专题16 数列的概念与通项公式（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题16 数列的概念与通项公式 ( 【复习目标】 1. 理解 数列的概念，会判断数列的增减性、会求一般数列的通项公式 . 2. 掌握已知 s n 求 a n 方法 . ) 【考点1 数列有关的概念】 1．数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{an}． 2．数列的分类 (1)数列按项数是有限还是无限来分，分为有穷数列、无穷数列. (2)按项的增减规律分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列． 递增数列⇔an＋1＞an；递减数列⇔an＋1＜an； 常数列⇔an＋1 ＝an. 递增数列与递减数列统称为单调数列． 【即时训练】 一、单选题 1．已知，则数列的图像是（    ） A．一条直线 B．一条抛物线 C．一个圆 D．一群孤立的点 【答案】D 【分析】根据数列的通项公式与函数的关系即可得出结论. 【详解】已知，其中项数的取值范围为， 所以数列的图像是一群孤立的点. 故选：D. 2．已知数列则第10项是（   ） A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】利用数列的通项公式可求. 【详解】由题可知，该通项数列奇数项为负，偶数项为正，分子为，分母为对应的项数， 故第10项是； 故选：B. 3．若数列的通项公式为，则（   ） A．36 B．30 C． D． 【答案】A 【分析】根据数列的通项公式求解数列的项即可； 【详解】因为数列的通项公式为， 所以. 故选：A 4．已知数列1，3，6，10，x，21，28，其中x的值为（    ） A．12 B．15 C．17 D．19 【答案】B 【分析】观察数列每一项，得出规律，即可求解x的值. 【详解】观察数列可知第二项减第一项为， 第三项减第二项为， 第四项减第三项为， 由此可知第五项减第四项的差应为5， 所以， 所以. 故选:B. 5．下列各选项中说法正确的是（    ） A．数列都有通项公式 B．数列与数列是同一数列 C．数列的一个通项公式为 D．4是数列，，2，，的第项 【答案】D 【分析】根据通项公式的定义可判断A，根据数列的定义可判断B，运用观察法确定数列的通项公式即可判断CD. 【详解】不是所有的数列都有通项公式，故A错误； 数列与数列的顺序不一样，所以不是同一数列，故B错误； 数列的一个通项公式为，故C错误； 数列，，2，，的第项为， 所以，故D正确. 故选：D. 二、填空题 6．在数列中，若，，则_________. 【答案】8 【分析】利用数列的递推式依次求得即可得解. 【详解】因为，， 所以，. 故答案为：. 7．数列的通项公式，则________. 【答案】 【分析】把代入到通项公式，求解即可. 【详解】当时，. 故答案为：. 8．在数列，中，是它的第______项． 【答案】 【分析】将代入通项公式中，求出的值即可. 【详解】已知数列， 则，即， 解得. 所以是它的第项. 故答案为：. 9．已知数列的前项和，则________． 【答案】 【分析】根据求值即可. 【详解】已知数列的前项和， 则， ， 所以， 故答案为：. 10．已知数列的前n项和为，则_________________. 【答案】 【分析】根据题意结合数列前n项和与的关系即可得解. 【详解】数列的前n项和为， ， 故答案为：. 三、解答题 11．已知数列0，求第项和第项. 【答案】 【分析】由题意可得数列的通项公式，将分别代入求解即可. 【详解】由题意可得数列的通项公式，则 第项为：当时，， 第项为：当时，. 12．已知数列通项公式，求，，. 【答案】，，. 【分析】根据数列的概念，代入到通项公式，即可得到. 【详解】在通项公式中依次取，直接计算即可得出答案． ， ， . 【考点2 数列的通项公式、递推公式】 1．函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 2．通项公式 (1)如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． (2) 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 3．数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 4．常见数列的通项 (1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n； (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n； (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1； (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n； (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n； (6)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1. 5．数列前n项和Sn与an的关系 (1) 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2) an＝ 【即时训练】 一、单选题 1．若数列是递减数列，则其通项公式可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性判断数列的单调性即可. 因为函数是增函数，所以数列是递增数列； 因为函数是正实数集上的增函数，所以数列是递增数列； 因为函数是减函数，所以数列是递减数列； 因为函数是正实数集上的增函数，所以数列是递增数列； 故选：C 2．数列，，，，，…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列特征以及选项分析求解即可. 【详解】由题可知，数列，，，，，…， 每项的分母是项数的平方，奇数项为负， 故可得数列的一个通项公式为. 故选：A． 3．已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，代入计算即可. 【详解】依题意有， 因为，， 因此. 故选：C. 4．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察数列将数列看成数列1，与数列对应项相乘得到，再由此写出通项公式即可. 【详解】数列， 可看成数列1，与数列对应项相乘得到， 而数列的一个通项公式为， 数列的一个通项公式为， 故数列的一个通项公式为. 故选：B. 5．数列的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察所给数列，寻找与项数的关系，即可得到通项公式. 【详解】因为数列各项正、负交替，故可用来调节， 又因为， 所以通项公式为. 故选：. 二、填空题 6．数列的一个通项公式为__________． 【答案】 【分析】观察给出的数列发现规律，写出通项公式即可. 【详解】由数列可得，每项分子都为，分母为项数的平方， 故数列的一个通项公式为. 故答案为：. 7．已知数列的前项和，则其通项公式为__________. 【答案】 【分析】根据题意结合与的关系即可求解. 【详解】数列的前项和， 当时，， 当时， ， ， 故答案为：. 8．，，，，…一个通项公式为________________ 【答案】 【分析】由观察法求数列的通项公式即可得解. 【详解】观察数列可知分母以项数与项数加的乘积的形式,且奇数项为负,偶数项为正. 所以通项公式为. 故答案为:. 9．数列的一个通项公式______________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据数列各项的特征可得数列的一个通项公式. 【详解】数列，即， 则数列的一个通项公式. 故答案为：（答案不唯一）. 10．按规律填空 （1）1，3，5，7，________，11， （2）2，4，8，________，32， 【答案】 9 16 【分析】观察题中的规律即可得解. 【详解】经过观察可得（1）1，3，5，7，9，11； （2）2，4，8，16，32. 故答案为：9；16. 三、解答题 11．设数列的前项和为，求通项公式． 【答案】 【分析】数列中从第二项开始由和的关系可得数列通项公式，另外再考虑数列首项值是否符合即可. 【详解】解：， 当时，， 当时，， 又符合公式， ． 12．写出下列数列的一个通项公式． (1) (2) (3)0，，，，…； (4)1，11，111，1 111，…. 【答案】(1)； (2); (3); (4). 【分析】（1）将给定的5项都加1即为项数的平方,即可写出一个通项； （2）所给5项正负相间，其绝对值为前5个正奇数，由此即可写出一个通项； （3）分母为项数的平方加1，观察即可写出一个通项； （4）把所给4项变形，并用10的整数次幂减去1的形式表示出来，观察即可写出一个通项. 【详解】（1）观察数列中的数，可以看到所以它的一个通项公式是； （2）数列各项的绝对值为是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为； （3）因为所以数列的一个通项公式为； （4）原数列的各项可变为，易知数列9，99，999，9 999，…，的一个通项公式为，所以原数列的一个通项公式为． 1．（2025·内蒙古·真题T08）已知数列是项数相同的等差数列，若，则数列的第25项为（ ） A. 15 B. 50 C. 100 D. 1250 【答案】B 【解析】 【分析】先证明为等差数列，再由等差数列的通项求解即可. 【详解】因为数列是项数相同的等差数列， 设的公差为，的公差为， 则， 即是常数，故数列为等差数列， 因为，所以数列公差为， 所以数列的第25项为. 故选：B. 2.（2026·内蒙古·真题T20）等差数列中，．若正项等比数列满足，，试判断512是数列的第几项． 【答案】 第10项 【解析】 【分析】先通过等差数列的前 项和公式与通项公式列方程组求首项和公差，得到等比数列的首项和第三项，再求等比数列的公比与通项，最后解方程确定512对应的项数即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为 ，， 根据等差数列前 项和公式，由可得：， 化简得 ①， 根据等差数列通项公式，由可得：②， 联立①②，用②减①得，解得，代入①得 所以，， 即正项等比数列中，， 设的公比为， 根据等比数列通项公式可得，代入得， 解得（负根不符合正项要求，舍去）， 因此的通项公式为， 令，即，可得，解得， 故512是数列的第10项． 3．（2025·内蒙古·真题T21）已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合等差数列的定义及通项公式即可得解. （）根据题意结合等比数列的定义及前项和公式即可得解. 【小问1详解】 数列满足， 所以该数列为公差为的等差数列， 前三项和为12，则， 解得， 所以， 则数列的通项公式为. 小问2详解】 数列满足， 则，， 所以该数列为等比数列，且首项为，公比为， 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题16 数列的概念与通项公式 ( 【复习目标】 1. 理解 数列的概念，会判断数列的增减性、会求一般数列的通项公式 . 2. 掌握已知 s n 求 a n 方法 . ) 【考点1 数列有关的概念】 1．数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{an}． 2．数列的分类 (1)数列按项数是有限还是无限来分，分为有穷数列、无穷数列. (2)按项的增减规律分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列． 递增数列⇔an＋1＞an；递减数列⇔an＋1＜an； 常数列⇔an＋1 ＝an. 递增数列与递减数列统称为单调数列． 【即时训练】 一、单选题 1．已知，则数列的图像是（    ） A．一条直线 B．一条抛物线 C．一个圆 D．一群孤立的点 2．已知数列则第10项是（   ） A． B． C． D．10 3．若数列的通项公式为，则（   ） A．36 B．30 C． D． 4．已知数列1，3，6，10，x，21，28，其中x的值为（    ） A．12 B．15 C．17 D．19 5．下列各选项中说法正确的是（    ） A．数列都有通项公式 B．数列与数列是同一数列 C．数列的一个通项公式为 D．4是数列，，2，，的第项 二、填空题 6．在数列中，若，，则_________. 7．数列的通项公式，则________. 8．在数列，中，是它的第______项． 9．已知数列的前项和，则________． 10．已知数列的前n项和为，则_________________. 三、解答题 11．已知数列0，求第项和第项. 12．已知数列通项公式，求，，. 【考点2 数列的通项公式、递推公式】 1．函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 2．通项公式 (1)如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． (2) 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 3．数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 4．常见数列的通项 (1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n； (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n； (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1； (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n； (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n； (6)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1. 5．数列前n项和Sn与an的关系 (1) 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2) an＝ 【即时训练】 一、单选题 1．若数列是递减数列，则其通项公式可能是（ ） A． B． C． D． 2．数列，，，，，…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 5．数列的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．数列的一个通项公式为__________． 7．已知数列的前项和，则其通项公式为__________. 8．，，，，…一个通项公式为________________ 9．数列的一个通项公式______________． 10．按规律填空 （1）1，3，5，7，________，11， （2）2，4，8，________，32， 三、解答题 11．设数列的前项和为，求通项公式． 12．写出下列数列的一个通项公式． (1) (2) (3)0，，，，…； (4)1，11，111，1 111，…. 1．（2025·内蒙古·真题T08）已知数列是项数相同的等差数列，若，则数列的第25项为（ ） A. 15 B. 50 C. 100 D. 1250 2.（2026·内蒙古·真题T20）等差数列中，．若正项等比数列满足，，试判断512是数列的第几项． 3．（2025·内蒙古·真题T21）已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $