专题15 解三角形（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题15 解三角形 ( 【复习目标】 1.掌握余弦定理及其应用. 2.掌握正弦定理及其应用. 3.会根据已知条件求三角形的面积，能综合运用三角函数知识解决实际问题。 ) 【考点1 正弦定理】 1．三角形常用面积公式 (1) S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2) S＝absin C＝acsin B＝bcsin A． 2．常用公式：A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)， sinA＝sin(B＋C)；cosA＝－cos(B＋C)；tanA＝－tan(B＋C) 4．正弦定理公式：＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径) 5．适用范围：两角及一边 6．变形形式： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；（边化角） (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝（角化边） 【即时训练】 一、单选题 1．中，边长，，角，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式求解． 【详解】已知边长，，角， 则的面积为， 故选：B. 2．在中，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由三角形的面积公式结合可求出，即可求出角. 【详解】在中，若，且， 则，故， 又因为为三角形的内角，故或. 故选：D. 3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】 因为a＝4，b＝4，B＝60°，所以由正弦定理有＝，所以sin A＝＝＝.因为b＞a，所以60°＝B＞A＞0°，所以A＝30°. 4．在中，角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合正弦定理，即可求解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以. 故选：D. 5．设的内角的对边分别为.若，，，则面积的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理可求解角B，再由三角形面积公式求解即可. 【详解】因为，，， 所以由正弦定理可得，，解得， 因为，所以， 所以. 所以. 故选：C. 二、填空题 6．若，，则__________. 【答案】12 【分析】根据正弦定理，代入数值求出. 【详解】由正弦定理， 则有，解得：. 故答案为：. 7．在中，若，则A的值为________. 【答案】 【分析】根据正弦定理列方程求解即可. 【详解】已知， 由正弦定理，得， 得，因为三角形内角和为， 所以，得. 故答案为：. 8．在中，已知，，，则___________ 【答案】或 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理知：，即，解得， 且，所以或， 两解均满足. 故答案为：或. 9．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，则一定为_____三角形． 【答案】等腰 【分析】根据正弦定理边角互化即得. 【详解】因为， 由正弦定理可得，即， 故一定为等腰三角形. 故答案为：等腰. 10．在中，，，若三角形有两个解，则边的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据利用正弦定理，结合三角形有两个解的条件即可求解. 【详解】根据题意，，， 由正弦定理得：，则， 时，三角形只有一个解，故，则， 又，若，三角形有一个解， 故三角形有两个解的条件为， 解得：. 故答案为：. 三、解答题 11．在中，已知，，，求，. 【答案】， 【分析】根据三角形内角和求出角，利用正弦定理进行求解. 【详解】. 由正弦定理得：， ， 所以， 综上，，. 12．在中，角所对应边分别为，且，，，求： (1)的大小； (2)的面积． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）运用正弦定理求解即可. （2）分别讨论当或时的面积，运用面积公式计算即可. 【详解】（1）已知，，， ， ， 又， 所以或. （2）①当时，，为直角三角形， ， ②当时，, , 所以的面积为或. 【考点2 余弦定理】 1．余弦定理公式: a＝b＋c－2bc·cos A； cos A＝； b＝c＋a－2ca·cos B； cos B＝； c＝a＋b－2ab·cos C； cos C＝ 2．适用范围：两边及一角、三边 【即时训练】 一、单选题 1．若的两边，且，则边为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求解. 【详解】因为，即为直角三角形， 所以，所以. 故选：D. 2．在中，内角，，所对的边分别为，，，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过正弦定理求解的关系，再根据余弦定理进行计算. 【详解】因为由正弦定理得，所以， 又，所以. 故选：D. 3．在中，角的对边分别为，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】根据余弦定理，, 化简得，，所以或. 因为，所以. 故选：B. 4．已知三角形的三边长分别为则最大的角为多少（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由边角关系知边长为对应角最大，应用余弦定理求其大小. 【详解】由大边对大角知：边长为对应角最大，， 所以. 故选：C 5．在中，，，所对的边分别为，，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理和已知条件即可解得. 【详解】由题，， 由余弦定理， 在三角形中， 则. 故选：B. 二、填空题 6．在中，，，，则___________，_____________． 【答案】 / 【分析】利用正弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；利用余弦定理可得出关于的等式，结合可得出的值. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为、，则，所以，，则，故， 由余弦定理可得，即，，解得. 故答案为：；. 7．在中，，则角的大小为______________． 【答案】 【分析】由正弦定理可得，再由余弦定理可得的值，进而得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得，，即， 则由余弦定理可得，， 又为的内角，，则. 故答案为：. 8．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c且a：b：c=3：5：7，则___________. 【答案】/ 【分析】根据余弦定理推论即可计算. 【详解】， ∴设， . 故答案为：. 9．在，已知，，，则______． 【答案】/ 【分析】由余弦定理结合三角形的内角和即可得解. 【详解】由余弦定理，得 ， 又，∴. 故答案为：. 10．在中，已知，，，，则______. 【答案】 【分析】由余弦定理即可得解. 【详解】由题意可知 所以. 故答案为:. 三、解答题 11．在△ABC中，三个内角所对的边分别是，且. (1)求的值； (2)如果，求边c的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和的正弦公式的逆运用即可求解. （2）利用余弦定理求解求解. 【详解】（1）因为 所以. （2）因为. 所以由余弦定理，可得. 解得，即. 12．已知，是中，的对边，． (1)求a的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理列方程求解即可. （2）根据（1）的结果，运用余弦定理求值即可. 【详解】（1）已知， ， 即，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）可得，， 所以. 1.（2026·内蒙古·真题T21）某单位有一块如图所示的四边形空地 ，测得，，，，． （1）求的值； （2）若在这一空地上种植草皮，每平方米成本为 元，需要投入多少资金？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出的长，再由余弦定理求出的值，最后由二倍角的余弦公式求值即可. （2）根据三角形的面积公式求值即可. 【小问1详解】 连接，因为， ，， 所以， 因为， 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，，， 所以，则， 所以，， 所以，因为每平方米成本为 元， 所以需要投入元. 2.（2025·内蒙古·真题T19）在中，. （1）求的最大内角的度数； （2）求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据三角形的性质得出角最大，结合余弦定理即可得解. （）根据题意结合两角和的正切公式即可得解. 【小问1详解】 在中，， 因为边最大，所以角最大， 则， 因为，所以. 【小问2详解】 ，则， 则. 3.（2024·内蒙古·真题T19）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的关系式和正弦定理即可得解； （2）由二倍角公式和两角和的余弦公式即可得解. 【小问1详解】 由，且， 得， 由正弦定理， 即. 【小问2详解】 ， ， 所以 . 4.（2023·内蒙古·真题T14）在中，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为. 所以. 所以. 因为. 所以. 故答案为：. 5.（2023·内蒙古·真题T19）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与平行． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行和正弦定理边角互化求解角度即可. （2）由三角形面积公式直接求解即可. 【小问1详解】 因为向量与平行， 所以有，即， 由正弦定理得, 又，， 从而, 由于， 所以. 【小问2详解】 因为，， 由（1）知，. 所以三角形的面积为. 6.（2022·内蒙古·真题T13） 在中，若，那么______. 【答案】## 【解析】 【分析】先由正弦定理边角互化求解边的关系，再由余弦定理求解的值即可. 【详解】因为在中，若， 所以由正弦定理可得， 令，则， 由余弦定理可得. 故答案为：. 7.（2022·内蒙古·真题T19）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三内角A，C，B成等差数列，.若向量，共线.求a，b的值. 【答案】 【解析】 【分析】利用三个内角成等差数列，可求得角,再利用两向量共线，可求得角,然后利用正弦定理求解. 【详解】在中，三内角成等差数列，所以有, 又因三角形内角和,所以; 因为共线，所以, 又因, 即,，所以,; 由正弦定理可得， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题15 解三角形 ( 【复习目标】 1.掌握余弦定理及其应用. 2.掌握正弦定理及其应用. 3.会根据已知条件求三角形的面积，能综合运用三角函数知识解决实际问题。 ) 【考点1 正弦定理】 1．三角形常用面积公式 (1) S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2) S＝absin C＝acsin B＝bcsin A． 2．常用公式：A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)， sinA＝sin(B＋C)；cosA＝－cos(B＋C)；tanA＝－tan(B＋C) 4．正弦定理公式：＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径) 5．适用范围：两角及一边 6．变形形式： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；（边化角） (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝（角化边） 【即时训练】 一、单选题 1．中，边长，，角，则的面积为（　　） A． B． C． D． 2．在中，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则（    ） A． B．或 C． D．或 4．在中，角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 5．设的内角的对边分别为.若，，，则面积的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若，，则__________. 7．在中，若，则A的值为________. 8．在中，已知，，，则___________ 9．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，则一定为_____三角形． 10．在中，，，若三角形有两个解，则边的取值范围是__________． 三、解答题 11．在中，已知，，，求，. 12．在中，角所对应边分别为，且，，，求： (1)的大小； (2)的面积． 【考点2 余弦定理】 1．余弦定理公式: a＝b＋c－2bc·cos A； cos A＝； b＝c＋a－2ca·cos B； cos B＝； c＝a＋b－2ab·cos C； cos C＝ 2．适用范围：两边及一角、三边 【即时训练】 一、单选题 1．若的两边，且，则边为（    ） A． B． C． D． 2．在中，内角，，所对的边分别为，，，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．在中，角的对边分别为，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 4．已知三角形的三边长分别为则最大的角为多少（    ） A． B． C． D． 5．在中，，，所对的边分别为，，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在中，，，，则___________，_____________． 7．在中，，则角的大小为______________． 8．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c且a：b：c=3：5：7，则___________. 9．在，已知，，，则______． 10．在中，已知，，，，则______. 三、解答题 11．在△ABC中，三个内角所对的边分别是，且. (1)求的值； (2)如果，求边c的长度. 12．已知，是中，的对边，． (1)求a的值； (2)求的值． 1.（2026·内蒙古·真题T21）某单位有一块如图所示的四边形空地 ，测得，，，，． （1）求的值； （2）若在这一空地上种植草皮，每平方米成本为 元，需要投入多少资金？ 2.（2025·内蒙古·真题T19）在中，. （1）求的最大内角的度数； （2）求的值. 3.（2024·内蒙古·真题T19）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. （1）求； （2）求. 4.（2023·内蒙古·真题T14）在中，，则______. 5.（2023·内蒙古·真题T19）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与平行． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 6.（2022·内蒙古·真题T13） 在中，若，那么______. 7.（2022·内蒙古·真题T19）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三内角A，C，B成等差数列，.若向量，共线.求a，b的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $