专题15 解三角形（练习）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以内蒙古对口招生考情为导向，采用支架式教学，通过分层训练构建解三角形（正弦定理、余弦定理）从基础到综合的完整进阶路径，培养推理能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正弦定理|单选10/填空19/解答4|聚焦边边角、角角边计算及多解问题|从定理直接应用到面积计算，构建“已知量→定理选择→结果验证”推理链条| |余弦定理|单选10/填空10/解答3|侧重三边关系、中线问题及形状判断|衔接正弦定理，形成“边化角→角化边”双向转化逻辑| |真题应用|7道历年真题|结合四边形测量等实际情境|实现从知识到解决真实问题的应用迁移|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题15 解三角形 【考点1 正弦定理】 一、单选题 1．在中，，，，则的面积是（    ） A． B． C．或 D． 2．在三角形中，，，，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．在中,,,,则（    ） A． B． C．或 D．或 4．已知中，，，，那么角等于（    ） A．或 B． C． D． 5．在中，，则（    ） A． B． C．3 D．2 二、填空题 6．在中，已知，则___________． 7．在中，已知，，，则________________ 8．在中，，则________. 9．中，，，所对的边分别为，，，且满足，则________. 10．在中，若，，，三角形有唯一解，则整数_______． 三、解答题 11．在中，是的内角的对边，. (1)求内角的度数； (2)求的面积. 12．在中，. (1)求的值 (2)当求的值 【考点2 余弦定理】 一、单选题 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_________.（   ） A． B． C． D． 2．在中，若，则（    ） A．或 B． C． D．或 3．在中，已知，则为（    ）. A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．在中，，，边上的中线，则面积S为（   ） A． B． C． D． 5．在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 二、填空题 6．在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则值为_________． 7．在中，，则最大角的度数为_______. 8．在中，已知，，，则__________． 9．在中，边a， b， c满足，则_______ . 10．在中，若，，，则b的值是______． 【考点1 正弦定理】 一、单选题 1．在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．在中，已知角，角，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．记△ABC的内角A，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．在△ABC中，内角的对边分别为，若，则△ABC是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 5．在中，已知，，，则等于（   ） A． B．2 C． D． 二、填空题 6．中，已知，则的度数为______． 7．在中，若，则______. 8．在中，，，，则等于____. 9．为了测量水田两侧两点间的距离(如图所示)，某观测者在的同侧选定一点，测得，则两点间的距离为________. 10．设的内角，，的对边分别是，，，若，，，则__________. 三、解答题 11．在中，内角、、的对边分别是、、，且. (1)求角的大小； (2)若，，求. 12．已知的内角所对的边分别是，，，，，． (1)求的值； (2)求的面积． 【考点2 余弦定理】 一、单选题 1．在中，的面积为，，，则（    ） A． B． C．4 D． 2．在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4．在中，已知，则（　　） A． B． C． D． 5．在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若，则（    ） A．14 B．6 C． D． 二、填空题 6．已知 的三个内角分别为，若 ，则的值是____． 7．在中，已知，则______________. 8．已知三角形的三边长分别为，，，则该三角形的形状_________． 9．在中，内角的对边分别为，若的面积为，则________________，________________． 10．在中，内角，，的对边分别为，，．若，，，则______，_____． 三、解答题 11．已知的内角的对应边，. (1)求A； (2)若的面积为，求周长. 12．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．求角A的大小； 1.（2026·内蒙古·真题T21）某单位有一块如图所示的四边形空地 ，测得，，，，． （1）求的值； （2）若在这一空地上种植草皮，每平方米成本为 元，需要投入多少资金？ 2.（2025·内蒙古·真题T19）在中，. （1）求的最大内角的度数； （2）求的值. 3.（2024·内蒙古·真题T19）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. （1）求； （2）求. 4.（2023·内蒙古·真题T14）在中，，则______. 5.（2023·内蒙古·真题T19）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与平行． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 6.（2022·内蒙古·真题T13） 在中，若，那么______. 7.（2022·内蒙古·真题T19）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三内角A，C，B成等差数列，.若向量，共线.求a，b的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题15 解三角形 【考点1 正弦定理】 1．在中，，，，则的面积是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据三角形面积公式求解. 【详解】. 故选：A. 2．在三角形中，，，，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】套用正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理可得：， 则. 故选：C. 3．在中,,,,则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由正弦定理即可得解. 【详解】由正弦定理可得即. 解得. 为的内角. . . . 故选:. 4．已知中，，，，那么角等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理，结合特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】因为在中，，，， 所以由正弦定理，得， 又，则，所以，则. 故选：C. 5．在中，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用正弦定理求得即可. 【详解】解：中，. 由正弦定理得,所以. . 故选：B 二、填空题 6．在中，已知，则___________． 【答案】/ 【分析】首先根据三角形内角和为求出，然后根据正弦定理求出即可. 【详解】因为， 所以， 根据正弦定理， 即， 可得. 故答案为：. 7．在中，已知，，，则________________ 【答案】/ 【分析】利用正弦定理，即可求解. 【详解】由题意知，，， 由正弦定理得， 即， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 8．在中，，则________. 【答案】12 【分析】根据正弦定理，代入数值求解. 【详解】因为在中，， 所以，解得. 故答案为：. 9．中，，，所对的边分别为，，，且满足，则________. 【答案】 【分析】由正弦定理进行边角互化，即可求解. 【详解】由结合正弦定理可得， 且，所以， 因为，故. 故答案为：. 10．在中，若，，，三角形有唯一解，则整数_______． 【答案】1或4 【分析】数形结合再根据三角形有唯一解的等价条件易得答案. 【详解】 如图：已知是边上的高，由三角形有唯一解的等价条件是或， 由，因为，所以， 又因为，根据唯一解的条件可知：或，解得或， 又因为为整数，，所以的值为1或4． 故答案为：1或4． 三、解答题 11．在中，是的内角的对边，. (1)求内角的度数； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理，代入即可求解； （2）根据题意，结合三角形内角和，先求出角B，利用三角形面积公式，即可求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 所以， 所以或， 又因为时，不符合题意， 所以； （2）由（1）知，又， 所以， 因为 所以. 12．在中，. (1)求的值 (2)当求的值 【答案】(1). (2). 【分析】（）利用二倍角公式即可得解. （）根据题意结合正弦定理即可得解. 【详解】（1）中，，则，解得， 因为，所以. （2）在中， 由正弦定理可得，，解得， 所以. 【考点2 余弦定理】 一、单选题 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_________.（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合余弦定理即可得解. 【详解】角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， 设， 则有， 故选：. 2．在中，若，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意结合余弦定理即可求解. 【详解】由题意得，因为，即. 由余弦定理可得，. 解得，因为在中，，所以. 故选：C. 3．在中，已知，则为（    ）. A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】先找出三角形的最大边，再由最大边求出对应角的余弦值判断即可. 【详解】因为在中，已知， 又因为， 则， 因为，又因为，所以， 所以是钝角三角形. 故选：C. 4．在中，，，边上的中线，则面积S为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，利用余弦定理求出∠ACE的余弦值，进而求出正弦值，利用面积公式求出答案. 【详解】延长AD到点E使DE=AD，连接CE， 则因为边上的中线， 所以△ABD≌△ECD 所以，， 面积等于的面积 在三角形ACE中，由余弦定理得： ， 则 所以 故选：C 5．在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据余弦定理把题中条件化为边的关系式，即可判定. 【详解】根据余弦定理知， ， 所以，则, 故三角形为直角三角形， 故选： 二、填空题 6．在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则值为_________． 【答案】或 【分析】利用余弦定理求解. 【详解】由余弦定理可得， 即，即，解得或， 故答案为：或. 7．在中，，则最大角的度数为_______. 【答案】 【分析】根据正弦定理以及余弦定理求解即可. 【详解】角最大． 由余弦定理，得，即， ． 的最大内角为． 故答案为：. 8．在中，已知，，，则__________． 【答案】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为，，， 由余弦定理， 得， 即， 解得或. 因为在中，， 所以. 故答案为：. 9．在中，边a， b， c满足，则_______ . 【答案】 【分析】根据余弦定理结合已知条件得，即，即可求解. 【详解】由余弦定理可知，， 化简得，即， 又，解得. 故答案为：. 10．在中，若，，，则b的值是______． 【答案】 【分析】先由三角形面积公式求解a的值，再由余弦定理即可求解. 【详解】由中，，，， 又由，故，解得， 由余弦定理, 可得. 故答案为：. 【考点1 正弦定理】 一、单选题 1．在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】∵在中，，，， 而根据正弦定理可知，， 代入得到，即. 故选：C. 2．在中，已知角，角，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】在中，已知角，角， 由正弦定理，， 即. 故选：B. 3．记△ABC的内角A，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】根据正弦定理有，得. 故选：D. 4．在△ABC中，内角的对边分别为，若，则△ABC是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】根据正弦定理以及二倍角公式求解即可. 【详解】由正弦定理 （为三角形外接圆的半径），∴. 又∵，∴. ∴. ∴①，即. ②，即. 故选：D. 5．在中，已知，，，则等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理求解. 【详解】由正弦定理知，∴. 故选：B. 二、填空题 6．中，已知，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用正弦定理求解. 【详解】∵， ∴由正弦定理得，， ∵，∴， ∴则的度数为. 故答案为：. 7．在中，若，则______. 【答案】 【分析】根据正弦定理化简求值即可. 【详解】在中，若， 由正弦定理得，即， 所以， 故答案为：. 8．在中，，，，则等于____. 【答案】或 【分析】根据题意，结合正弦定理，即可求解. 【详解】因为在中，，，， 所以，即， 即，所以， 因为，所以或. 故答案为：或. 9．为了测量水田两侧两点间的距离(如图所示)，某观测者在的同侧选定一点，测得，则两点间的距离为________. 【答案】 【分析】根据正弦定理求得两点间的距离. 【详解】由正弦定理得， 所以 . 故答案为： 10．设的内角，，的对边分别是，，，若，，，则__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理计算即可. 【详解】因为，，所以， 由，得，解得. 故答案为： 三、解答题 11．在中，内角、、的对边分别是、、，且. (1)求角的大小； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理整理化简即可求解； （2）由正弦定理及三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得：， 由题知，则，所以， 所以，， 又，所以； （2）由正弦定理得 把代入得所以 所以 12．已知的内角所对的边分别是，，，，，． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求得，再利用可求解； （2）由正弦定理可得，再利用可求解. 【详解】（1）在中， ， ； （2）由正弦定理得 ，即， 解得. . 【考点2 余弦定理】 一、单选题 1．在中，的面积为，，，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】先用三角形面积公式求出，然后整体代入到余弦定理公式中即可求解. 【详解】∵的面积为，， ， . ， . 故选：D 2．在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理求出，再由正弦定理即可求得结果. 【详解】已知中，， 所以， 所以， 利用正弦定理，得， 所以，因为， 所以. 故选：A. 3．在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用余弦定理判断三角形形状即可. 【详解】由余弦定理可知， 因为， 所以， 整理得，即为直角， ∴是直角三角形. 故选：C. 4．在中，已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将化简，再利用余弦定理可求. 【详解】， 则， 由余弦定理可知， 因为，则； 故选：C. 5．在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若，则（    ） A．14 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理可解出的值，再应用余弦定理即可求的值. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得， 所以有， 因为， 所以解得， 由余弦定理可得， ， 所以. 故选:D. 二、填空题 6．已知 的三个内角分别为，若 ，则的值是____． 【答案】 【分析】根据正弦定理边角互化及余弦定理求解即可. 【详解】因为， 根据正弦定理可得，即， 由余弦定理可得， 又因为，所以的值是. 故答案为：. 7．在中，已知，则______________. 【答案】 【分析】由已知，根据余弦定理可求解. 【详解】由已知，根据余弦定理可得 ， 在中，， 所以. 故答案为： 8．已知三角形的三边长分别为，，，则该三角形的形状_________． 【答案】钝角三角形 【分析】根据余弦定理求出最大角的余弦值，即可判断． 【详解】已知三角形三边长分别是，，，则边长为的边对的角最大， 设三角形中最大角为，则， 因为，所以，所以该三角形状是钝角三角形. 故答案为：钝角三角形. 9．在中，内角的对边分别为，若的面积为，则________________，________________． 【答案】 3 2 【分析】由余弦定理结合已知得，再由三角形的面积可得，解方程组可求得结果. 【详解】由余弦定理得， 由，得①， 所以，得②，解①②得． 故答案为：3，2 10．在中，内角，，的对边分别为，，．若，，，则______，_____． 【答案】 5 【分析】由余弦定理求出的值；由求出. 【详解】由余弦定理可得，即， 故，解得（舍）或， 因为，所以，又，故． 故答案为：；. 三、解答题 11．已知的内角的对应边，. (1)求A； (2)若的面积为，求周长. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据正弦定理边化角结合诱导公式以及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）根据三角形面积公式和余弦定理结合完全平方公式即可求解. 【详解】（1）已知的内角的对边分别为， 且， 则， 又因为， 即， 即，又， 即，所以， 即，又， 即，即； （2）由的面积为， 则，则有，即，又， 结合可得：， 即，即， 即，故的周长为12. 12．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．求角A的大小； 【答案】 【分析】由已知变形为，再利用余弦定理可求解. 【详解】由，可得， 所以. 因为，所以. 1.（2026·内蒙古·真题T21）某单位有一块如图所示的四边形空地 ，测得，，，，． （1）求的值； （2）若在这一空地上种植草皮，每平方米成本为 元，需要投入多少资金？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出的长，再由余弦定理求出的值，最后由二倍角的余弦公式求值即可. （2）根据三角形的面积公式求值即可. 【小问1详解】 连接，因为， ，， 所以， 因为， 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，，， 所以，则， 所以，， 所以，因为每平方米成本为 元， 所以需要投入元. 2.（2025·内蒙古·真题T19）在中，. （1）求的最大内角的度数； （2）求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据三角形的性质得出角最大，结合余弦定理即可得解. （）根据题意结合两角和的正切公式即可得解. 【小问1详解】 在中，， 因为边最大，所以角最大， 则， 因为，所以. 【小问2详解】 ，则， 则. 3.（2024·内蒙古·真题T19）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的关系式和正弦定理即可得解； （2）由二倍角公式和两角和的余弦公式即可得解. 【小问1详解】 由，且， 得， 由正弦定理， 即. 【小问2详解】 ， ， 所以 . 4.（2023·内蒙古·真题T14）在中，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为. 所以. 所以. 因为. 所以. 故答案为：. 5.（2023·内蒙古·真题T19）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与平行． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行和正弦定理边角互化求解角度即可. （2）由三角形面积公式直接求解即可. 【小问1详解】 因为向量与平行， 所以有，即， 由正弦定理得, 又，， 从而, 由于， 所以. 【小问2详解】 因为，， 由（1）知，. 所以三角形的面积为. 6.（2022·内蒙古·真题T13） 在中，若，那么______. 【答案】## 【解析】 【分析】先由正弦定理边角互化求解边的关系，再由余弦定理求解的值即可. 【详解】因为在中，若， 所以由正弦定理可得， 令，则， 由余弦定理可得. 故答案为：. 7.（2022·内蒙古·真题T19）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三内角A，C，B成等差数列，.若向量，共线.求a，b的值. 【答案】 【解析】 【分析】利用三个内角成等差数列，可求得角,再利用两向量共线，可求得角,然后利用正弦定理求解. 【详解】在中，三内角成等差数列，所以有, 又因三角形内角和,所以; 因为共线，所以, 又因, 即,，所以,; 由正弦定理可得， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $