专题19 等差数列与等比数列的综合应用（练习）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以支架式教学为核心，通过挖空讲解、分层训练构建等差数列与等比数列从基础到综合应用的完整进阶路径，渗透数学建模与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选10题+填空10题|结合《孙子算经》等典籍及细胞分裂、建筑瓦片等情境，考查等差等比的通项与求和|从概念理解到简单实际问题抽象，夯实定义与公式应用| |综合应用|解答题9题|涉及沙漠绿化、工资增长、运输工程等复杂情境，需建立数列模型解决实际问题|从单一数列到综合应用，培养数学建模与逻辑推理能力| |真题再现|7道内蒙古对口招生真题|覆盖等差等比的交汇、性质应用及前n项和计算，贴合考纲要求|通过真题演练强化考点迁移，构建应试思维|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题19 等差数列与等比数列的综合应用 一、单选题 1．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加三颗，温：五人各得几何？”其大意是：现在有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问这5个人各分得多少个橘子？在这个问题中，得到橘子最多的人所分得橘子个数是多少？（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 2．若细胞分裂由1个变2个，2个变4个，4个变8个，，则1个细胞经过10次分裂共有（    ）个. A．256 B．512 C．1024 D．2048 3．建筑物屋顶的某一个斜面呈等腰梯形，最上面一层铺了20块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了10层瓦片，那么，该斜面共铺了多少块瓦片（   ） A．200 B．290 C．245 D．145 4．某厂去年产值是a亿元，计划今后五年内年产值平均增长率是．则从今年起到第5年末的该厂总产值是（    ） A．亿元 B． 亿元 C．亿元 D．亿元 5．2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月20日如期举行，由中国企业承建的卢塞尔球场以其绿色低碳的创新设计倍受世人关注，为全世界人民贡献了中国智慧和中国方案.已知体育场的某个区域第一排有16个座位，第二排有18个座位，第三排有20个座位，以此类推，那么第四排有（    ）个座位. A．22 B．20 C．18 D．16 二、填空题 6．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十个节气，每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则大暑的晷长为______尺，立秋的晷长为______尺． 7．流行病学中有个指标，称为基本传染数，即一个病人平均被他感染的人数，用表示．假设新冠肺炎病毒的，传染速率为每天一次．某地区1月31日出现了第1个新冠肺炎病毒感染者，2月1日此人传染了3个人，2月2日这3个人又传染了9个人，…，在没有外力干预下，到2月8日那天新增被感染者人数为______． 8．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，已知最上面一层铺了块瓦片，且往下每一层多铺一块，若斜面上共铺了层瓦片，则共铺了________块瓦片. 9．某同学到一家公司应聘，公司承诺第一年的年薪是50000元，以后每年的年薪比上一年增加10%，则该同学第五年的年薪是_____元. 10．某植物的快速生长期约有10天，在此期间该植物每天结束时的高度都为前一天结束时的高度的2倍.已知在快速生长期的第4天结束时，该植物的高度是20毫米，那么它在第7天结束时的高度为__________毫米. 三、解答题 11．为落实十九大报告“绿水青山就是金山银山”的理念，我国的沙漠治理工作得到了进一步加强.被称为“死亡之海”的库布齐沙漠经过近30年的艰辛治理，实现了“绿进沙退”的历史性转变，被联合国确定为“全球沙漠生态经济示范区”.2018年末库布齐沙漠绿化面积为10万亩，以后每年该沙漠的绿化面积比上一年增加，试求从2018年末到2030年末库布齐沙漠新绿化的总面积是多少万亩？ 12．如图所示，在直角边为3的等腰直角三角形中，，过D作的平行线交于E，过E点作的垂线交于F，，过G作的平行线交于H，过H点作的垂线交于I，以此类推……设矩形的面积为，矩形的面积为，以此类推……    (1)写出，和； (2)推测该数列的通项公式（无需证明）． 一、单选题 1．某林场第一年造林5公顷，以后每年比上一年多造3公顷，则20年后共造林（   ） A．62公顷 B．65公顷 C．670公顷 D．700公顷 2．在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分30斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数依次成等差数列，问每人各分多少斤.”那么，甲所分小米的斤数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．我国古代名著《孙子算经》中有如下有趣的问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日归．问三女何日相会？”．意思是：“一家有三个女儿都已出嫁．大女儿五天回一次娘家，二女儿四天回次娘家，小女儿三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人可以再次在娘家相会？”，三人再次在娘家相会，则要隔的天数可以为（    ） A．90天 B．180天 C．270天 D．390天 5．一项运输工程，若干辆运输车如果同时参加，需要24小时完成．如果每辆车开始参加运输的时间不同，每隔固定的时间有一辆车参加，参加后就一直运输到最后，那么第一辆车运输的时间恰为最末一辆车运输时间的5倍，按照这样的干法从开始到结束，需要的时间为（    ） A．36小时 B．40小时 C．44小时 D．48小时 二、填空题 6．我国古代数学著作《张邱建算经》曾记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增（即每天增加的数量相同）”.若该女子第1天织布2尺，前20天共织布60尺，则第20天织布__________尺. 7．小王每月除去所有日常开支，大约结余元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行元，存期1年（存12次），到期取出本金和利息．假设一年期零存整取的月利率为，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为______元． 8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为____里，后三天一共走_____里． 9．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将到这个自然数中被除余且被除余的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为________． 10．如图，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块，已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板（不含天心石）块，则中层有扇面形石板_________块 三、解答题 11．有一家小电影院共有排座位，且它的第1排有个座位，从第二排起每排比前一排多2个座位，问： (1)这家电影院最后一排有多少个座位？ (2)若每人票价是元，每个座位只坐一人，问当电影院无虚席时一场收入多少元？ 12．我国积极应对全球气候变化，提出2005年后，我国碳排放强度要逐年下降，为此，国家推行了各种节能减排措施，结果2005年以后每年的碳排放强度，均比上一年减少0.08吨/万元.已知2005年我国碳排放强度为3吨/万元，求： (1)2020年的碳排放强度； (2)若2005年我国国内生产总值为万元，且以后每年均以8%的速度递增，则2005年起，第年国内生产总值是多少? (3)哪一年开始，我国二氧化碳排放量相比上一年开始减少?（注释：年二氧化碳排放量二年碳排放强度×年国内生产总值） 13．某工厂生产一种产品，第1天生产了50件，之后每天比前一天多生产5件. (1)求第天的生产数量； (2)如果工厂连续生产10天，问这10天总共生产了多少件产品？ 14．某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为. （1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？ （2）假设货主每月还商店元，写出在第个月末还款后，货主对商店欠款数表达式. （3）每月的还款额为多少元（精确到0.01元）？ 15．为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛，某同学给自己制订了7天的训练计划:第1天跑5000m，以后每天比前一天多跑500 m. （1）这个同学第7天跑多长的距离？ （2）这个同学7天一共将跑多长的距离？ 1.（2023·内蒙古·真题T07）等差数列中，，是等比数列，且，则的值为（ ） A. 0或4 B. 4 C. 0或2 D. 2 2.（2022·内蒙古·真题T07）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列，则此数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 3.（2026·内蒙古·真题T20）等差数列中，．若正项等比数列满足，，试判断512是数列的第几项． 4．（2025·内蒙古·真题T21）已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 5.（2024·内蒙古·真题T21） 已知等差数列满足，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 6.（2023·内蒙古·真题T21）已知公差不为0的等差数列中，，且，，是等比数列的前三项． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，设，求数列的前n项和． 7.（2022·内蒙古·真题T21） 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等比数列，求正整数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题19 等差数列与等比数列的综合应用 一、单选题 1．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加三颗，温：五人各得几何？”其大意是：现在有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问这5个人各分得多少个橘子？在这个问题中，得到橘子最多的人所分得橘子个数是多少？（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【分析】利用等差数列的概念求解即可. 【详解】由题意得，这是一个公差，项数，前项和的等差数列， 设第一个人分得的橘子数为， 则有， 解得， 根据通项公式得，第五个人（分得橘子最多的人）分得的橘子数为： ，即得到橘子最多的人所分得橘子个数是18. 故选：D. 2．若细胞分裂由1个变2个，2个变4个，4个变8个，，则1个细胞经过10次分裂共有（    ）个. A．256 B．512 C．1024 D．2048 【答案】C 【分析】根据细胞的分裂关系，结合等比数列的通项公式即可求解. 【详解】1个分裂为2，即；2个分裂为4个，即；， 所以1个细胞经过10次分裂共有. 故选：C. 3．建筑物屋顶的某一个斜面呈等腰梯形，最上面一层铺了20块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了10层瓦片，那么，该斜面共铺了多少块瓦片（   ） A．200 B．290 C．245 D．145 【答案】C 【分析】利用等差数列的求和公式计算求解. 【详解】由题意得，从最上面一层开始，每一层瓦片数构成一个等差数列，首项为20，公差为1，共10项， ∴该斜面铺的瓦片总数即为该数列的前10项和． 故选：C． 4．某厂去年产值是a亿元，计划今后五年内年产值平均增长率是．则从今年起到第5年末的该厂总产值是（    ） A．亿元 B． 亿元 C．亿元 D．亿元 【答案】A 【分析】每年的年产值构成一个等比数列，利用等比数列的求和公式求解即可. 【详解】每年的年产值构成一个等比数列，记为，其首项为，公比为1.1， 其前5项和为， 所以从今年起到第5年末的该厂总产值是亿元. 故选：A. 5．2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月20日如期举行，由中国企业承建的卢塞尔球场以其绿色低碳的创新设计倍受世人关注，为全世界人民贡献了中国智慧和中国方案.已知体育场的某个区域第一排有16个座位，第二排有18个座位，第三排有20个座位，以此类推，那么第四排有（    ）个座位. A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】A 【分析】利用观察法可求. 【详解】第一排有16个座位，第二排有18个座位，第三排有20个座位， 则第四排比第三排多两个座位，那么第四排有个座位. 故选：A. 二、填空题 6．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十个节气，每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则大暑的晷长为______尺，立秋的晷长为______尺． 【答案】 3.5 4.5 【分析】根据条件，设等差数列 ，联立方程求出 和d即可. 【详解】设夏至，小暑，大暑，立秋，处暑，白露，秋分，寒露，霜降分别为 ， 依题意有 ，解得： ， ，  ， 故答案为：①3.5，②4.5. 7．流行病学中有个指标，称为基本传染数，即一个病人平均被他感染的人数，用表示．假设新冠肺炎病毒的，传染速率为每天一次．某地区1月31日出现了第1个新冠肺炎病毒感染者，2月1日此人传染了3个人，2月2日这3个人又传染了9个人，…，在没有外力干预下，到2月8日那天新增被感染者人数为______． 【答案】6561 【分析】根据题意，可知此模型为等比数列模型，假设第轮感染人数为，根据条件构造等比数列，并写出其通项公式，代入的值即可得解. 【详解】假设第轮感染人数为，则数列为等比数列， 其中，公比为， 所以， . 故答案为：. 8．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，已知最上面一层铺了块瓦片，且往下每一层多铺一块，若斜面上共铺了层瓦片，则共铺了________块瓦片. 【答案】 【分析】由题意，每层瓦片数构成等差数列，可利用等差数列前项和公式求解. 【详解】由题意知，每层铺的瓦片构成等差数列，且，， 所以. 故答案为：. 9．某同学到一家公司应聘，公司承诺第一年的年薪是50000元，以后每年的年薪比上一年增加10%，则该同学第五年的年薪是_____元. 【答案】73205 【分析】根据题意列出式子即可得解. 【详解】第一年的年薪是50000元，以后每年的年薪比上一年增加10%， 所以年薪首项为，公比为的等比数列， 则第五年的年薪为元， 故答案为：. 10．某植物的快速生长期约有10天，在此期间该植物每天结束时的高度都为前一天结束时的高度的2倍.已知在快速生长期的第4天结束时，该植物的高度是20毫米，那么它在第7天结束时的高度为__________毫米. 【答案】 【分析】根据得出每天的高度为等比数列，根据等比数列的性质即可得解. 【详解】由题意可知，该植物在快速生长期每天结束时的高度构成一个公比为的等比数列， 设等比数列为，则， 所以毫米， 故答案为：. 三、解答题 11．为落实十九大报告“绿水青山就是金山银山”的理念，我国的沙漠治理工作得到了进一步加强.被称为“死亡之海”的库布齐沙漠经过近30年的艰辛治理，实现了“绿进沙退”的历史性转变，被联合国确定为“全球沙漠生态经济示范区”.2018年末库布齐沙漠绿化面积为10万亩，以后每年该沙漠的绿化面积比上一年增加，试求从2018年末到2030年末库布齐沙漠新绿化的总面积是多少万亩？ 【答案】从2018年末到2030年末库布齐沙漠新绿化的总面积约是万亩 【分析】根据题意，结合等比数列的前n项和公式，代入即可求解． 【详解】由题意，2018年末绿化面积为万亩， 2019年末绿化面积为万亩， 2020年末绿化面积为万亩， ... 2030年末绿化面积为万亩， 从2018年到2030年库布齐沙漠每年新绿化的面积构成等比数列， 且，，， 所以从2018年末到2030年绿化的总面积万亩． 即从2018年末到2030年末库布齐沙漠新绿化的总面积约是万亩． 12．如图所示，在直角边为3的等腰直角三角形中，，过D作的平行线交于E，过E点作的垂线交于F，，过G作的平行线交于H，过H点作的垂线交于I，以此类推……设矩形的面积为，矩形的面积为，以此类推……    (1)写出，和； (2)推测该数列的通项公式（无需证明）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的边长的变化规律得到面积的大小. （2）根据（1）写出通项公式即可. 【详解】（1）   如图所示，是等腰三角形，且. 所以.则， 同理，，则， 所以， 同理，，则. 所以. （2）因为. 所以数列是等比数列. 则 一、单选题 1．某林场第一年造林5公顷，以后每年比上一年多造3公顷，则20年后共造林（   ） A．62公顷 B．65公顷 C．670公顷 D．700公顷 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义可知每年造林的面积构成等差数列，代入等差数列的求和公式即可得解. 【详解】由题意可知，每年造林的面积构成等差数列，其中，公差， 所以， 故选：. 2．在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分30斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数依次成等差数列，问每人各分多少斤.”那么，甲所分小米的斤数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】由题意求出等差数列的首项，即可求得甲所分小米的斤数. 【详解】由题意，甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数依次成等差数列， 设该等差数列为，公差为，则首项为甲所分小米的斤数， 由题意可得，即， 解得. 故甲所分小米的斤数为斤. 故选：A. 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列，根据即可求出. 【详解】解：设顶层的灯数是，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列， 所以，由题可得，解得， 所以，塔的顶层的灯数是3. 故选：A. 4．我国古代名著《孙子算经》中有如下有趣的问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日归．问三女何日相会？”．意思是：“一家有三个女儿都已出嫁．大女儿五天回一次娘家，二女儿四天回次娘家，小女儿三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人可以再次在娘家相会？”，三人再次在娘家相会，则要隔的天数可以为（    ） A．90天 B．180天 C．270天 D．390天 【答案】B 【分析】求得的公倍数，由此确定正确选项. 【详解】由可知，要隔的天数为60的正整数倍． 故选：B 5．一项运输工程，若干辆运输车如果同时参加，需要24小时完成．如果每辆车开始参加运输的时间不同，每隔固定的时间有一辆车参加，参加后就一直运输到最后，那么第一辆车运输的时间恰为最末一辆车运输时间的5倍，按照这样的干法从开始到结束，需要的时间为（    ） A．36小时 B．40小时 C．44小时 D．48小时 【答案】B 【分析】根据题意设共有辆运输车，每辆车每小时的运输量为1，则运输总量为，由题意可得从第一辆车到最末一辆车各车的运输量构成一个等差数列，按照等差数列求和公式得总运输量得式子，即可得需要的时间. 【详解】解：设共有辆运输车，每辆车每小时的运输量为1，则运输总量为． 又设从运输开始到结束，需要的时间为小时，则第一辆车的运输量为，最末一辆车的运输量为， 根据题意，从第一辆车到最末一辆车各车的运输量构成一个等差数列， 所以，解得． 故从开始到结束，需要的时间为40小时. 故选：B． 二、填空题 6．我国古代数学著作《张邱建算经》曾记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增（即每天增加的数量相同）”.若该女子第1天织布2尺，前20天共织布60尺，则第20天织布__________尺. 【答案】 【分析】根据题意结合等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】由题意可知该女子每天织布的数量成等差数列，设该等差数列为， 则，， 所以，解得， 所以第20天织布的数量为尺， 故答案为：. 7．小王每月除去所有日常开支，大约结余元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行元，存期1年（存12次），到期取出本金和利息．假设一年期零存整取的月利率为，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为______元． 【答案】 【分析】分析每个月的利息，找到规律，从而利用等差数列的求和公式求得年终结算时的利息. 【详解】小王第一个月存入银行元，存期1年（存12次），到期取出的本息和为元； 第二个月存入银行元，到期取出的本息和为元； 第十一个月存入银行元，到期取出的本息和为元； 第十二个月存入银行元，到期取出的本息和为元； 所以小王存款到期利息为． 故答案为：. 8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为____里，后三天一共走_____里． 【答案】 192 42 【分析】题意为这六天中每天走的路程是公比为的等比数列，共6项，项的和为378，求数列的首项和后3项的和． 【详解】由题可知这六天中每天走的路程是公比为的等比数列，设第一天走里，则，解得，即该人第一天走的路程是192里；后三天共走了（里）． 故答案为：192；42． 9．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将到这个自然数中被除余且被除余的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为________． 【答案】 【分析】先得到新数列，是首项为，公差为的等差数列，求出通项公式，解不等式即能求出数列的项数. 【详解】由题知，满足上述条件的数列为， 该数列为首项是，公差为的等差数列， 则， 解得，故该数列的项数为. 故答案为： 10．如图，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块，已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板（不含天心石）块，则中层有扇面形石板_________块 【答案】 【详解】设上、中、下三层的石板块数分别为、、，由题意可知、、成等差数列， 所以，，解得. 故答案为：. 三、解答题 11．有一家小电影院共有排座位，且它的第1排有个座位，从第二排起每排比前一排多2个座位，问： (1)这家电影院最后一排有多少个座位？ (2)若每人票价是元，每个座位只坐一人，问当电影院无虚席时一场收入多少元？ 【答案】(1)这家电影院最后一排有个座位. (2)当电影院无虚席时一场收入为元. 【分析】（1）根据等差数列通项计算即可解得. （2）根据等差数列求和计算即可解得. 【详解】（1）由题，共有排座位，且第一排有个座位，从第二排起每排比前一排多2个座位， 故该电影院座位数随排数成等差数列，首项为，公差为， 则第十五排有个座位. （2）由（1）可知该电影院座位数与排数成等差数列， 则座位数共有个， 故电影院座无虚席时一场收入为元. 12．我国积极应对全球气候变化，提出2005年后，我国碳排放强度要逐年下降，为此，国家推行了各种节能减排措施，结果2005年以后每年的碳排放强度，均比上一年减少0.08吨/万元.已知2005年我国碳排放强度为3吨/万元，求： (1)2020年的碳排放强度； (2)若2005年我国国内生产总值为万元，且以后每年均以8%的速度递增，则2005年起，第年国内生产总值是多少? (3)哪一年开始，我国二氧化碳排放量相比上一年开始减少?（注释：年二氧化碳排放量二年碳排放强度×年国内生产总值） 【答案】(1)1.8吨/万元 (2) (3)年 【分析】（1）讲等差数列运用到实际问题，即可求解. （2）将等比数列运用到实际问题，即可求解. （3）构成一个新的等比数列，进行求解. 【详解】（1）由题意得，2005年起每年碳排放强度构成等差数列， 且，， 则， 故2020年即为吨/万元. （2）由题意得，年国内生产总值构成首项为，公比为1.08的等比数列， 故2005年起，第年的国内生产总值为. （3）由（1）可知2005年起，第年碳排放强度为， 由（2）可知2005年起，第年的国内生产总值为， 2005年起，第年二氧化碳排放量，构成数列， 二氧化碳排放量相比上一年开始减少，即要求， ， 解得，即从年开始，二氧化碳排放量相比上一年开始减少. 13．某工厂生产一种产品，第1天生产了50件，之后每天比前一天多生产5件. (1)求第天的生产数量； (2)如果工厂连续生产10天，问这10天总共生产了多少件产品？ 【答案】(1)件 (2)件 【分析】（1）由题意，每天生产量构成等差数列，则，公差，根据等差数列的通项公式即可求解. （2）根据等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】（1）由题意，每天生产量构成等差数列，则，公差， 所以通项公式为， 所以第天的生产数量为件. （2）第10天的生产量为， 所以10天的总产量为件. 14．某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为. （1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？ （2）假设货主每月还商店元，写出在第个月末还款后，货主对商店欠款数表达式. （3）每月的还款额为多少元（精确到0.01元）？ 【答案】（1）4020元；（2）表达式为元；（3）元 【分析】（1）因为购买电脑时，货主欠商店的货款，即元，又按月利率，即可求出结果； （2）设第个月底还款后的欠款数为，根据题意，，，进而得出，整理，即可得出结果； （3）由题意得到，由（2）的结果，即可求出结果. 【详解】（1）因为购买电脑时，货主欠商店的货款，即， 又按月利率，到第一个月底的欠款数应为元， 即到第一个月底，欠款余额为元； （2）设第个月底还款后的欠款数为，则有， ， ， …… 整理得：； （3）由题意可得：，所以， 因此 15．为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛，某同学给自己制订了7天的训练计划:第1天跑5000m，以后每天比前一天多跑500 m. （1）这个同学第7天跑多长的距离？ （2）这个同学7天一共将跑多长的距离？ 【答案】（1）8000m  ；（2）45500m 【分析】先判断这个同学每天跑的距离构成一个等差数列，然后由等差数列的通项公式与求和公式求解即可 【详解】由题意可得，这个同学每天跑的距离构成一个等差数列， 且首项为5000，公差为500， （1）这个同学第7天跑多长的距离为 （2）这个同学7天一共将跑多长的距离为 1.（2023·内蒙古·真题T07）等差数列中，，是等比数列，且，则的值为（ ） A. 0或4 B. 4 C. 0或2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列以及等比数列的上下标的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质可得， 代入可得， 解得或，从而或， 因为等比数列的各项不能为0， 所以舍， 则. 故选：B. 2.（2022·内蒙古·真题T07）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列，则此数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，等差数列的前项和公式及通项公式求解． 【详解】等差数列的公差为， 由题意得，所以，解得， 所以． 故选：A． 3.（2026·内蒙古·真题T20）等差数列中，．若正项等比数列满足，，试判断512是数列的第几项． 【答案】 第10项 【解析】 【分析】先通过等差数列的前 项和公式与通项公式列方程组求首项和公差，得到等比数列的首项和第三项，再求等比数列的公比与通项，最后解方程确定512对应的项数即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为 ，， 根据等差数列前 项和公式，由可得：， 化简得 ①， 根据等差数列通项公式，由可得：②， 联立①②，用②减①得，解得，代入①得 所以，， 即正项等比数列中，， 设的公比为， 根据等比数列通项公式可得，代入得， 解得（负根不符合正项要求，舍去）， 因此的通项公式为， 令，即，可得，解得， 故512是数列的第10项． 4．（2025·内蒙古·真题T21）已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合等差数列的定义及通项公式即可得解. （）根据题意结合等比数列的定义及前项和公式即可得解. 【小问1详解】 数列满足， 所以该数列为公差为的等差数列， 前三项和为12，则， 解得， 所以， 则数列的通项公式为. 小问2详解】 数列满足， 则，， 所以该数列为等比数列，且首项为，公比为， 则. 5.（2024·内蒙古·真题T21） 已知等差数列满足，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质可求出和，进而求解； （2）根据等比数列的性质可求出，再根据等比数列前n项和公式即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则， ， 则数列的通项公式 . 【小问2详解】 设等比数列的公比为， 由（1）可知， ，， 则， 等比数列前n项和 . 6.（2023·内蒙古·真题T21）已知公差不为0的等差数列中，，且，，是等比数列的前三项． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可求解. （2）根据等比数列的通项公式和前n项和公式可求出，再由对数的运算性质求出，从而利用等差数列的求和公式即可求解. 【小问1详解】 因为成等比，， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 有数列的公比，因此， 由等比数列的前n项和公式有，故， 又， 因此为等差数列，所以由等差数列前n项和公式有. 7.（2022·内蒙古·真题T21） 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等比数列，求正整数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得关于与公差的方程组，再由等差数列的通项公式得答案； （2）由等差数列的通项公式，结合等比数列的性质列式求解． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，，得，解得， ∴数列的通项公式为． 【小问2详解】 由，，成等比数列，可得， 即， 整理得，解得(舍)，或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $