专题13 和角公式及倍角公式（练习）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以支架式教学为理念，通过体系化专题清单与分层训练，构建和角公式及倍角公式从基础到能力的完整进阶路径，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |和角公式|单选5+填空5+解答2+真题1|选择侧重公式直接应用与变形，填空考查公式逆用，解答题结合角的象限条件|以和角公式为基础，通过正用、逆用训练构建公式应用逻辑| |倍角公式|单选5+填空5+解答2+真题2|选择涉及公式等价变形判断，填空结合三角函数定义，解答题含证明与综合计算|由和角公式推导生成倍角公式，形成从基础公式到拓展应用的递进链条|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题13 和角公式及倍角公式 【考点1 和角公式】 一、单选题 1．若 ，则等于（　　） A． B． C． D． 2．式子可化为（　　） A． B． C． D． 3．若，则为（　　） A． B． C． D． 4．已知，则 为（　　） A． B． C． D． 5．式子可化为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6． ________. 7．____________. 8．______. 9．若，则______. 10．若 ，且α是第二象限角，则____________． 三、解答题 11．已知 ，求. 12．已知是第二象限角，，是第三象限角，求的值； 【考点2 倍角公式】 一、单选题 1． 可化为（　　） A． B． C． D． 2．等于（　　） A． B． C． D． 3．下列式子与不一定相等的是（　　） A． B． C． D． 4．（　　） A． B． C． D． 5．若，则等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6． _________ . 7．若，则 ______. 8．已知，则________． 9．_______________． 10．已知角终边上一点，则________ 三、解答题 11．已知，求与. 12．已知，是第二象限角，求，和的值． 【考点1 和角公式】 一、单选题 1．（ ） A． B． C． D． 2．若为锐角，，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知角，，，，则（ ） A． B． C． D． 5．（ ） A． B． C． D．1 二、填空题 6．______. 7．若，则______. 8．若，则______. 9．已知点是角终边上的一点，则________． 10．已知，且，，则________． 三、解答题 11．已知，求. 12．已知，分别求与. 【考点2 倍角公式】 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ）． A． B． C． D． 3．若，，则的终边在第（    ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 4．已知，则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 5．已知，则（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．计算的值为________． 7．已知，则的值是_________. 8．在中，，则_________，_________. 9．在等腰三角形中，已知顶角的余弦值是，则底角的余弦值是_________． 10．已知角的终边上一点，则________． 三、证明题 11．求证： 12．（1）已知，求的值； （2）证明恒等式：． 1.（2025·内蒙古·真题T09）若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2.（2023·内蒙古·真题T06）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，其中，则（ ） A. B. C. D. 3.（2022·内蒙古·真题T18）若函数，且，则的最大值为______. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题13 和角公式及倍角公式 【考点1 和角公式】 一、单选题 1．若 ，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角差的正切公式即可求解. 【详解】 由题意得，，则. 故选：B. 2．式子可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角差的正切公式即可求解. 【详解】由题意得，. 故选：D. 3．若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和的余弦公式进行计算即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 4．已知，则 为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】由得， . 故选：D. 5．式子可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由题意得，. 故选：A. 二、填空题 6． ________. 【答案】 【分析】根据两角差的正切公式即可求解. 【详解】由题意得，. 故答案为：. 7．____________. 【答案】 【分析】根据两角和的余弦公式即可求解. 【详解】由题意得，. 故答案为：. 8．______. 【答案】1 【分析】根据两角和的正弦公式求解. 【详解】. 故答案为：1. 9．若，则______. 【答案】/ 【分析】根据两角差的余弦公式即可得解. 【详解】， 则， 故答案为：. 10．若 ，且α是第二象限角，则____________． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合两角差的正切公式即可求解. 【详解】因为是第二象限角， ，所以 ，则 ， 因为，所以． 故答案为：. 三、解答题 11．已知 ，求. 【答案】 【分析】根据两角差的余弦公式即可求解. 【详解】因为， 所以. 12．已知是第二象限角，，是第三象限角，求的值； 【答案】 【分析】根据各象限角三角函数的符号，结合同角三角函数的平方关系，两角差的余弦公式即可求解. 【详解】，又是第二象限角，. ，且为第三象限角，， . 【考点2 倍角公式】 一、单选题 1． 可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由余弦的二倍角公式可知：. 故选：C. 2．等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式逐一判断选项即可. 【详解】A选项，由正弦的二倍角公式可知，，满足题意； B选项，，与不一定相等，不满足题意； C选项，由余弦的二倍角公式可知，，不满足题意； D选项，由正切的二倍角公式可知，，不满足题意. 故选：A. 3．下列式子与不一定相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的基本关系和二倍角公式来逐一分析每个选项即可. 【详解】选项A：根据余弦的二倍角公式，， 所以选项A与一定相等； 选项B：因为，即， 则有， 所以选项B与一定相等； 选项C：同样因为，即， 则有， 所以选项C与一定相等； 选项D：根据正弦的二倍角公式可知，它与不一定相等. 故选：D. 4．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合余弦的二倍角公式，即可求解. 【详解】. 故选：B. 5．若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合余弦的二倍角公式，即可求解. 【详解】因为，又， 所以，解得. 故选：A. 二、填空题 6． _________ . 【答案】1 【分析】根据余弦二倍角公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：1. 7．若，则 ______. 【答案】 【分析】根据题意，结合正切的二倍角公式，即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 8．已知，则________． 【答案】/0.5 【分析】由诱导公式和余弦的二倍角公式计算即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 9．_______________． 【答案】 【分析】根据余弦的二倍角公式求解即可； 【详解】原式 ． 故答案为： 10．已知角终边上一点，则________ 【答案】/ 【分析】由终边上的点求出，再由二倍角公式求解即可. 【详解】角终边上一点， 则， 所以. 故答案为：. 三、解答题 11．已知，求与. 【答案】 【分析】利用正弦与余弦的二倍角公式来计算与的值即可. 【详解】因为，， 所以； 所以. 12．已知，是第二象限角，求，和的值． 【答案】，， 【分析】根据同角三角函数的基本关系式与二倍角公式求解即可； 【详解】因为是第二象限角， 所以， 于是，有， ． 又因为， 所以． 【考点1 和角公式】 一、单选题 1．（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式及两角和的余弦公式可求结果. 【详解】原式. 故选：A 2．若为锐角，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合平方关系和和差公式求出的余弦即可得解. 因为，所以，， 因为， 所以，所以， 所以 因为，所以. 故选：B. 3．已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两角差的余弦公式结合题设可得答案. 因，，则. . 故选：A 4．已知角，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平方关系求得，，再结合两角差的正弦公式求解即可. 由，，则， 则， ， 所以 . 故选：B. 5．（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用两角和的余弦公式，特殊角的三角函数值即可求解. 故选：B. 二、填空题 6．______. 【答案】/ 【分析】根据两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由题意得，. 故答案为：. 7．若，则______. 【答案】/0.5 【分析】由两角差的正切公式求解. 【详解】若，则， 故答案为：. 8．若，则______. 【答案】 【分析】根据两角和的正切公式求解. 【详解】. 故答案为：. 9．已知点是角终边上的一点，则________． 【答案】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求出的值，再利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】因为点是角终边上的一点， 所以，， 所以. 故答案为：. 10．已知，且，，则________． 【答案】 【分析】根据题意同角三角函数基本关系式求出，的值，代入两角和的正弦公式即可得解. 【详解】由，得，， 由，知，又因为， 所以，， 所以． 故答案为：. 三、解答题 11．已知，求. 【答案】 【分析】根据两角和的正弦公式进行计算即可. 【详解】已知，，且， 所以 . 12．已知，分别求与. 【答案】； 【分析】根据题意，结合两角和与差的正切公式，即可求解. 【详解】因为， 所以； . 【考点2 倍角公式】 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用二倍角公式解答即可. 【详解】由二倍角公式， 可知， 故选：. 2．已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数倍角公式和三角函数的平方关系，即可求解. 【详解】题目已知，，两边平方可得， ，化简得. 即. 故. 故选：B. 3．若，，则的终边在第（    ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】结合二倍角的正弦公式得到的正负情况，再根据正余弦值的正负判断终边所在象限即可. 【详解】由，可得：， 则由可得：的终边在第二象限. 故选：B. 4．已知，则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】由二倍角公式和同角三角函数的基本关系式化简求值即可. 【详解】， 代入，原式. 故选：C. 5．已知，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二倍角公式得到，再利用诱导公式化简求值. 【详解】因为，所以， . 故选：D. 二、填空题 6．计算的值为________． 【答案】/ 【分析】根据题意结合二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】， 故答案为：. 7．已知，则的值是_________. 【答案】/ 【分析】由已知，根据二倍角的余弦公式可求解. 【详解】由已知，可得 . 故答案为： 8．在中，，则_________，_________. 【答案】 【分析】根据二倍角的正弦公式化简求出即可求A，由两角差的正弦展开即可求出，由A可化为，代入由两角差的正切公式求解即可. 【详解】，， 故， 故. 由， 所以 由代入得，由， 解得. 故答案为：； 9．在等腰三角形中，已知顶角的余弦值是，则底角的余弦值是_________． 【答案】 【分析】设顶角为，底角为，先通过倍角公式求出，再利用求解即可. 【详解】设顶角为，底角为，则，， 又， ， . 故答案为：. 10．已知角的终边上一点，则________． 【答案】 【分析】先由条件算出，，再用二倍角公式算出，，最后用正弦两角和公式展开计算即可. 【详解】因为角的终边上一点，则，， ， ， 又， ． 故答案为：. 三、证明题 11．求证： (1) 【答案】证明见解析. 【分析】分式的分子和分母同时乘，即可得出结论； 【详解】由题意证明如下， . 12．（1）已知，求的值； （2）证明恒等式：． 【答案】（1）（2）证明见解析 【分析】（1）两边平方后，根据同角公式和二倍角的正弦公式可得结果； （2）根据两角和的正弦公式和同角公式可证等式成立. 【详解】（1）由，得， 得， 得. （2）证明：左边右边. 1.（2025·内蒙古·真题T09）若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由诱导公式化简已知等式，得出，由同角三角函数平方关系求出，再由余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由，可得，即， 根据同角三角函数平方关系，将代入得， ，解得， 所以. 故选：A. 2.（2023·内蒙古·真题T06）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由方程有两个相等的实数根求解判别式，再由与的关系求解即可. 【详解】因为方程有两个相等的实数根， 所以有， 即，所以有， 因为，所以， 所以，即， ， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 3.（2022·内蒙古·真题T18）若函数，且，则的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】把已知函数化简可得，然后结合正弦函数的性质求解最大值． 详解】， ∵，， ∴当，即时，有最大值2． 故答案为：2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $