专题17 等差数列的通项公式与前n项和（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题17 等差数列的通项公式与前n项和 ( 【复习目标】 1. 理解等差数列的定义，等差中项的含义，掌握等差数列的通项公式、前n项和公式 . 2. 掌握等差数列常用的性质，并会用性质解决问题 . ) 【考点1 等差数列的概念】 1.定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示，即（，，为常数）或（，为常数）. (2)等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． (3)等差数列通项公式 2.等差数列的性质： 设为等差数列,公差为,则 (1)若,则.特别地,若,则; (2)下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． (3)若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． (4)连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 【即时训练】 一、单选题 1．在等差数列中，，则的值为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】由等差数列的定义结合求出公差，再求的值即可. 【详解】因为为等差数列，， 所以公差， 所以. 故选：A. 2．在等差数列中，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求公差和首项，然后利用等差数列通项公式可求. 【详解】因为，，设公差为， 则，则， 则， 则； 故选：D. 3．在等差数列中，若，公差，则（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为等差数列，且，公差， 所以. 故选：B 4．下列数列不是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差数列的定义判断选项即可. 【详解】由等差数列的定义， A选项，从第二项起，每一项与前一项的差都等于，所以是等差数列； B选项，从第二项起，每一项与前一项的差都等于，所以是等差数列； C选项，，所以不是等差数列； D选项，从第二项起，每一项与前一项的差都等于，所以是等差数列； 故选：C. 5．设数列是等差数列,若,则（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据等差中项的概念即可求解. 【详解】由等差中项的概念可知， 等差数列中， 所以 所以 故选：B 二、填空题 6．在等差数列中，，则__________． 【答案】 【分析】根据题意，结合等差数列下标和的性质，即可求解. 【详解】因为等差数列中，， 所以. 故答案为：. 7．若4，a，16成等差数列，则___________． 【答案】 【分析】利用等差中项公式即可求解. 【详解】因为4，a，16成等差数列， 则，解得. 故答案为：. 8．等差数列的公差为_____. 【答案】2 【分析】根据等差数列的定义即可确定公差. 【详解】已知等差数列， 设公差为，则， 所以等差数列的公差为， 故答案为：. 9．通项公式为的数列是公差为________的等差数列． 【答案】 【分析】利用等差数列的通项公式求基本量即可得解. 【详解】因为等差数列的通项公式为， 所以， 所以公差为. 故答案为：3. 10．在等差数列中，若，，则_____. 【答案】25 【分析】由等差数列的通项即可求解. 【详解】是等差数列，设公差为d， ，即， 因此公差，所以. 故答案为：25. 三、解答题 11．在等差数列中，，，求． 【答案】 【分析】先求公差，然后根据等差数列通项公式可求. 【详解】设等差数列的公差为， 则由题意得，，                                  即. 12．等差数列中，，．求数列的通项公式： 【答案】 【分析】利用已知求出首项与公差，然后代入通项公式即可. 【详解】，则， ，则， 则，可得，即， 所以，， 则. 【考点2 等差数列的前n项和】 等差数列的前n项和公式： （1） （2） （3）等差数列前n项和公式与二次函数的关系 等差数列的前项和,令,则 . (4)等差数列的判定 ① (定义法); ②(中项法); ③(通项法, 一次函数); ④(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点). 【即时训练】 一、单选题 1．等差数列中，若，，则等于（    ） A．38 B．36 C．48 D．46 【答案】B 【分析】根据等差数列中的项，求得等差数列的首项和公差，即可求解. 【详解】∵是等差数列，令其首项为，公差为， 则，， 得到，，. 故. 故选：B. 2．在等差数列中，前3项和为12，前6项和为30，则该数列前9项和为（   ） A．54 B．48 C．60 D．72 【答案】A 【分析】根据等差数列的前项和性质结合等差中项的公式即可得解. 【详解】在等差数列中，，，也成等差数列， 已知，则，设为，则， 那么，解得，所以. 故选：. 3．在等差数列中，是方程的两个根，则（   ） A． B．21 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据韦达定理结合等差数列的性质求出，代入等差数列的求和公式即可得解. 【详解】等差数列中，是方程的两个根，所以， 则，所以， 故选：. 4．在等差数列中，已知前15项之和，那么（   ） A．4 B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质，将转化为的算式，即可得到答案. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 5．在等差数列中，知，则数列的前6项和等于（    ） A．18 B．45 C．36 D．72 【答案】C 【分析】根据等差数列下标和性质求出，再代前项和公式计算即可. 【详解】等差数列中，， 则. 故选：C. 6．在等差数列中，若，则等于（    ） A．75 B．85 C．95 D．65 【答案】C 【分析】由等差数列的前n项和公式和等差数列的性质求解即可. 【详解】在等差数列中，若， 因为， 所以. 故选：C. 二、填空题 7．在等差数列中，若，则_____________． 【答案】95 【分析】根据等差数列的前项和公式结合等差数列的性质即可求解. 【详解】由题意得，在等差数列中，. 则. 故答案为：95. 8．已知等差数列的前项和为，若，则______. 【答案】72 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式求解. 【详解】若，则， 则. 故答案为：72. 9．等差数列1，2，3，4，……的前10项和等于____________. 【答案】55 【分析】根据数列求出公差，再利用等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】由题可知，等差数列的第一项为. 设公差为，则. 所以等差数列的前10项和为. 故答案为：. 10．等差数列中，，，则________. 【答案】 【分析】根据等差数列的通项公式求，再根据等差数列前项求和公式易得答案. 【详解】因为等差数列中，，， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 三、解答题 11．某报告厅共有18排座位，每后一排比前一排多两个座位，最后一排有50个座位，求报告厅共有多少个座位？ 【答案】594个 【分析】根据题意，列出等差数列的通项公式，再根据等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意知，各排座位成等差数列， 公差，，， 由， 则， 解得， 所以前18项的和为：， 即， 所以报告厅共有594个座位. 12．设等差数列的前n项和为，已知，求： (1)数列的首项和公差d； (2)若，求n. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件,列出方程组,解出即可. （2）根据已知条件及等差数列前项和公式,即可求出. 【详解】（1）解:等差数列中, ,, , 解得. （2） . 1．（2025·内蒙古·真题T08）已知数列是项数相同的等差数列，若，则数列的第25项为（ ） A. 15 B. 50 C. 100 D. 1250 【答案】B 【解析】 【分析】先证明为等差数列，再由等差数列的通项求解即可. 【详解】因为数列是项数相同的等差数列， 设的公差为，的公差为， 则， 即是常数，故数列为等差数列， 因为，所以数列公差为， 所以数列的第25项为. 故选：B. 2.（2023·内蒙古·真题T07）等差数列中，，是等比数列，且，则的值为（ ） A. 0或4 B. 4 C. 0或2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列以及等比数列的上下标的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质可得， 代入可得， 解得或，从而或， 因为等比数列的各项不能为0， 所以舍， 则. 故选：B. 3.（2022·内蒙古·真题T07）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列，则此数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，等差数列的前项和公式及通项公式求解． 【详解】等差数列的公差为， 由题意得，所以，解得， 所以． 故选：A． 4.（2026·内蒙古·真题T20）等差数列中，．若正项等比数列满足，，试判断512是数列的第几项． 【答案】 第10项 【解析】 【分析】先通过等差数列的前 项和公式与通项公式列方程组求首项和公差，得到等比数列的首项和第三项，再求等比数列的公比与通项，最后解方程确定512对应的项数即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为 ，， 根据等差数列前 项和公式，由可得：， 化简得 ①， 根据等差数列通项公式，由可得：②， 联立①②，用②减①得，解得，代入①得 所以，， 即正项等比数列中，， 设的公比为， 根据等比数列通项公式可得，代入得， 解得（负根不符合正项要求，舍去）， 因此的通项公式为， 令，即，可得，解得， 故512是数列的第10项． 5．（2025·内蒙古·真题T21）已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合等差数列的定义及通项公式即可得解. （）根据题意结合等比数列的定义及前项和公式即可得解. 【小问1详解】 数列满足， 所以该数列为公差为的等差数列， 前三项和为12，则， 解得， 所以， 则数列的通项公式为. 小问2详解】 数列满足， 则，， 所以该数列为等比数列，且首项为，公比为， 则. 6.（2024·内蒙古·真题T21） 已知等差数列满足，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质可求出和，进而求解； （2）根据等比数列的性质可求出，再根据等比数列前n项和公式即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则， ， 则数列的通项公式 . 【小问2详解】 设等比数列的公比为， 由（1）可知， ，， 则， 等比数列前n项和 . 7.（2023·内蒙古·真题T21）已知公差不为0的等差数列中，，且，，是等比数列的前三项． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可求解. （2）根据等比数列的通项公式和前n项和公式可求出，再由对数的运算性质求出，从而利用等差数列的求和公式即可求解. 【小问1详解】 因为成等比，， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 有数列的公比，因此， 由等比数列的前n项和公式有，故， 又， 因此为等差数列，所以由等差数列前n项和公式有. 8.（2022·内蒙古·真题T21） 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等比数列，求正整数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得关于与公差的方程组，再由等差数列的通项公式得答案； （2）由等差数列的通项公式，结合等比数列的性质列式求解． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，，得，解得， ∴数列的通项公式为． 【小问2详解】 由，，成等比数列，可得， 即， 整理得，解得(舍)，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题17 等差数列的通项公式与前n项和 ( 【复习目标】 1. 理解等差数列的定义，等差中项的含义，掌握等差数列的通项公式、前n项和公式 . 2. 掌握等差数列常用的性质，并会用性质解决问题 . ) 【考点1 等差数列的概念】 1.定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示，即（，，为常数）或（，为常数）. (2)等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． (3)等差数列通项公式 2.等差数列的性质： 设为等差数列,公差为,则 (1)若,则.特别地,若,则; (2)下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． (3)若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． (4)连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 【即时训练】 一、单选题 1．在等差数列中，，则的值为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．在等差数列中，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．在等差数列中，若，公差，则（   ） A． B．0 C．1 D．3 4．下列数列不是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 5．设数列是等差数列,若,则（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 二、填空题 6．在等差数列中，，则__________． 7．若4，a，16成等差数列，则___________． 8．等差数列的公差为_____. 9．通项公式为的数列是公差为________的等差数列． 10．在等差数列中，若，，则_____. 三、解答题 11．在等差数列中，，，求． 12．等差数列中，，．求数列的通项公式： 【考点2 等差数列的前n项和】 等差数列的前n项和公式： （1） （2） （3）等差数列前n项和公式与二次函数的关系 等差数列的前项和,令,则 . (4)等差数列的判定 ① (定义法); ②(中项法); ③(通项法, 一次函数); ④(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点). 【即时训练】 一、单选题 1．等差数列中，若，，则等于（    ） A．38 B．36 C．48 D．46 2．在等差数列中，前3项和为12，前6项和为30，则该数列前9项和为（   ） A．54 B．48 C．60 D．72 3．在等差数列中，是方程的两个根，则（   ） A． B．21 C．3 D． 4．在等差数列中，已知前15项之和，那么（   ） A．4 B． C． D．6 5．在等差数列中，知，则数列的前6项和等于（    ） A．18 B．45 C．36 D．72 6．在等差数列中，若，则等于（    ） A．75 B．85 C．95 D．65 二、填空题 7．在等差数列中，若，则_____________． 8．已知等差数列的前项和为，若，则______. 9．等差数列1，2，3，4，……的前10项和等于____________. 10．等差数列中，，，则________. 三、解答题 11．某报告厅共有18排座位，每后一排比前一排多两个座位，最后一排有50个座位，求报告厅共有多少个座位？ 12．设等差数列的前n项和为，已知，求： (1)数列的首项和公差d； (2)若，求n. 1．（2025·内蒙古·真题T08）已知数列是项数相同的等差数列，若，则数列的第25项为（ ） A. 15 B. 50 C. 100 D. 1250 2.（2023·内蒙古·真题T07）等差数列中，，是等比数列，且，则的值为（ ） A. 0或4 B. 4 C. 0或2 D. 2 3.（2022·内蒙古·真题T07）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列，则此数列的通项公式是（ ） A. B. C. D. 4.（2026·内蒙古·真题T20）等差数列中，．若正项等比数列满足，，试判断512是数列的第几项． 5．（2025·内蒙古·真题T21）已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 6.（2024·内蒙古·真题T21） 已知等差数列满足，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 7.（2023·内蒙古·真题T21）已知公差不为0的等差数列中，，且，，是等比数列的前三项． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，设，求数列的前n项和． 8.（2022·内蒙古·真题T21） 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等比数列，求正整数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $