8 【分析】根据向量的模长求解即可. 【详解】由题意可知，的大小为，故. 故答案为：8. 7．零向量的长度为______. 【答案】0 【分析】根据题意，结合零向量的概念，即可求解. 【详解】零向量是长度为的向量. 故答案为：0. 8．“两个向量相等”是“两个向量共线”的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”） 【答案】充分不必要 【分析】根据共线向量和相等向量的定义及充要条件的概念可判断. 【详解】若两个向量相等，则两个向量共线，即两个向量相等两个向量共线； 若两个向量共线，则两个向量不一定相等，即两个向量共线两个向量相等. 所以“两个向量相等”是“两个向量共线”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 9．下列说法中正确的有________．（填序号） ①温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量； ②作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量； ③向量可以比较大小； ④体积、面积和时间都不是向量． 【答案】②④ 【分析】根据向量的定义结合温度没有方向判断命题①，根据作用力与反作用力的关系判断命题②，根据向量定义可得向量不能比较大小，判断命题③，根据向量的定义判断命题④. 对于命题①，虽然温度有零上、零下之分，但不表示方向，故温度不是向量，①错误； 对于命题②，作用力与反作用力是大小相等、方向相反的两个力，而力是向量，②正确； 对于命题③，向量既有大小又有方向，而方向没有大小之分，所以向量不能比较大小，③错误； 对于命题④，体积、面积和时间都只有大小，没有方向，④正确．故说法正确的有②④． 故答案为：②④. 10．如图以方格中的格点（各线段的交点）为起点和终点的向量中． (1)与相等的向量有___________； (2)与共线的向量有___________． 【答案】(1)、 (2)、、 【分析】（1）根据相等向量的定义求解； （2）根据共线向量的定义求解. （1）由向量相等的定义可得，与相等的向量有、； （2）由共线向量的定义可得，与共线的向量有、、. 三、解答题 11．如图，四边形和都是平行四边形． (1)写出与向量相等的向量； (2)若，求向量的模． 【答案】(1)， (2)6 【分析】（1）利用平行四边形性质及相等向量的意义求解. （2）利用相等向量的意义，结合向量模的意义求解. （1）由四边形和都是平行四边形，得， ， 从而，，， 所以与向量相等的向量是，． （2）由，，得， 则与方向相同，从而E、D、C三点共线， 所以． 12．如图所示，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形． (1)写出与相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)向量与是否相等？ 【答案】(1)，， (2)，，，，，，，， (3)不相等 【分析】（1）根据向量相等的定义结合图象判断即可； （2）根据共线向量的定义结合图象判断即可； （3）根据向量相等的定义判断. （1）与相等的向量：，，． （2）与共线的向量：，，，，，，，，． （3）向量与不相等．因为与的方向相反，所以它们不相等． 【考点2 向量的线性运算】 (1)向量的加法 ①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. ②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. ③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. (2)向量的减法 ①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即. ②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量） 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. (3)向量的数乘 向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. (4)共线向量定理 ①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. ②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 【即时训练】 一、单选题 1．向量 的模为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的模求解即可. 【详解】向量 的模为 . 故选：C. 2．已知非零向量，向量的方向与的方向（    ） A．相同 B．相反 C．一定垂直 D．无法比较 【答案】A 【分析】依据向量数乘的性质来判断向量方向的关系. 【详解】系数3是大于0的正实数，因此的方向与方向相同. 故选：A. 3．若向量与的起点均为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法求解即可. 【详解】同起点差向量满足. 故选：C. 4．若以同一点为起点作，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法运算求解即可. 【详解】因为，， 则. 故选：C. 5．在平行四边形 中， 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则即可求解. 【详解】平行四边形 中，. 故选：D.    二、填空题 6． ______. 【答案】 【分析】根据向量加法的三角形法则求解. 【详解】根据向量加法的三角形法则，可知， 故答案为：. 7．若，则______. 【答案】 【分析】根据向量减法的运算律求解. 【详解】若，则，即， 故答案为：. 8．在平行四边形中，______. 【答案】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则即可得解. 【详解】在平行四边形中，根据向量加法的平行四边形法则，可知， 故答案为：．    9．若，且同向，则______. 【答案】10 【分析】根据题意结合平面向量的模长即可得解. 【详解】若，且同向， 则， 故答案为：. 10．已知两向量，不共线，若向量与向量共线，则实数的值为________． 【答案】 【分析】利用平面向量共线定理列方程即可得. 【详解】因为向量与向量共线， 所以存在实数使得， 即，解得. 故答案为：. 三、解答题 11．化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据向量加减法运算法则计算即可. （1）原式 . （2） . 12．如图所示，已知是线段的三等分点，P是线段外任意一点，设，，试用表示，．    【答案】， 【分析】根据向量的加法法则和减法法则化简即可. 【详解】已知是线段的三等分点， ， 设，， 则， 所以， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $