专题18 等比数列的通项公式与前n项和（练习）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以内蒙古对口招生考情为导向，通过分层专项训练与真题整合，构建等比数列通项公式及前n项和从基础巩固到综合应用的完整进阶路径，培养抽象能力与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点1（通项公式）|单选10题/填空10题/解答4题|聚焦定义辨析、基本量计算及方程根与等比性质结合|从等比数列定义出发，推导通项公式，延伸至等比中项、项数确定等应用| |考点2（前n项和）|单选10题/填空10题/解答4题|覆盖公式直接应用、公比分类讨论及与通项公式综合|基于通项公式推导前n项和公式，强化q=1与q≠1分类计算，结合实际问题求和| |真题|8题（2022-2026年）|突出跨知识点综合（如与等差数列结合）|整合等比数列核心考点，体现从单一公式应用到多知识交汇的命题趋势|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题18 等比数列的通项公式与前n项和 【考点1 等比数列的通项公式】 一、单选题 1．以下数列中，既是等比数列又是等差数列的是（   ） A．10，20，30，40… B．10，10，10，10 C．2，，2，… D．2，4，6，8… 【答案】B 【分析】根据等差数列以及等比数列的定义求解. 【详解】选项A.因为，所以不是等比数列. 选项B.数列是一个常数列，可以看作是首项为10，公差为0的等差数列或者首项为10，公比为1的等比数列. 选项C.因为，所以该数列不是等差数列. 选项D.因为，所以不是等比数列. 故选：B. 2．在等比数列中，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据等比数列的通项公式可求解. 【详解】等比数列中，因为， 所以. 故选：D 3．设是等比数列，且，则公比（ ） A． B．2 C． D．8 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式即可计算出结果. 【详解】由是等比数列，又， 则，即， 可得，解得. 故选：A. 4．在等比数列中，，，，则项数n为（ ） A．5 B．6 C．15 D．16 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为在等比数列中，，，， 所以， 解得. 故选：B. 5．设等比数列的前n项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的前n项和为的定义，以及等比数列的通项公式求解即可. 【详解】已知为等比数列，设公比为，且， 由，可得， 即， 可得，， 又有，则， 所以. 故选：C. 二、填空题 6．设是等比数列，、是方程的两个根，则______. 【答案】 【分析】求出的值，利用等比中项的性质可求得的值. 【详解】因为是等比数列，、是方程的两个根， 由韦达定理可得，由等比中项的性质可得，故. 故答案为：. 7．已知1，x，9成等比数列，则实数x＝________． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】∵1，x，9成等比数列，根据等比中项性质， 得到，即. 故答案为：. 8．在与之间插入一个数使它们成等比数列，则插入的数为__________ 【答案】 【分析】由等比数列中等比中项可得. 【详解】解：由题可知在中插入一个数使它们成等比数列， 根据等比中项的性质可知，， ，故可知. 故答案为：. 9．等比数列的公比为______. 【答案】3 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 因为等比数列首项为，第二项为，所以公比. 故答案为：. 10．在等比数列中，，公比，则___________． 【答案】32 【分析】利用等比数列的通项公式计算即可. 由题可知为等比数列，，， 所以. 故答案为： 三、解答题 11．在等比数列中，若求首项与公比q. 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式，代入后即可求得首项与公比. 【详解】根据题意， ， 所以， 又因为， 所以. 12．在四个正数中，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求的值． 【答案】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质列式即可求解. 【详解】解：因为成等比数列，成等差数列， 则， 又因为是正数， 解得. 【考点2 等比数列的前n项和】 一、单选题 1．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等比数列前项和的定义，结合通项公式即可得解. 【详解】，解得. 故选：B. 2．在等比数列中，表示前项和，若，，则公比的值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】由已知条件作差整理得，再利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】因为在等比数列中，，，， 两式相减可得，， 整理得，又，则. 故选：D. 3．已知等比数列前5项和是242，公比是3，则首项是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】由等比数列前项和公式计算出首项. 【详解】已知等比数列前5项和是242，公比是3， 则， 解得， 故选：A. 4．等比数列中，，，则的前8项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式求出的值，再求出的值，使它们相加求值即可. 【详解】已知，，设公比为， 则有，解得， 则， ， 所以. 故选：A. 5．已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．250 B．210 C．160 D．90 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质，可得成等比数列，据此可求解. 【详解】根据等比数列的性质，可得 成等比数列， 即成等比数列， 所以， 解得. 故选：B. 二、填空题 6．等比数列中，，，则数列的前四项和为_________. 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式，前项和公式即可求解. 【详解】由题意得，等比数列中，中，，，则，解得. 则. 故答案为：. 7．在等比数列中，，则前9项和_________． 【答案】1022 【分析】由条件求出公比及，然后根据等比数列的求和公式求出结果. 【详解】∵等比数列中，， ∴公比，， ∴. 故答案为：1022. 8．已知等比数列的前项和为，若，，则_____． 【答案】448 【分析】根据等比数列片段和的性质，结合题意，代入即可求解． 【详解】因为等比数列中，，， 即, 又构成等比数列，公比为, 所以, 即． 故答案为：448． 9．记为等比数列的前n项和,若，则______. 【答案】 【分析】由等比数列通项公式结合已知条件即可得，再由等比数列前n项和公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，因为， 所以，又，解得， 所以. 故答案为：. 10．设等比数列的前项和为，已知，则__________. 【答案】8 【分析】根据等比数列的性质可得成等比数列，再由等比中项列方程求解即可. 【详解】已知为等比数列， 所以成等比数列， 由， 可得， 由， 得，解得. 故答案为：8. 三、解答题 11．在等比数列{an}中， (1)已知，求前4项和； (2)已知公比，前5项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列前项和公式即可得解； （2）根据等比数列前项和公式求出首项，再根据等比数列的通项公式即可得解. 【详解】（1）设公比为，由， 得，所以， 所以； （2）由，得， 所以. 12．已知数列满足，且，求数列的通项公式与前n项和 【答案】， 【分析】由等比数列的定义判断数列为等比数列，再求解出首项，再由等比数列的通项公式和前n项和公式求解即可. 【详解】因为数列满足，即， 因为，所以，即，解得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， ， 综上，数列的通项公式为，前n项和为 【考点1 等比数列的通项公式】 一、单选题 1．在等比数列中，若，则（ ） A．8 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用等比中项的性质求解. 【详解】因为，所以， 故选：D. 2．在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列通项公式求解即可. 【详解】因为等比数列通项公式为， 所以. 故选：B. 3．2与18的等比中项是（    ） A．36 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】由等比中项列式求解即可． 【详解】设2和18的等比中项为，则，解得． 故选：D． 4．在各项均为正数的等比数列中，，则公比（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用等比数列的定义即可求解. 【详解】由各项均为正数的等比数列，设公比为，∴， 又∵，∴，解得或（舍去）. 故选：D. 5．在等比数列{}中，若，则等于（    ） A．8 B．3 C．16 D． 【答案】B 【分析】利用等比数列的下标和与对数的运算性质求解即可. 【详解】因为等比数列中，. 根据等比数列的性质，. 所以. 故选：B. 二、填空题 6．已知等比数列中，，公比，则 ______. 【答案】 【分析】根据等比数列的首项和公比可以得到通项公式，从而计算出即可求解. 【详解】因为数列为等比数列， 且，公比， 所以， 所以. 故答案为：. 7．在等比数列中，若384，则公比______． 【答案】2 【分析】根据等边数列的项求解公比即可； 【详解】， 两式相除得，，所以． 故答案为：2 8．已知等比数列的公比，则 等于_____________. 【答案】 【分析】根据等比数列的性质，结合题意即可求解． 【详解】因为等比数列的公比， 所以． 故答案为：． 9．已知，，成等比数列，则______. 【答案】4或 【分析】根据等比数列的概念列出等式即可解得. 【详解】由题，成等比数列，显然， 则，可得， 则或，解得或. 故答案为：或 10．等比数列中，已知，，则________ 【答案】2 【分析】利用等比数列的性质，若，则，即可求解. 【详解】因为数列为等比数列， 所以，即，解得. 故答案为：2 三、解答题 11．已知四个正数，前三个数成等差数列，其和为27，第四个数是16，后三个数成等比数列，求前三个数. 【答案】6,9,12 【分析】根据等差等比数列性质求解即可 【详解】设四个数分别为，因为前三个数为等差数列，且和为27， 所以，即，又因为后三个数为等比数列，且， 所以，因为四个数都为正数，所以， 即，所以，所以公差， 所以，所以前三个数以次为6，9，12. 12．已知等比数列中，，求数列的通项公式. 【答案】或 【分析】根据题意，可列出关于和q的方程组，求出和q，即可求数列的通项公式. 【详解】设等比数列的公比为q， 已知或， 故或 【考点2 等比数列的前n项和】 一、单选题 1．在等比数列中，，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比中项的性质求解. 【详解】由等比数列的性质可知，， 则， 故. 故选：C. 2．已知等比数列的公比，前4项的和是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】由题可知，，解得. 故选：D. 3．等比数列中，，，的值为（    ） A．27 B．24 C．21 D．18 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和的性质求解. 【详解】因为在等比数列中，也成等比数列， 因此有，则. 故选：C. 4．在等比数列{}中，首项，公比，则其前10项的和等于（    ） A．－20 B．0 C．2 D．－2 【答案】B 【分析】根据等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】由等比数列前项和公式可得， . 故选：B. 5．在等比数列中已知，，则等于（    ） A．80 B．20 C．160 D．320 【答案】A 【分析】利用等比数列的通项公式，寻找，，之间的关系，整体代换可求解. 【详解】设等比数列公比为, 则, 因为，所以, . 故选：A. 二、填空题 6．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6＝30，S9＝70，则S3＝________. 【答案】10 【解析】利用等比数列前项和的性质列方程，解方程求得. 【详解】根据等比数列的前n项和的性质，若Sn是等比数列的和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍是等比数列，得到(S6－S3)2＝S3(S9－S6)， 即. 解得S3＝10或S3＝90(舍)． 故答案为：. 7．等比数列中，，，则___________. 【答案】 【分析】根据等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】已知为等比数列， ， 由可知，， 所以. 故答案为：. 8．若等比数列{}满足，则{}的前n项和=___________. 【答案】 【分析】根据等比数列的性质求出公比，再由等比数列前项和的公式即可解得. 【详解】由题可知，数列为等比数列，且， 则公比， 则前项和， 故答案为： 9．在公比为正数的等比数列中，若，则该数列的前7项和______． 【答案】127 【分析】先求出公比，再利用等比数列的求和公式求出. 【详解】设公比为， 若，则，又，解得， 所以． 故答案为：127． 10．在等比数列中，若，，则数列的前6项之和_____. 【答案】 【分析】先求出等比数列的公比，再由等比数列前n项和公式可得. 【详解】等比数列中，若，， 则公比. 由，得. 所以. 故答案为：. 三、解答题 11．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求得公比，即可求解. （2）根据等差数列的前项求和公式求解即可. 【详解】（1）设数列的公比，因为，所以， 即，得，得或(舍去)， 故数列的通项公式为. （2）因为，， 所以. 12．在等比数列中，，，，求数列的公比q. 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式与等比数列前项和公式求解即可. 【详解】已知为等比数列，且，， 可得， 即， 解得，， 因为，所以舍去. 所以. 1.（2024·内蒙古·真题T06）已知为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出等比数列的公比，再根据等比数列的通项公式以及前项和公式求解即可. 【详解】设等数列的公式为，显然， 因为，， 所以，所以， 又， 则. 故选：A. 2.（2023·内蒙古·真题T07）等差数列中，，是等比数列，且，则的值为（ ） A. 0或4 B. 4 C. 0或2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列以及等比数列的上下标的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质可得， 代入可得， 解得或，从而或， 因为等比数列的各项不能为0， 所以舍， 则. 故选：B. 3.（2022·内蒙古·真题T07）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列，则此数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，等差数列的前项和公式及通项公式求解． 【详解】等差数列的公差为， 由题意得，所以，解得， 所以． 故选：A． 4.（2026·内蒙古·真题T20）等差数列中，．若正项等比数列满足，，试判断512是数列的第几项． 【答案】 第10项 【解析】 【分析】先通过等差数列的前 项和公式与通项公式列方程组求首项和公差，得到等比数列的首项和第三项，再求等比数列的公比与通项，最后解方程确定512对应的项数即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为 ，， 根据等差数列前 项和公式，由可得：， 化简得 ①， 根据等差数列通项公式，由可得：②， 联立①②，用②减①得，解得，代入①得 所以，， 即正项等比数列中，， 设的公比为， 根据等比数列通项公式可得，代入得， 解得（负根不符合正项要求，舍去）， 因此的通项公式为， 令，即，可得，解得， 故512是数列的第10项． 5．（2025·内蒙古·真题T21）已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合等差数列的定义及通项公式即可得解. （）根据题意结合等比数列的定义及前项和公式即可得解. 【小问1详解】 数列满足， 所以该数列为公差为的等差数列， 前三项和为12，则， 解得， 所以， 则数列的通项公式为. 小问2详解】 数列满足， 则，， 所以该数列为等比数列，且首项为，公比为， 则. 6.（2024·内蒙古·真题T21） 已知等差数列满足，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质可求出和，进而求解； （2）根据等比数列的性质可求出，再根据等比数列前n项和公式即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则， ， 则数列的通项公式 . 【小问2详解】 设等比数列的公比为， 由（1）可知， ，， 则， 等比数列前n项和 . 7.（2023·内蒙古·真题T21）已知公差不为0的等差数列中，，且，，是等比数列的前三项． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可求解. （2）根据等比数列的通项公式和前n项和公式可求出，再由对数的运算性质求出，从而利用等差数列的求和公式即可求解. 【小问1详解】 因为成等比，， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 有数列的公比，因此， 由等比数列的前n项和公式有，故， 又， 因此为等差数列，所以由等差数列前n项和公式有. 8.（2022·内蒙古·真题T21） 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等比数列，求正整数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得关于与公差的方程组，再由等差数列的通项公式得答案； （2）由等差数列的通项公式，结合等比数列的性质列式求解． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，，得，解得， ∴数列的通项公式为． 【小问2详解】 由，，成等比数列，可得， 即， 整理得，解得(舍)，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题18 等比数列的通项公式与前n项和 【考点1 等比数列的通项公式】 一、单选题 1．以下数列中，既是等比数列又是等差数列的是（   ） A．10，20，30，40… B．10，10，10，10 C．2，，2，… D．2，4，6，8… 2．在等比数列中，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．设是等比数列，且，则公比（ ） A． B．2 C． D．8 4．在等比数列中，，，，则项数n为（ ） A．5 B．6 C．15 D．16 5．设等比数列的前n项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．设是等比数列，、是方程的两个根，则______. 7．已知1，x，9成等比数列，则实数x＝________． 8．在与之间插入一个数使它们成等比数列，则插入的数为__________ 9．等比数列的公比为______. 10．在等比数列中，，公比，则___________． 三、解答题 11．在等比数列中，若求首项与公比q. 12． 在四个正数中，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求的值． 【考点2 等比数列的前n项和】 一、单选题 1．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在等比数列中，表示前项和，若，，则公比的值是（    ） A． B． C． D．3 3．已知等比数列前5项和是242，公比是3，则首项是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．等比数列中，，，则的前8项和为（    ） A． B． C． D． 5．已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．250 B．210 C．160 D．90 二、填空题 6．等比数列中，，，则数列的前四项和为_________. 7．在等比数列中，，则前9项和_________． 8．已知等比数列的前项和为，若，，则_____． 9．记为等比数列的前n项和,若，则______. 10．设等比数列的前项和为，已知，则__________. 三、解答题 11．在等比数列{an}中， (1)已知，求前4项和； (2)已知公比，前5项和，求. 12．已知数列满足，且，求数列的通项公式与前n项和 【考点1 等比数列的通项公式】 一、单选题 1．在等比数列中，若，则（ ） A．8 B． C．4 D． 2．在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 3．2与18的等比中项是（    ） A．36 B． C．6 D． 4．在各项均为正数的等比数列中，，则公比（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．在等比数列{}中，若，则等于（    ） A．8 B．3 C．16 D． 二、填空题 6．已知等比数列中，，公比，则 ______. 7．在等比数列中，若384，则公比______． 8．已知等比数列的公比，则 等于_____________. 9．已知，，成等比数列，则______. 10．等比数列中，已知，，则________ 三、解答题 11．已知四个正数，前三个数成等差数列，其和为27，第四个数是16，后三个数成等比数列，求前三个数. 12．已知等比数列中，，求数列的通项公式. 【考点2 等比数列的前n项和】 一、单选题 1．在等比数列中，，则（    ） A．8 B． C． D． 2．已知等比数列的公比，前4项的和是，则（    ） A． B． C． D． 3．等比数列中，，，的值为（    ） A．27 B．24 C．21 D．18 4．在等比数列{}中，首项，公比，则其前10项的和等于（    ） A．－20 B．0 C．2 D．－2 5．在等比数列中已知，，则等于（    ） A．80 B．20 C．160 D．320 二、填空题 6．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6＝30，S9＝70，则S3＝________. 7．等比数列中，，，则___________. 8．若等比数列{}满足，则{}的前n项和=___________. 9．在公比为正数的等比数列中，若，则该数列的前7项和______． 10．在等比数列中，若，，则数列的前6项之和_____. 三、解答题 11．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 12．在等比数列中，，，，求数列的公比q. 1.（2024·内蒙古·真题T06）已知为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 2.（2023·内蒙古·真题T07）等差数列中，，是等比数列，且，则的值为（ ） A. 0或4 B. 4 C. 0或2 D. 2 3.（2022·内蒙古·真题T07）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列，则此数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 4.（2026·内蒙古·真题T20）等差数列中，．若正项等比数列满足，，试判断512是数列的第几项． 5．（2025·内蒙古·真题T21）已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 6.（2024·内蒙古·真题T21） 已知等差数列满足，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 7.（2023·内蒙古·真题T21）已知公差不为0的等差数列中，，且，，是等比数列的前三项． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，设，求数列的前n项和． 8.（2022·内蒙古·真题T21） 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等比数列，求正整数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $