专题14 正弦型函数的图像和性质（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题13 正弦型函数的图像和性质 ( 【复习目标】 1. 掌握正弦型函数的概念，会利用正弦型函数的图像和性质解决问题 . 2. 理解正弦型函数的图像变换，掌握图像变换的方法 . ) 【考点1 正弦型函数及性质】 1．正弦型函数的相关概念 (1)定义：一般地，形如的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这类型的函数称为正弦型函数，其中都是常数，且. (2)对函数图像的影响 ①A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. ②φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. ③ω决定了函数的周期 (3)的实际意义 ①的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； ②在决定时小球的位置中起关键性作用，称为初相； ③周期表示小球完成一次运动所需要的时间，表示1s内能完成的运动次数，称为频率. 2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3．正弦型函数的性质 (1)定义域：R (2)值域： (3)周期： (4)奇偶性：“定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下， 对于 当时，函数是奇函数； 当时，函数是偶函数； (5)单调性：确定函数的单调区间的思想是把看作一个整体。 由解出的范围，可得单调递增区间； 由解出的范围，可得单调递减区间； 【即时训练】 一、单选题 1．某周期信号可近似为 ，其振幅为（　　） A． B． C． D． 2．若的最大值为，最小值为，则为（　　） A． B． C． D． 3．函数的值域是（　　） A． B． C． D． 4．函数模型的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 5．函数的最小值为（    ） A．7 B． C． D． 二、填空题 6．函数的值域为______. 7．信号函数的最小正周期为______. 8．函数的最大值为___． 9．已知等式，求a的取值范围为_____________． 10．若函数的最小正周期是，则______. 三、解答题 11．已知函数． (1)将化成的形式； (2)求的最大值、最小值和最小正周期T． 12．已知函数的部分图像如图所示，求函数解析式.    【考点2 正弦型函数的图像变换】 1．振幅变换 要得到函数的图像，只要将函数的图像上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． 2．平移变换 要得到函数的图像，只要将函数的图像上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． 3．周期变换 要得到函数（其中且）的图像，可以把函数上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． 4．函数的图像经变换得到的图像的两种途径 【即时训练】 一、单选题 1．由得到，正确的是（　　） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 2．由得到，图像应（　　） A．向左平移 B．向上平移 C．向下平移 D．向右平移 3．函数的图像可由的图像（　　）得到. A．向上平移 B．向右平移 C．关于轴对称 D．关于轴对称 4．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 5．为了得到的图像，只需把正弦曲线上所有点的（ ） A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 二、填空题 6．要得到函数的图像，只需将函数的图像向左平移_________个单位长度（不超过）． 7．已知将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则________. 8．将函数的图像向右平移个单位得到的函数解析式为_____________. 9．若将函数的图像先向右平移个单位，再向上平移1个单位得到函数的图像，则函数的值域为________. 10．函数图像上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，所得函数的解析式为_____ 三、解答题 11．将函数的图象，向上平移1个单位，向右平移个单位，为，求 (1)函数的函数解析式； (2)函数的最小值及取最小值时x的取值集合. 12．将函数的图像向左平移后得到函数的图像，求的解析式. 1.（2025·内蒙古·真题T17）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则的值为__________. 2.（2023·内蒙古·真题T18）已知一个周期的正弦型曲线如图所示，则该函数的解析式为_____ . 3.（2022·内蒙古·真题T18）若函数，且，则的最大值为______. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题13 正弦型函数的图像和性质 ( 【复习目标】 1. 掌握正弦型函数的概念，会利用正弦型函数的图像和性质解决问题 . 2. 理解正弦型函数的图像变换，掌握图像变换的方法 . ) 【考点1 正弦型函数及性质】 1．正弦型函数的相关概念 (1)定义：一般地，形如的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这类型的函数称为正弦型函数，其中都是常数，且. (2)对函数图像的影响 ①A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. ②φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. ③ω决定了函数的周期 (3)的实际意义 ①的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； ②在决定时小球的位置中起关键性作用，称为初相； ③周期表示小球完成一次运动所需要的时间，表示1s内能完成的运动次数，称为频率. 2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3．正弦型函数的性质 (1)定义域：R (2)值域： (3)周期： (4)奇偶性：“定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下， 对于 当时，函数是奇函数； 当时，函数是偶函数； (5)单调性：确定函数的单调区间的思想是把看作一个整体。 由解出的范围，可得单调递增区间； 由解出的范围，可得单调递减区间； 【即时训练】 一、单选题 1．某周期信号可近似为 ，其振幅为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数标准形式即可得出结果. 【详解】，其中就是振幅. 所以，可得 ，振幅为. 故选： 2．若的最大值为，最小值为，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的最值求解即可. 【详解】因为的最大值为，最小值为，所以为. 故选：B. 3．函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的值域求解. 【详解】因为，则，所以， 故函数的值域是. 故选：A. 4．函数模型的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式求解. 【详解】函数模型的最小正周期是 . 故选：A. 5．函数的最小值为（    ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换将题中函数写成正弦型函数的标准形式求出最小值即可解得. 【详解】， 其中，函数的值域为， 则，当时， 此时函数取最小值，. 故选：C 二、填空题 6．函数的值域为______. 【答案】 【分析】先求解正弦函数的值域，再求解函数的值域即可. 【详解】因为，则， 所以函数的值域为. 故答案为：. 7．信号函数的最小正周期为______. 【答案】2 【分析】根据正弦型函数的周期公式求解. 【详解】信号函数的最小正周期为. 故答案为：2. 8．函数的最大值为___． 【答案】1 【分析】利用三角恒等变换公式化简解析式，根据正弦型函数的性质即可求其最大值． 【详解】． ，． 故答案为：1． 9．已知等式，求a的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】根据题意结合辅助角公式及正弦型函数的性质即可得解. 【详解】， 即，所以， 解得， 所以a的取值范围为， 故答案为：. 10．若函数的最小正周期是，则______. 【答案】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式即可得解. 【详解】函数的最小正周期是， 则，解得. 故答案为：. 三、解答题 11．已知函数． (1)将化成的形式； (2)求的最大值、最小值和最小正周期T． 【答案】(1) (2)最大值为3，最小值为，最小正周期为 【分析】（1）利用二倍角公式、诱导公式及辅助角公式求解； （2）根据正弦型函数的值域及最小正周期公式求解. 【详解】（1） ， （2）由（1）知， 因为，则，即， 所以的最大值为3，最小值为． 的最小正周期. 12．已知函数的部分图像如图所示，求函数解析式.    【答案】. 【分析】根据题意利用正弦型函数的性质即可得解. 【详解】函数的部分图像如图所示， 则， 最小正周期为，则，解得， 此时函数解析式为， 将代入函数解析式中得， 即，解得， 因为，所以， 则函数解析式为. 【考点2 正弦型函数的图像变换】 1．振幅变换 要得到函数的图像，只要将函数的图像上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． 2．平移变换 要得到函数的图像，只要将函数的图像上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． 3．周期变换 要得到函数（其中且）的图像，可以把函数上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． 4．函数的图像经变换得到的图像的两种途径 【即时训练】 一、单选题 1．由得到，正确的是（　　） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【答案】A 【分析】根据三角函数图像的平移规律求解. 【详解】将的图像向左平移个单位，可得到的图像. 故选：A. 2．由得到，图像应（　　） A．向左平移 B．向上平移 C．向下平移 D．向右平移 【答案】D 【分析】根据三角函数图像的变换规律求解. 【详解】的图像向右平移，可得到的图像， 故选：D. 3．函数的图像可由的图像（　　）得到. A．向上平移 B．向右平移 C．关于轴对称 D．关于轴对称 【答案】D 【分析】根据三角函数的图像变换规律求解. 【详解】函数的图像与的图像关于轴对称. 故选：D. 4．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的平移变换规律即可解得. 【详解】由题，， 根据函数图像平移变换规律， 将函数图像向右平移个单位即可得到. 故选：C 5．为了得到的图像，只需把正弦曲线上所有点的（ ） A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】B 【分析】根据正弦函数图象的伸缩变换即可得结果． 【详解】由题意，要得到的图像，只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变． 故选：. 二、填空题 6．要得到函数的图像，只需将函数的图像向左平移_________个单位长度（不超过）． 【答案】 【分析】根据三角函数图像左加右减的平移变换判断即可． 【详解】函数， 则将函数的图像向左平移个单位，即可得到的图像， 故答案为：． 7．已知将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则________. 【答案】 【分析】根据三角函数图像的平移变换规律求出的解析式即可得解. 【详解】函数的图象向左平移个单位后得到函数， 则， ， 故答案为：. 8．将函数的图像向右平移个单位得到的函数解析式为_____________. 【答案】 【分析】根据三角函数图像的平移变换规律即可得解. 【详解】将函数的图像向右平移个单位得到的函数解析式为， 故答案为：. 9．若将函数的图像先向右平移个单位，再向上平移1个单位得到函数的图像，则函数的值域为________. 【答案】 【分析】根据辅助角公式将函数进行化简，利用三角函数图像的变换与值域的关系即可得解. 【详解】函数的值域为， 将其向右平移个单位值域不变，再向上平移1个单位，值域变为， 所以函数的值域为. 故答案为：. 10．函数图像上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，所得函数的解析式为_____ 【答案】 【分析】根据三角函数的图像变换的规律求解即可. 【详解】将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍， 将原函数中的 替换为 ，纵坐标不变， 得到的图像. 故答案为：. 三、解答题 11．将函数的图象，向上平移1个单位，向右平移个单位，为，求 (1)函数的函数解析式； (2)函数的最小值及取最小值时x的取值集合. 【答案】(1) (2)；. 【分析】（1）根据三角函数图象平移变换的特征即可求解； （2）利用正弦型函数的最值即可求解. 【详解】（1）将函数的图象向上平移1个单位得的图象， 再向右平移个单位得的图象. （2）令，，即，， 此时函数，故最小值为， 所以函数取最小值时x的取值集合为. 12．将函数的图像向左平移后得到函数的图像，求的解析式. 【答案】 【分析】根据正弦型函数图像平移的规律即可得出平移后的解析式 . 【详解】将函数的图像向左平移， 得的图象， 所以的解析式为. 1.（2025·内蒙古·真题T17）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合图像的平移变化规律即可得解. 【详解】函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 则， 所以，因为， 所以， 故答案为：. 2.（2023·内蒙古·真题T18）已知一个周期的正弦型曲线如图所示，则该函数的解析式为_____ . 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期，最值性质求解即可. 【详解】不妨设函数解析式为：，. 由图可知，该函数最小正周期为， 即，解得， 且该函数值域为，则， 当时，，则有， 则，即. 则函数解析式为：. 故答案为：. 3.（2022·内蒙古·真题T18）若函数，且，则的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】把已知函数化简可得，然后结合正弦函数的性质求解最大值． 详解】， ∵，， ∴当，即时，有最大值2． 故答案为：2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $