专题19 等差数列与等比数列的综合应用（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题19 等差数列与等比数列的综合应用 ( 【复习目标】 会用等差数列和等差中项的概念及通项公式和前 n 项和公式解决简单的问题． 能灵活运用等比数列和等比中项的概念及通项公式和前 n 项和公式解决实际问题. ) 【考点1 等差数列模型】 1．建模求解数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言．将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 2.等差数列模型 在实际问题中，若每次变化的数量相同，则每次的数量构成等差数列； 一般的，如果每次增长(或减少)的数额d是相同的，则每次的数值构成等差数列，经过n期后，数值是a＋nd.叫作等差数列模型． 【方法指导】 解决等差数列应用题，首先阅读题意，确定问题为等差数列模型，将实际问题转化为等差数列问题，找出已知量和所求量，分清是求an，Sn，还是求n，特别要准确地确定项数．最后根据通项公式或者前n项和公式列式子求解. 【即时训练】 1．某酒店在店庆时需要用鲜花做成一个55层的金字塔型图案，最高一层（即塔尖）是一朵，往下每一层都比上一层多一朵，摆成这个图案共需要鲜花多少朵？ 2．在通常情况下，从地面到高空，每增加，气温就下降某一固定的数值.如果高度的气温是，高度的气温是，求，及高度的气温. 3．在《泥板文书》中有关于按级分物问题的记载，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，问相邻两兄弟相差几两？长兄分得银子几两？ 4．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人善营，月入益功疾（注：从第二月开始，每月比前一个月多收入相同量的铜钱），第3月收入25贯铜钱，全年（按12个月计）共收入510贯”，则该人第12月收入多少贯铜钱？ 【考点2 等比数列模型】 若每次变化的比相同，则每次的数量构成等比数列． 如果期初的数值为a，每次增长(或减少)的百分数都是r，则每期的数值构成等比数列，经过n期后，数值是a(1＋r)n(或a(1－r)n)．叫作等比数列模型． 【方法指导】 解决有关平均增长率和平均减少率的问题是等比数列的应用，起始为a1，公比为1±p，则最后一次为an+1=a1(1±p)n，或者用指数函数的模型，如果原来基础数值为a，平均增长(减少)率为p，那么x次后的函数值y＝a(1＋p)x或y＝a(1－p)x；两者是一致的. 【即时训练】 5．在我国古代著名的数学专著《张丘建算经》里有一段叙述：今有两马，一马发长安至齐，初日行一百二十八里，日减半；另一马发齐至长安、初日行九十七里，日减半里，两马8日相逢.问：齐离长安多少里？ 6．在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作． (1)若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？ (2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）． 7．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案： 第一种，每天支付元，没有奖金； 第二种，每天的底薪元，另有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的薪酬中奖金比前一天的奖金多元； 第三种，每天无底薪，只有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的奖金是前一天的奖金的倍. （1）工作天，记三种付费方式薪酬总金额依次为、、，写出、、关于的表达式； （2）该学生在暑假期间共工作天，他会选择哪种付酬方式？ 【考点3 等差数列与等比数列的综合应用】 1. 分组求和法 (1)若，且，为等差数列或等比数列，可采用分组求和法求的前n项和. (2)通项公式为的数列，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和. 【即时训练】 8．某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？    9．为了更好地节约能源和保护环境，某市从2018年开始计划将5000辆燃油动力的旧公交车逐步更换为纯电力或混合动力新车（每投入一辆新车，则淘汰一辆旧车）.2018年投入纯电力公交车为64辆，混合动力公交车为400辆，已知今后纯电力车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力车每年投入量比上一年多75辆. (1)该市在2020年这一年更换了多少辆燃油动力公交车？ (2)前三年总共更换了多少辆燃油动力公交车？ (3)到哪一年，5000辆燃油动力公交车将全部更换完毕？ 10．某工程队为支援抗旱，需连续作业打一口米深的井，工程队预计每打深1米与所需时间的对应关系如下表所示： 第1米 第2米 第3米 第4米 …… 分钟 分钟 分钟 分钟 …… 如果每打深1米所需时间按表中规律依次增加，问： (1)打最后1米需多少分钟？ (2)打完这口井共需多少分钟？ 11．历史上伟大的数学家之一朱世杰曾著《四元玉鉴》，其“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.其大意为“官府陆续派人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.” (1)设每天派出的人数组成数列，求该数列的通项公式； (2)求该问题中的人全部派遣到位共需要的天数. 12．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下类似问题：某人擅长走路，12天共走了384里，其中第2天、第5天所走的路程之和为40里．若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该人第7天走多少里． 13．数字9在《易经》中是阳数的最高位，代表尊贵之意，所以在我国古代皇家建筑中包含着许多与9有关的设计．如北京天坛圜丘的地面是由扇环形的石板铺成，中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈（如图所示），这样每一圈的石板数依次构成了等差数列． (1)求这个数列的公差； (2)求第3圈铺了多少块石板； (3)求第1圈到第9圈总共铺了多少块石板． 14．已知等比数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 15．某布匹批发市场一布商在6月7日购进匹布，8日开始销售，他每天都先销售前一天库存布匹数量的后，再新进匹新布入库，设天后销售及进货后库存布匹的数量为． (1)求6月8日销售及进货后库存布匹的数量； (2)求与的关系式； (3)用表示． 16．某图书馆拟在今年7月1日至7月31日期间开展“你阅读，我送书”的读书月活动，规则如下：参加活动的读者在一天内阅读的时间超过一小时认定为他完成一天阅读．每位读者完成每一天阅读获得50分，从完成第二天阅读起，每完成一天阅读获得的分数比上一次完成一天阅读多4分．活动结束后，计算每位读者的总分，每1000分可兑换一本书．若小丽商学参加该活动． (1)写出小丽完成第2天阅读的当天可获得的分数，并求她完成第n天阅读的当天可获得的分数关于n的表达式； (2)按此规则，小丽最多可以兑换到多少本书？ 1.（2023·内蒙古·真题T07）等差数列中，，是等比数列，且，则的值为（ ） A. 0或4 B. 4 C. 0或2 D. 2 2.（2022·内蒙古·真题T07）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列，则此数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 3.（2026·内蒙古·真题T20）等差数列中，．若正项等比数列满足，，试判断512是数列的第几项． 4．（2025·内蒙古·真题T21）已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 5.（2024·内蒙古·真题T21） 已知等差数列满足，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 6.（2023·内蒙古·真题T21）已知公差不为0的等差数列中，，且，，是等比数列的前三项． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，设，求数列的前n项和． 7.（2022·内蒙古·真题T21） 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等比数列，求正整数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题19 等差数列与等比数列的综合应用 ( 【复习目标】 会用等差数列和等差中项的概念及通项公式和前 n 项和公式解决简单的问题． 能灵活运用等比数列和等比中项的概念及通项公式和前 n 项和公式解决实际问题. ) 【考点1 等差数列模型】 1．建模求解数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言．将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 2.等差数列模型 在实际问题中，若每次变化的数量相同，则每次的数量构成等差数列； 一般的，如果每次增长(或减少)的数额d是相同的，则每次的数值构成等差数列，经过n期后，数值是a＋nd.叫作等差数列模型． 【方法指导】 解决等差数列应用题，首先阅读题意，确定问题为等差数列模型，将实际问题转化为等差数列问题，找出已知量和所求量，分清是求an，Sn，还是求n，特别要准确地确定项数．最后根据通项公式或者前n项和公式列式子求解. 【即时训练】 1．某酒店在店庆时需要用鲜花做成一个55层的金字塔型图案，最高一层（即塔尖）是一朵，往下每一层都比上一层多一朵，摆成这个图案共需要鲜花多少朵？ 【答案】1540 【分析】判断出花朵数量由上到下组成等差数列，然后运用等差数列求和公式进行计算. 【详解】由题意花朵数量由上到下组成等差数列， 其中首项，公差，项数， 故前项和． 所以摆成这个图案共需要鲜花1540朵． 2．在通常情况下，从地面到高空，每增加，气温就下降某一固定的数值.如果高度的气温是，高度的气温是，求，及高度的气温. 【答案】；；. 【分析】根据实际问题选择等差数列进行计算. 【详解】依题意，每个的高度的气温降低度数相同，所以构成等差数列，记为， 高度的气温为， 高度的气温为， 则公差， 所以高度的气温为； 高度的气温为； 高度的气温为. 3．在《泥板文书》中有关于按级分物问题的记载，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，问相邻两兄弟相差几两？长兄分得银子几两？ 【答案】； 【分析】根据等差数列的定义、通项公式及求和公式，分析求解即可. 【详解】由题意可知，该按级分物问题符合等差数列的定义， 设相邻两兄弟分得的银子差为公差，长兄分得两银子， 因为10个兄弟分100两银子，所以 ， 化简得：，又因为第8兄弟分得6两， 即，联立方程组：， 解得：， 所以相邻两兄弟相差两银子，长兄分得两银子. 4．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人善营，月入益功疾（注：从第二月开始，每月比前一个月多收入相同量的铜钱），第3月收入25贯铜钱，全年（按12个月计）共收入510贯”，则该人第12月收入多少贯铜钱？ 【答案】70贯 【分析】根据题意，结合等差数列前n项和公式和通项公式，先求出首项和公差，继而求解. 【详解】由题意可知，该人每个月收入铜钱的贯数构成一个等差数列， 设公差为，前项和为，则有， 所以，即， 所以， 解得， 所以. 所以该人第12月收入70贯铜钱． 【考点2 等比数列模型】 若每次变化的比相同，则每次的数量构成等比数列． 如果期初的数值为a，每次增长(或减少)的百分数都是r，则每期的数值构成等比数列，经过n期后，数值是a(1＋r)n(或a(1－r)n)．叫作等比数列模型． 【方法指导】 解决有关平均增长率和平均减少率的问题是等比数列的应用，起始为a1，公比为1±p，则最后一次为an+1=a1(1±p)n，或者用指数函数的模型，如果原来基础数值为a，平均增长(减少)率为p，那么x次后的函数值y＝a(1＋p)x或y＝a(1－p)x；两者是一致的. 【即时训练】 5．在我国古代著名的数学专著《张丘建算经》里有一段叙述：今有两马，一马发长安至齐，初日行一百二十八里，日减半；另一马发齐至长安、初日行九十七里，日减半里，两马8日相逢.问：齐离长安多少里？ 【答案】1017里 【分析】根据题意结合等差数列及等比数列的求和公式即可得解. 【详解】由题意知一马每日行程构成等比数列，其中，公比， 则8日行程为. 另一马每日行程构成等差数列，其中，公差， 则8日行程为. 所以. 所以齐离长安1017里. 6．在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作． (1)若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？ (2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）． 【答案】(1)公司：（元）；公司：（元） (2)从公司得到的报酬较多 【分析】（1）根据所给条件分布求出在公司、第年的月工资； （2）分别利用等差数列、等比数列求和公式求出总报酬，即可判断. 【详解】（1）选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加元, 则他第年的月工资是：（元）； 选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增． 则他第年的月工资（元）． （2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司、公司得到的报酬分别为： 公司A： （元）． 公司B：（元）， 因为，故从公司得到的报酬较多. 7．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案： 第一种，每天支付元，没有奖金； 第二种，每天的底薪元，另有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的薪酬中奖金比前一天的奖金多元； 第三种，每天无底薪，只有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的奖金是前一天的奖金的倍. （1）工作天，记三种付费方式薪酬总金额依次为、、，写出、、关于的表达式； （2）该学生在暑假期间共工作天，他会选择哪种付酬方式？ 【答案】（1），，；（2）第三种，理由见解析. 【分析】（1）三种支付方式每天支付的金额依次为数列、、，可知数列为常数数列，数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列是以为首项，以为公比的等比数列，利用等差数列和等比数列求和公式可计算出、、关于的表达式； （2）利用（1）中的结论，计算出、、的值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）设三种支付方式每天支付的金额依次为数列、、， 它们的前项和分别为、、， 第一种付酬方式每天所付金额组成数列为常数列，且，所以； 第二种付酬方式每天所付金额组成数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以； 第三种付酬方式每天所付金额组成数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）知，当时，，， ，则. 因此，该学生在暑假期间共工作天，选第三种付酬方式较好. 【考点3 等差数列与等比数列的综合应用】 1. 分组求和法 (1)若，且，为等差数列或等比数列，可采用分组求和法求的前n项和. (2)通项公式为的数列，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和. 【即时训练】 8．某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？    【答案】月不合格品的数量能控制在100个以内． 【分析】设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，则各月不合格品的数量构成数列．由题意可知，数列是等比数列，是等差数列．由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法． 【详解】设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，． 由题意，知， ，其中，2，…，24， 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 ． 由计算工具计算（精确到0.1），并列表， n 1 2 3 4 5 6 7 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 n 8 9 10 11 12 13 14 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且即可． 由， 得． 所以，当时，单调递减． 又， 所以，当时， 所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内． 9．为了更好地节约能源和保护环境，某市从2018年开始计划将5000辆燃油动力的旧公交车逐步更换为纯电力或混合动力新车（每投入一辆新车，则淘汰一辆旧车）.2018年投入纯电力公交车为64辆，混合动力公交车为400辆，已知今后纯电力车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力车每年投入量比上一年多75辆. (1)该市在2020年这一年更换了多少辆燃油动力公交车？ (2)前三年总共更换了多少辆燃油动力公交车？ (3)到哪一年，5000辆燃油动力公交车将全部更换完毕？ 【答案】(1)694辆 (2)1729辆 (3)2024年 【分析】（1）由题意抽象出等量关系，借助等差数列、等比数列有关知识求解即可； （2）由数列的前n项和公式代数计算即可； （3）求出数列的前n项和，求解不等式即可. 【详解】（1）解：从2018年起，记每年被更换的燃油动力公交车记为数列. 由题意知：， ， 所以该市在2020年这一年更换了694辆燃油动力公交车. （2）由（1）得，. 所以前三年总共更换了1729辆燃油动力公交车. （3）设经过n年，5000辆燃油动力公交车将全部更换完毕，由题意知： 即， ， ， 令， 当时，， 当时，. 所以到2024年，5000辆燃油动力公交车已更换完毕. 10．某工程队为支援抗旱，需连续作业打一口米深的井，工程队预计每打深1米与所需时间的对应关系如下表所示： 第1米 第2米 第3米 第4米 …… 分钟 分钟 分钟 分钟 …… 如果每打深1米所需时间按表中规律依次增加，问： (1)打最后1米需多少分钟？ (2)打完这口井共需多少分钟？ 【答案】(1)分钟． (2)分钟． 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求值即可. （2）根据等差数列的前项和求值即可. 【详解】（1）设工程队打第n米所需时间为（分钟）， 由条件可得数列为等差数列，且， 故， （分钟），即打最后1米需136分钟． （2）由题意可知，打完这口并共需时间为数列的前30项和， ，即打完这口井共需要分钟. 11．历史上伟大的数学家之一朱世杰曾著《四元玉鉴》，其“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.其大意为“官府陆续派人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.” (1)设每天派出的人数组成数列，求该数列的通项公式； (2)求该问题中的人全部派遣到位共需要的天数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求值即可. （2）根据等差数列的前项和公式列方程求解即可. 【详解】（1）由题意可知， 数列是首项为的等差数列， ∴. （2）设需要天才能派出人， 则， 即， 解得或（舍去） 所以人全部派遣到位共需要天. 12．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下类似问题：某人擅长走路，12天共走了384里，其中第2天、第5天所走的路程之和为40里．若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该人第7天走多少里． 【答案】34里 【分析】由题意可知某人12天内每天所走得路程数构成等差数列，利用等差数列前项和公式和通项公式即可求解. 【详解】因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，所以该人这12天中每天走的路程数构成等差数列. 设该数列为，第1天走的路程数为首项，公差为d， 则，． 因为，， 所以代入以上公式，即，， 解得，． 则． 所以该人第7天走34里． 13．数字9在《易经》中是阳数的最高位，代表尊贵之意，所以在我国古代皇家建筑中包含着许多与9有关的设计．如北京天坛圜丘的地面是由扇环形的石板铺成，中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈（如图所示），这样每一圈的石板数依次构成了等差数列． (1)求这个数列的公差； (2)求第3圈铺了多少块石板； (3)求第1圈到第9圈总共铺了多少块石板． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合公差的定义即可求解. （2）根据等差数列的通项公式即可求解. （3）根据等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）由题意得，第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块， 每一圈的石板数依次构成了等差数列，所以这个数列的公差为. （2）由题意得，令第一圈石板块数为，又， 则第三圈铺了块石板. （3）由题意得，， 所以第1圈到第9圈总共铺了块石板. 14．已知等比数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由前项和公式求出公差和首项，进而求出通项公式. （2）代入求出的通项公式并判断其为等差数列，再结合等差数列前项和公式求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得，， 所以 （2）由（1）知，所以， 因为， 所以数列是等差数列. ， 又， 所以. 15．某布匹批发市场一布商在6月7日购进匹布，8日开始销售，他每天都先销售前一天库存布匹数量的后，再新进匹新布入库，设天后销售及进货后库存布匹的数量为． (1)求6月8日销售及进货后库存布匹的数量； (2)求与的关系式； (3)用表示． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由题意列式即可求解. （2）由题意表示出与的关系式化简即可. （3）由（2）中关系式可知是以为首项，为公比的等比数列，由此即可用表示. 【详解】（1）由题意，． （2）由题意，得， ∴． （3）∵，即， ∴是以为首项，为公比的等比数列， ∴， ∴． 16．某图书馆拟在今年7月1日至7月31日期间开展“你阅读，我送书”的读书月活动，规则如下：参加活动的读者在一天内阅读的时间超过一小时认定为他完成一天阅读．每位读者完成每一天阅读获得50分，从完成第二天阅读起，每完成一天阅读获得的分数比上一次完成一天阅读多4分．活动结束后，计算每位读者的总分，每1000分可兑换一本书．若小丽商学参加该活动． (1)写出小丽完成第2天阅读的当天可获得的分数，并求她完成第n天阅读的当天可获得的分数关于n的表达式； (2)按此规则，小丽最多可以兑换到多少本书？ 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式即可求解. （2）根据等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）小丽完成第2天阅读的当天可获得的分数为. 设第n天阅读的当天可获得的分数为. 由题意得，数列是以首项，公差的等差数列. 所以第n天阅读的当天可获得的分数为. （2）由（1）得，设小丽可获得总积分为. 由题意得，. .所以小丽最多可以兑换到本书. 1.（2023·内蒙古·真题T07）等差数列中，，是等比数列，且，则的值为（ ） A. 0或4 B. 4 C. 0或2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列以及等比数列的上下标的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质可得， 代入可得， 解得或，从而或， 因为等比数列的各项不能为0， 所以舍， 则. 故选：B. 2.（2022·内蒙古·真题T07）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列，则此数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，等差数列的前项和公式及通项公式求解． 【详解】等差数列的公差为， 由题意得，所以，解得， 所以． 故选：A． 3.（2026·内蒙古·真题T20）等差数列中，．若正项等比数列满足，，试判断512是数列的第几项． 【答案】 第10项 【解析】 【分析】先通过等差数列的前 项和公式与通项公式列方程组求首项和公差，得到等比数列的首项和第三项，再求等比数列的公比与通项，最后解方程确定512对应的项数即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为 ，， 根据等差数列前 项和公式，由可得：， 化简得 ①， 根据等差数列通项公式，由可得：②， 联立①②，用②减①得，解得，代入①得 所以，， 即正项等比数列中，， 设的公比为， 根据等比数列通项公式可得，代入得， 解得（负根不符合正项要求，舍去）， 因此的通项公式为， 令，即，可得，解得， 故512是数列的第10项． 4．（2025·内蒙古·真题T21）已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合等差数列的定义及通项公式即可得解. （）根据题意结合等比数列的定义及前项和公式即可得解. 【小问1详解】 数列满足， 所以该数列为公差为的等差数列， 前三项和为12，则， 解得， 所以， 则数列的通项公式为. 小问2详解】 数列满足， 则，， 所以该数列为等比数列，且首项为，公比为， 则. 5.（2024·内蒙古·真题T21） 已知等差数列满足，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质可求出和，进而求解； （2）根据等比数列的性质可求出，再根据等比数列前n项和公式即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则， ， 则数列的通项公式 . 【小问2详解】 设等比数列的公比为， 由（1）可知， ，， 则， 等比数列前n项和 . 6.（2023·内蒙古·真题T21）已知公差不为0的等差数列中，，且，，是等比数列的前三项． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可求解. （2）根据等比数列的通项公式和前n项和公式可求出，再由对数的运算性质求出，从而利用等差数列的求和公式即可求解. 【小问1详解】 因为成等比，， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 有数列的公比，因此， 由等比数列的前n项和公式有，故， 又， 因此为等差数列，所以由等差数列前n项和公式有. 7.（2022·内蒙古·真题T21） 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等比数列，求正整数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得关于与公差的方程组，再由等差数列的通项公式得答案； （2）由等差数列的通项公式，结合等比数列的性质列式求解． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，，得，解得， ∴数列的通项公式为． 【小问2详解】 由，，成等比数列，可得， 即， 整理得，解得(舍)，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $