专题16 数列的概念及通项公式（练习）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以支架式教学为核心，通过挖空讲解、分层训练构建数列概念及通项公式从基础到综合的完整进阶体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础认知|单选8题|概念辨析（数列定义、分类）|从数列基本概念生成，建立“项-项数-通项”关联| |基本技能|填空14题|计算应用（求特定项、Sₙ推导aₙ）|通过前n项和与通项关系，强化符号意识与运算能力| |综合应用|解答8题|递推与归纳（递推公式求通项、判断项）|以递推关系为桥梁，发展逻辑推理与模型意识| |真题对接|3题|中考真题（通项公式综合应用）|衔接考点，实现知识迁移与应用能力提升|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题16 数列的概念及通项公式 一、单选题 1．已知数列的通项公式为，则是这个数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 2．已知数列满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．下列有关数列的说法正确的是（ ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，，与数列，，是同一个数列 C．数列1，3，5，7可表示为 D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 4．数列前项和，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．若为数列的前n项和，且，则等于（    ） A． B． C． D．12 6．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A．11 B．16 C．25 D．31 7．在数列中， ，，则等于（    ）. A．0 B． C． D． 8．已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．数列的第5项是__________. 10．若数列的前项和，则它的通项公式______________． 11．在数列中，若，，则________． 12．斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，观察该数列特征，试写出______. 13．已知数列的前项和，则为_________. 14．数列 共有_____项 ,其中第一项（首项）为____ 三、解答题 15．已知数列满足，其中为正整数． (1)写出数列的前五项； (2)求通项公式． 16．若数列满足，，求的通项公式. 17．已知数列的通项公式是. (1)写出这个数列的第8项和第20项； (2)323是不是这个数列中的项?如果是，它是第几项? 18．写出下列数列的一个通项公式. (1)； (2)9，99，999，9999，…； (3)，，，，… 一、单选题 1．已知数列，则是这个数列的（ ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 2．已知数列的通项公式是，则其第3，4项分别是（   ） A．9，14 B．9，18 C．7，18 D．7，14 3．下列说法正确的是（    ） A．数列与是相同的 B．数列可以表示为 C．数列与是相同的数列 D．数列的第项为 4．数列中最大的项是（    ） A．107 B．108 C． D．109 5．下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（    ） A．1，2，3，…，20 B．-1，-2，-3，…，-n，… C．1，2，3，2，5，6，… D．-1，0，1，2，…，100，… 6．已知数列，则数列的第项为（　　） A． B． C． D． 7．已知数列中，，，则数列前项的和（    ） A． B． C． D． 8．数列，1，，1，，1……的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．是数列的第_________项. 10．已知数列满足，且，则________． 11．已知数列的前项和，则_____. 12．数列的一个通项公式是___________. 13．已知数列的前项和为，且，则___________. 14．已知数列，，，，…，则0.95是该数列的第______项. 三、解答题 15．已知数列通项，求. 16．判断63是不是数列中的项，如果是，是第几项？ 17．已知数列的前n项和.求： (1)第二项； (2)通项公式. 18．已知数列的前项和公式为.求数列的通项公式. 1．（2025·内蒙古·真题T08）已知数列是项数相同的等差数列，若，则数列的第25项为（ ） A. 15 B. 50 C. 100 D. 1250 2.（2026·内蒙古·真题T20）等差数列中，．若正项等比数列满足，，试判断512是数列的第几项． 3．（2025·内蒙古·真题T21）已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题16 数列的概念及通项公式 一、单选题 1．已知数列的通项公式为，则是这个数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】C 【分析】将代入通项公式求出即可. 【详解】已知数列的通项公式为， 则，即，解得. 所以是这个数列的第8项. 故选：C. 2．已知数列满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推公式依次求解数列的第三项，第四项和第五项，即可求解的值. 【详解】由可得， 因为，， 所以， ， ， 所以. 故选：C. 3．下列有关数列的说法正确的是（ ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，，与数列，，是同一个数列 C．数列1，3，5，7可表示为 D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 【答案】D 【详解】例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3，故A错误； 数列，0，1与数列0，1，中项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误； 是一个集合，故C错误；根据数列的分类，数列2，5，2，5，…，2，5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列，D正确.故选：D. 4．数列前项和，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用数列与的关系可求. 【详解】数列前项和， 所以，， 即， 故选：B. 5．若为数列的前n项和，且，则等于（    ） A． B． C． D．12 【答案】D 【分析】根据项数和前n项和的关系即可求解. 【详解】， . 故选:D. 6．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A．11 B．16 C．25 D．31 【答案】D 【分析】根据已知条件，列举出数列与的公共项，即可求解. 【详解】根据题意可知，中的项为3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23… 中的项为4，7，10，13，16，19，22，25… 所以，与的公共项从小到大排列分别是7，13，19，25，31… 故数列. 故选：D. 7．在数列中， ，，则等于（    ）. A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】在递推公式中，令，可依次计算出，，，的值. 【详解】因为，， 所以， ， ， . 故选：D 8．已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察数列的项的特点，找到各项之间的规律，即可写出一个通项公式，结合选项，即得答案. 【详解】观察可知，该数列的前面整数部分为奇数，后面分数部分正负相间，首项的分数部分为负， 分母为，分子为， 故该数列的一个通项公式可以为， 故选：D 二、填空题 9．数列的第5项是__________. 【答案】 【分析】把代入数列即可解得. 【详解】解：依题意得，. 故答案为： 10．若数列的前项和，则它的通项公式______________． 【答案】 【分析】利用可求. 【详解】由题知，， 当时，， 当时，， 将代入，，满足， 所以. 故答案为：. 11．在数列中，若，，则________． 【答案】7 【分析】根据数列的递推关系即可求解. 【详解】由，可得，. 故答案为：7. 12．斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，观察该数列特征，试写出______. 【答案】 【分析】观察该数列特征，先写出该数列的第项，再计算即可求解. 【详解】数列，，，，，，，…，从三项起，每一项均为前两项之和， 所以该数列的第项为，所以. 故答案为：. 13．已知数列的前项和，则为_________. 【答案】16 【分析】根据即可求解. 【详解】, 故答案为：16 14．数列 共有_____项 ,其中第一项（首项）为____ 【答案】 8 【分析】由数列的概念直接可得出结果. 【详解】数列， 通过观察可知：此数列一共有8项，第1项为. 故答案为：8； 三、解答题 15．已知数列满足，其中为正整数． (1)写出数列的前五项； (2)求通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推关系即可逐一代入求解， （2）根据，即可求解. 【详解】（1）由可得：当， 当， 当， 当， 当 （2）当时，， 所以， 当，不符合上式， 所以 16．若数列满足，，求的通项公式. 【答案】 【详解】因为，， 所以， 故； 17．已知数列的通项公式是. (1)写出这个数列的第8项和第20项； (2)323是不是这个数列中的项?如果是，它是第几项? 【答案】(1)第8项为80，第20项为440. (2)323是数列中的第17项. 【分析】（1）根据数列的通项公式赋值即可求解. （2）根据数列的通项公式即可求解. 【详解】（1）令，可得数列的第8项； 令，可得数列的第20项， 所以数列的第8项为80，第20项为440. （2）设323是数列的第n项， 将323代入数列的通项公式中，得， 即， 解得或（舍）， 所以323是数列中的第17项. 18．写出下列数列的一个通项公式. (1)； (2)9，99，999，9999，…； (3)，，，，… 【答案】(1) (2) (3). 【分析】观察数列，找出规律，即可求出通项公式. 【详解】（1）数列的项，有的是分数，有的是整数， 可将各项都统一成分数再观察：， 所以它的一个通项公式是. （2）各项加1后，原数列变为10，100，1000，10000，…，此数列的通项公式为， 可得原数列的通项公式为. （3）数列中的每一项都由三部分组成，分母是相应项数的2倍减l， 分子的前一部分是相应项数加1的平方，分子的后一部分是减去相应项数， 所以数列的一个通项公式为. 一、单选题 1．已知数列，则是这个数列的（ ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】C 【分析】由数列的通项公式即可求是这个数列的第几项. 【详解】由题意得，数列的通项公式为，令，解得. 故选：C. 2．已知数列的通项公式是，则其第3，4项分别是（   ） A．9，14 B．9，18 C．7，18 D．7，14 【答案】C 【分析】直接代入求值易得答案. 【详解】因为数列的通项公式是， 所以， . 故选：C. 3．下列说法正确的是（    ） A．数列与是相同的 B．数列可以表示为 C．数列与是相同的数列 D．数列的第项为 【答案】D 【分析】运用数列的定义、数列及项的表示方法、由通项写出数列的项可判断各个选项. 【详解】对于A项，数列与是不同的，表示数列，而表示数列中的第项，故A项错误； 对于B项，是一个集合，故B项错误； 对于C项，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故C项错误； 对于D项，，故D项正确. 故选：D. 4．数列中最大的项是（    ） A．107 B．108 C． D．109 【答案】B 【分析】配方后，利用二次函数知识可求出结果. 【详解】因为 ， 所以当时，取得最大值. 故选：B 5．下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（    ） A．1，2，3，…，20 B．-1，-2，-3，…，-n，… C．1，2，3，2，5，6，… D．-1，0，1，2，…，100，… 【答案】D 【分析】直接判断数列的单调性和是否无穷即可. 【详解】由递增数列和无穷数列的定义知D项正确. 答案：D 6．已知数列，则数列的第项为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，代入数列的通项公式即可求解. 【详解】数列，所以数列的第项为. 故选：B. 7．已知数列中，，，则数列前项的和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的递推公式求出数列的奇数项都等于，偶数项都等于，进而求解. 【详解】依题意，， 则，两式相减得到，又， ​​​​​​所以数列的奇数项都等于，偶数项都等于， 所以， 故选：B． 8．数列，1，，1，，1……的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用观察法求数列通项公式即可 【详解】由，1，，1，，1……，可知数列奇数项为，偶数项为， 所以，，，， 所以； 故选：C. 二、填空题 9．是数列的第_________项. 【答案】20 【分析】直接根据数列的通项公式代入求解即可. 【详解】令，化简得出， 即，，解得， 因此，是数列的第项. 故答案为. 10．已知数列满足，且，则________． 【答案】 【分析】根据数列的递推关系式，代数求解即可. 【详解】因为数列满足，且， 所以， 所以， 故答案为：. 11．已知数列的前项和，则_____. 【答案】30 【分析】利用数列前n项和的性质，通过计算. 【详解】因为数列的前项和， 所以，. 又，所以. 故答案为：30 12．数列的一个通项公式是___________. 【答案】 【分析】将题干里的数列表示成根式的形式即可得解. 【详解】因为，，，， 所以根号里面的数是以2为首项的连续偶数，所以， 故答案为：. 13．已知数列的前项和为，且，则___________. 【答案】4 【分析】根据求出的值即可得解. 【详解】因为，当时，，解得， 当时，，解得. 故答案为：． 14．已知数列，，，，…，则0.95是该数列的第______项. 【答案】19 【分析】根据观察法得到数列的通项公式，进而求解即可. 【详解】因为数列， 所以， 令，可化为，则， 则是该数列的第19项， 故答案为：19. 三、解答题 15．已知数列通项，求. 【答案】 【分析】把分别代入通项公式即可求解. 【详解】已知数列通项， 则，，. 16．判断63是不是数列中的项，如果是，是第几项？ 【答案】63是数列中的第项. 【分析】63代入通项公式求得是正整数即可判断是数列中的项. 【详解】由可得：（舍去）， 则63是数列中的第项. 17．已知数列的前n项和.求： (1)第二项； (2)通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别令.即可求出的值. （2）由与的关系求解数列通项公式,，再将代入验证即可得到通项公式. 【详解】（1）由. 当时，. 当时，. 所以. （2）当时，有. 当时，. 所以. 18．已知数列的前项和公式为.求数列的通项公式. 【答案】 【分析】根据前项和表达式，通过分类讨论，当时，当时，利用，即可求出数列的通项公式. 【详解】解：当时， 因为，所以， 当时， ， 所以数列的通项公式是. 1．（2025·内蒙古·真题T08）已知数列是项数相同的等差数列，若，则数列的第25项为（ ） A. 15 B. 50 C. 100 D. 1250 【答案】B 【解析】 【分析】先证明为等差数列，再由等差数列的通项求解即可. 【详解】因为数列是项数相同的等差数列， 设的公差为，的公差为， 则， 即是常数，故数列为等差数列， 因为，所以数列公差为， 所以数列的第25项为. 故选：B. 2.（2026·内蒙古·真题T20）等差数列中，．若正项等比数列满足，，试判断512是数列的第几项． 【答案】 第10项 【解析】 【分析】先通过等差数列的前 项和公式与通项公式列方程组求首项和公差，得到等比数列的首项和第三项，再求等比数列的公比与通项，最后解方程确定512对应的项数即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为 ，， 根据等差数列前 项和公式，由可得：， 化简得 ①， 根据等差数列通项公式，由可得：②， 联立①②，用②减①得，解得，代入①得 所以，， 即正项等比数列中，， 设的公比为， 根据等比数列通项公式可得，代入得， 解得（负根不符合正项要求，舍去）， 因此的通项公式为， 令，即，可得，解得， 故512是数列的第10项． 3．（2025·内蒙古·真题T21）已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合等差数列的定义及通项公式即可得解. （）根据题意结合等比数列的定义及前项和公式即可得解. 【小问1详解】 数列满足， 所以该数列为公差为的等差数列， 前三项和为12，则， 解得， 所以， 则数列的通项公式为. 小问2详解】 数列满足， 则，， 所以该数列为等比数列，且首项为，公比为， 则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $