专题18 等比数列的通项公式与前n项和（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题18 等比数列的通项公式与前n项和 ( 【复习目标】 1. 理解等比数列的定义，等比中项的含义，掌握等比数列的通项公式、前n项和公式 . 2. 掌握等比数列常用的性质，并会用性质解决问题 . ) 【考点1 等比数列的概念及公式】 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 2．等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． 3．等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 4． 设等比数列的公比为 （1）若，且，则，特别地，当时，． （2） 下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． （3）若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； （4）连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 【即时训练】 一、单选题 1．已知等比数列中，、是方程的两个根，则（    ）． A．10 B．4 C． D． 2．等比数列中，，，则（   ） A．4 B． C．6 D．8 3．若是等比数列，且，则（    ） A．54 B．27 C．18 D．9 4．若等比数列中，，则为（　　） A． B． C． D． 5．已知等比数列中，，公比，则首项 （    ） A．4 B． C．2 D． 二、填空题 6．等比数列中，若，则______________． 7．在数列中，已知，且，则_____________． 8．4与9的等比中项是_________________. 9．在等比数列中，，，则________． 10．在等比数列中，，则数列的公比q为____________. 三、解答题 11．求下列各组数的等比中项： (1)和； (2)和； (3)和． 12．在等比数列中，若，且成等差数列，求数列的通项公式． 【考点2 等比数列的前n项和】 等比数列的前项和公式 【即时训练】 一、单选题 1．已知各项均为正数的等比数列中，，则（   ） A．18 B．18或32 C．32 D．3或 2．等比数列中，若，，则等于：（    ）． A．155 B．150 C．160 D．165 3．等比数列中，若，，则等于（    ） A．186 B．192 C．189 D．195 4．设首项为,公比为的等比数列的前项和为,则（    ） A． B． C． D． 5．等比数列的前四项和为（    ） A． B．7 C． D． 二、填空题 6．等比数列中，，，则__________. 7．在数列中，已知，则此数列的前5项和______． 8．在等比数列中，已知，则_______． 9．记为等比数列的前项和，若，，则________. 10．等比数列满足 ，则其前9项的和 ______________. 三、解答题 11．设数列满足，求该数列的前项和. 12．已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，求这三个数． 1.（2024·内蒙古·真题T06）已知为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 2.（2023·内蒙古·真题T07）等差数列中，，是等比数列，且，则的值为（ ） A. 0或4 B. 4 C. 0或2 D. 2 3.（2022·内蒙古·真题T07）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列，则此数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 4.（2026·内蒙古·真题T20）等差数列中，．若正项等比数列满足，，试判断512是数列的第几项． 5．（2025·内蒙古·真题T21）已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 6.（2024·内蒙古·真题T21） 已知等差数列满足，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 7.（2023·内蒙古·真题T21）已知公差不为0的等差数列中，，且，，是等比数列的前三项． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，设，求数列的前n项和． 8.（2022·内蒙古·真题T21） 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等比数列，求正整数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题18 等比数列的通项公式与前n项和 ( 【复习目标】 1. 理解等比数列的定义，等比中项的含义，掌握等比数列的通项公式、前n项和公式 . 2. 掌握等比数列常用的性质，并会用性质解决问题 . ) 【考点1 等比数列的概念及公式】 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 2．等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． 3．等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 4． 设等比数列的公比为 （1）若，且，则，特别地，当时，． （2） 下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． （3）若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； （4）连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 【即时训练】 一、单选题 1．已知等比数列中，、是方程的两个根，则（    ）． A．10 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先利用韦达定理得到方程根的关系，再根据等比数列下标和计算. 【详解】∵、是方程的两个根， ∴根据韦达定理可知，，. 因为是等比数列，根据等比数列的下标和性质，得到. 得到. 故选：D. 2．等比数列中，，，则（   ） A．4 B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据等比数列的通项公式，结合题意，求出公比，继而求解. 【详解】因为等比数列中，，， 所以，所以， 所以. 故选：D. 3．若是等比数列，且，则（    ） A．54 B．27 C．18 D．9 【答案】D 【分析】根据等比数列下标和性质可求解. 【详解】因为是等比数列， 所以， 即，解得. 故选：D 4．若等比数列中，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为等比数列中，， 所以. 故选：B. 5．已知等比数列中，，公比，则首项 （    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式可求解. 【详解】由题可得：，即，解得. 故选：B. 二、填空题 6．等比数列中，若，则______________． 【答案】25 【分析】由等比数列的下标和性质可求解. 【详解】由等比数列的性质可知 ， 故. 故答案为：25 7．在数列中，已知，且，则_____________． 【答案】/ 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】已知，即， 可知数列为等比数列，且公比等于， 所以. 故答案为:. 8．4与9的等比中项是_________________. 【答案】 【分析】根据等比中项计算即可解得. 【详解】由题，设题中等比中项为， 则， 解得. 故答案为： 9．在等比数列中，，，则________． 【答案】 【分析】利用等比数列下标的性质可求解. 【详解】由等比数列下标和的性质可知 . 故答案为： 10．在等比数列中，，则数列的公比q为____________. 【答案】 【分析】由等比数列的通项即可计算公比q. 【详解】因为为等比数列，， 所以，解得. 所以数列的公比q为. 故答案为：. 三、解答题 11．求下列各组数的等比中项： (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据等比中项的性质可求各小问中的等比中项. 【详解】（1）和的等比中项为. （2）和的等比中项为 （3）和的等比中项为 12．在等比数列中，若，且成等差数列，求数列的通项公式． 【答案】. 【分析】由等差中项公式及等比数列的通项公式即可得解. 【详解】因为为等比数列. 设. 又因为成等差数列. 所以. 所以. 解得. 所以即. 综上所述的通项公式为. 【考点2 等比数列的前n项和】 等比数列的前项和公式 【即时训练】 一、单选题 1．已知各项均为正数的等比数列中，，则（   ） A．18 B．18或32 C．32 D．3或 【答案】A 【分析】根据等比数列的前项和定义求出数列的公比，代入等比数列的通项公式即可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 整理得，即， 解得（舍）或， 所以. 故选：. 2．等比数列中，若，，则等于：（    ）． A．155 B．150 C．160 D．165 【答案】A 【分析】先求得等比数列的首项和公比，再利用求和公式计算. 【详解】∵是等比数列，∴. 而，， 得到. ∴. 故选：A. 3．等比数列中，若，，则等于（    ） A．186 B．192 C．189 D．195 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义和前n项和公式即可求解. 【详解】因为在等比数列中，，， 所以公比， 所以， 又因为， 所以. 故选：C. 4．设首项为,公比为的等比数列的前项和为,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比数列的通项公式及前项和公式即可得解. 【详解】因为首项为,公比为的等比数列. 所以 因为. 所以. 故选:. 5．等比数列的前四项和为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的前项和求值即可. 【详解】等比数列的前四项和为 ， 故选：C. 二、填空题 6．等比数列中，，，则__________. 【答案】11 【分析】根据等比数列前n项和公式易得答案. 【详解】因为等比数列中，，，所以. 故答案为：11． 7．在数列中，已知，则此数列的前5项和______． 【答案】93 【分析】首先得到数列是等比数列，再根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】因为，所以公比. 所以是首项为3，公比为2的等比数列， 所以． 故答案为：93. 8．在等比数列中，已知，则_______． 【答案】255或 【分析】由条件求得，然后利用等比数列的求和公式计算. 【详解】设等比数列的公比为， ，， ，解得，． 当时，； 当时，． 故答案为：255或. 9．记为等比数列的前项和，若，，则________. 【答案】/ 【分析】先根据已知条件求出公比，再运用等比数列前项和公式求解. 【详解】为等比数列的前项和， 若，， 则有，即， 解得，所以. 故答案为：. 10．等比数列满足 ，则其前9项的和 ______________. 【答案】 【分析】先求解等比数列的公比，再求解的值，即可求解前9项和. 【详解】因为， 所以， 即， 所以， 所以. 故答案为：52. 三、解答题 11．设数列满足，求该数列的前项和. 【答案】 【分析】根据等比数列的前项和公式求值即可. 【详解】已知数列满足， 则为常数，所以是首项为1，公比为2的等比数列， 则. 12．已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，求这三个数． 【答案】或 【分析】由等比数列，可设这三个数分别为，由题目条件列方程求解即可. 【详解】三个数成等比数列，可设这三个数为， 由其和为28，其积为512，则 由②解得， 将代入①得，化为， 解得或. 所以这三个数为或. 1.（2024·内蒙古·真题T06）已知为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出等比数列的公比，再根据等比数列的通项公式以及前项和公式求解即可. 【详解】设等数列的公式为，显然， 因为，， 所以，所以， 又， 则. 故选：A. 2.（2023·内蒙古·真题T07）等差数列中，，是等比数列，且，则的值为（ ） A. 0或4 B. 4 C. 0或2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列以及等比数列的上下标的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质可得， 代入可得， 解得或，从而或， 因为等比数列的各项不能为0， 所以舍， 则. 故选：B. 3.（2022·内蒙古·真题T07）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列，则此数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，等差数列的前项和公式及通项公式求解． 【详解】等差数列的公差为， 由题意得，所以，解得， 所以． 故选：A． 4.（2026·内蒙古·真题T20）等差数列中，．若正项等比数列满足，，试判断512是数列的第几项． 【答案】 第10项 【解析】 【分析】先通过等差数列的前 项和公式与通项公式列方程组求首项和公差，得到等比数列的首项和第三项，再求等比数列的公比与通项，最后解方程确定512对应的项数即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为 ，， 根据等差数列前 项和公式，由可得：， 化简得 ①， 根据等差数列通项公式，由可得：②， 联立①②，用②减①得，解得，代入①得 所以，， 即正项等比数列中，， 设的公比为， 根据等比数列通项公式可得，代入得， 解得（负根不符合正项要求，舍去）， 因此的通项公式为， 令，即，可得，解得， 故512是数列的第10项． 5．（2025·内蒙古·真题T21）已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合等差数列的定义及通项公式即可得解. （）根据题意结合等比数列的定义及前项和公式即可得解. 【小问1详解】 数列满足， 所以该数列为公差为的等差数列， 前三项和为12，则， 解得， 所以， 则数列的通项公式为. 小问2详解】 数列满足， 则，， 所以该数列为等比数列，且首项为，公比为， 则. 6.（2024·内蒙古·真题T21） 已知等差数列满足，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质可求出和，进而求解； （2）根据等比数列的性质可求出，再根据等比数列前n项和公式即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则， ， 则数列的通项公式 . 【小问2详解】 设等比数列的公比为， 由（1）可知， ，， 则， 等比数列前n项和 . 7.（2023·内蒙古·真题T21）已知公差不为0的等差数列中，，且，，是等比数列的前三项． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可求解. （2）根据等比数列的通项公式和前n项和公式可求出，再由对数的运算性质求出，从而利用等差数列的求和公式即可求解. 【小问1详解】 因为成等比，， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 有数列的公比，因此， 由等比数列的前n项和公式有，故， 又， 因此为等差数列，所以由等差数列前n项和公式有. 8.（2022·内蒙古·真题T21） 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等比数列，求正整数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得关于与公差的方程组，再由等差数列的通项公式得答案； （2）由等差数列的通项公式，结合等比数列的性质列式求解． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，，得，解得， ∴数列的通项公式为． 【小问2详解】 由，，成等比数列，可得， 即， 整理得，解得(舍)，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $