专题12 三角函数的图像和性质（练习）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦三角函数图像与性质，以分层训练构建从基础概念到综合应用的递进路径，结合真题强化考点针对性，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正弦函数图像和性质|单选5+填空5+解答2，含真题|覆盖最值、周期、单调性判断，突出图像应用（五点法作图）|从定义域、值域到单调性、奇偶性，形成性质-图像-应用的逻辑链| |余弦函数图像和性质|单选5+填空5+解答2，含真题|侧重定义域、值域、单调性比较，强化图像变换与性质综合|与正弦函数对比迁移，深化三角函数性质的内在联系与应用|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题12 三角函数的图像和性质 【考点1 正弦函数的图像和性质】 一、单选题 1．函数的最大值是（   ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】利用正弦函数的值域求最值即可. 【详解】因为， 所以当时，函数有最大值， 即； 故选；D. 2．函数的最大、最小值、周期分别是（　　）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的最大值和最小值，可求函数的最大、最小值，由正弦型函数的周期公式，求出函数的周期. 【详解】因为， 所以，当时，， 当时，， 函数的周期. 故选：C 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的定义及正弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】若，则，故“”是“”的充分条件； 若，则或，故“”是“”的不必要条件； 综上，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．使得函数为减函数，且值为负数的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的图象与性质判定选项即可. 【详解】由的图象与性质可知时，函数单调递减，且函数值为负数. 故选：C 5．函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的单调性，再求函数的最大值. 【详解】因为函数均在单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以函数在区间的最大值是当时，. 故选：D. 二、填空题 6．比较大小：__________（填“>”或“<”）． 【答案】 【分析】利用正弦函数单调性比较三角函数值大小即可. 【详解】因为正弦函数在之间单调递增，故， 故答案为：. 7．若2，则实数a的取值范围是__________ 【答案】 【分析】根据正弦函数的值域求解即可. 【详解】由题意，. 因为. 所以. 所以. 所以. 即实数的取值范围是. 故答案为： 8．设和分别表示函数的最大值和最小值，则等于________． 【答案】2 【分析】根据正弦函数的最值得到函数的最值，即可解得. 【详解】因为，则， 所以函数的最大值，最小值， 所以. 故答案为：2 9．函数的最大值为________． 【答案】5 【分析】根据正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最大值为， 故答案为：. 10．函数的最大值是________，最小值是________． 【答案】 3 1 【分析】根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】当时，取得最小值，最小值为. 当时，取得最大值，最小值为. 故答案为：3，1 三、解答题 11．（1）用“五点法”做函数，的简图. （2）求函数的最大值及取得最大值时自变量的集合. 【答案】（1）画图见解析；（2）最大值为，. 【分析】（1）先列表求值，再描点作图即可. （2）根据正弦函数的最值及对应的值求解即可. 【详解】（1）取值列表如下： 0 0 1 0 0 1 2 1 0 1 描点画图如下：    （2）函数，， 函数的最大值为，当时， . 12．用“五点法”画出函数在区间上的图象. 【答案】图像见解析 【分析】根据五点法的定义列出表格，描点连线即可得解. 【详解】 描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示， 【考点2 余弦函数的图像和性质】 一、单选题 1．函数在区间上为增函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的单调性求参即可. 【详解】函数在区间上为增函数，在上为减函数， 又已知函数在区间上为增函数，所以，即的取值范围是. 故选：B 2．函数的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据余弦函数的最值分析即可. 【详解】因为， 所以的值域为， 即函数的最小值为. 故选：A. 3．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的值域计算即可解得. 【详解】因为， 所以， 故的值域是. 故选：B 4．函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式有意义，得到，即可求解函数的定义域. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，即. 解得， 所以函数的定义域. 故选：C. 5．已知函数与，在下列区间内同为严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数、余弦函数单调性对各个选项逐一判断即可. 【详解】对A，函数在单调递增，函数在单调递减，不符合题意； 对B，函数在单调递减，函数在单调递减，不符合题意； 对C，函数在单调递减，函数在单调递增，不符合题意； 对D，函数在单调递增，函数在单调递增，符合题意； 故选：D 二、填空题 6．函数的值域是________． 【答案】 【分析】将的最大值与最小值代入即可得出结果. 【详解】已知函数， 当时，， 当时，， 所以函数的值域是. 故答案为：. 7．比较大小：__________，（填） 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式，结合余弦函数的单调性即可求解. 【详解】， ， 函数在单调递减，且， ，. 故答案为：. 8．已知函数与直线有交点，则a的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用余弦函数的值域可求参数范围. 【详解】因为，则，则， 所以函数的定义域为，值域为， 因函数与直线有交点，必须在函数的值域内， 则a的取值范围是 故答案为：. 9．的大小关系是__________.（用“>”连接） 【答案】 【解析】根据在区间上的单调性，求得三者的大小关系. 【详解】因为，且在上单调递减，所以. 故答案为： 10．若与都是减函数，则的范围是_________. 【答案】 【分析】先分别求与单调减区间，再求交集得结果. 【详解】因为与单调减区间分别为和 所以 故答案为： 三、解答题 11．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)． 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 【分析】（1）结合函数的奇偶性确定正确答案. （2）结合函数的奇偶性确定正确答案. 【详解】（1）的定义域为，， 所以为偶函数. （2）的定义域为，， 所以是奇函数. 12．求作函数在一个周期内的图象，并求函数的最大值及取得最大值时x的值． 【答案】图象见解析，当时函数取得最大值，． 【分析】根据五点法作图，列出表格，即可画出图形，根据图形即可求出最值. 【详解】列表如下： x 0 1 0 0 1 1 3 5 3 1 描点、连线得出函数在一个周期内的图象： 由图可得，当时函数取得最大值，． 【考点1 正弦函数的图像和性质】 一、单选题 1．已知，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的值域来确定的取值范围 【详解】因为，所以， 又，所以， 故选：B 2．函数的定义域是（   ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的性质，即可求解. 【详解】由题意知函数， 所以， 解得，， 所以函数的定义域是. 故选：C. 3．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的值域即可解答. 【详解】已知函数， 其中， 所以，即函数的值域是， 故选：D. 4．函数图像与直线的交点坐标为（   ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据正弦函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，令，解得，. 即函数图像与直线的交点坐标为和. 故选：C. 5．函数的最大值是 （   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由正弦函数的图像和性质即可得解. 【详解】函数， ∵， ∴当时，函数取得最大值 . 故选：D. 二、填空题 6．已知，则的取值范围是 _____________． 【答案】 【分析】根据正弦函数的值域求解即可. 【详解】因为的值域为，且， 所以，解得. 因此的取值范围是. 故答案为：. 7．已知函数，且，则__________. 【答案】 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，即可代入求解. 【详解】因为函数，且， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 8．函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据正弦函数的性质易得答案. 【详解】因为函数， 所以， 所以函数的最小值为. 故答案为：. 9．若，则的取值范围是_________ 【答案】 【分析】根据正弦函数的值域解出解集即可解得. 【详解】的解集为或； 的解集为； 即. 故答案为： 10．函数的最大值是______，相对应的______（写出符合条件的一个即可）. 【答案】 5 【分析】根据正弦函数的图像和性质即可求解. 【详解】因为的值域是，所以的最大值是， 所以当时，， 即函数的最大值是. 当时，，，取，此时. 故答案为：；. 三、解答题 11．利用“五点法”作出函数，的图像，并写出使得的x的取值范围． 【答案】作图见解析； 或. 【分析】写出五点坐标，，，，，最后描点连线，利用图形得到范围. 【详解】列表为： 0 0 1 0 0 1 2 1 0 1 描点连线，可得函数图像如下： 显然由图可得使得的范围是或. 12．求使成立的a的取值范围． 【答案】 【分析】先将原式转化成，根据正弦函数的取值范围，得到的取值范围. 【详解】∵，得到. 由于的取值范围是，故. 即. 故，使成立的a的取值范围是. 【考点2 余弦函数的图像和性质】 一、单选题 1．在下列区间上，为减函数，且为增函数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正余弦函数的单调性逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A，在上单调递减，在上单调递增，故A正确； 对于B，在上单调递减，故B错误； 对于C，在上单调递减，故C错误； 对于D，在上单调递增，故D错误. 故选：A. 2．用“五点法”作函数y＝cos2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将看成整体取五个关键值，得到答案. 【详解】令，得. 故选：B. 3．若函数 和函数 在区间 内都是增函数，则区间 可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数以及余弦函数的单调性求解即可. 【详解】函数在和内递增，在内递减. 在内递减，在内递增， 故函数和在内都是增函数． 故选：D． 4．函数的最大值、最小值分别是（    ） A．2， B．1， C．1， D．2， 【答案】B 【分析】利用余弦函数的值域，求余弦型函数最值即可. 【详解】因为的值域为， 则函数的最大值，最小值； 故选：B. 5．在下列区间上函数是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出余弦函数图像，结合单调性的定义逐项判断即可得解. 【详解】 如图所示，作出函数的图像，根据图像可知， 在区间上，为减函数，故选项正确； 在区间上，先递增后递减，故选项错误； 在区间上，为增函数，故选项错误； 在区间上，为增函数，故选项错误. 故选：. 二、填空题 6．若的最大值_____. 【答案】3 【分析】根据余弦函数的值域，即可求解函数的最值. 【详解】已知， 因为，所以， 则， 即当时，， 故答案为：. 7．已知，函数在区间________ 上是减函数. 【答案】 【分析】根据余弦函数的单调性即可解答. 【详解】函数的单调递减区间， 所以当时，函数的单调递减区间为， 故答案为：. 8．函数的最大值是_________，最小值是________. 【答案】 5 1 【分析】结合,可求出的范围,进而可求出答案. 【详解】因为,所以. 即的最大值是5,最小值是1. 故答案为:5;1. 9．函数在区间上的最大值为________；最小值为________. 【答案】 1 /0.5 【分析】分析出在上的单调性即可求出最值． 【详解】因为在，上单调递增，在，上单调递减， 所以当时取最大值为， 又因为，， 故的最小值为， 故答案为：1 ；. 10．比较大小：_______.（填“>”、“<”或“=”） 【答案】< 【分析】根据余弦函数的单调性求解即可. 【详解】余弦函数在区间上是单调递减函数，且，因此. 故答案为：. 三、解答题 11．比较下列各组数的大小. (1)与； (2)cos 1与sin 2. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用诱导公式把角化到上，然后利用余弦函数的单调性比较大小即可， （2）利用诱导公式统一成正弦，然后利用正弦函数的单调性比较大小即可 【详解】（1），， 因为在上单调递减，且， 所以，所以， （2）因为，且在上递减，， 所以，所以. 12．x取何值时，函数取得最大值和最小值？最大值、最小值各是多少？ 【答案】当时，函数取最大值，； 当时，函数取最小值， 【分析】根据余弦函数的值域，得到函数的值域，即可求得函数的最值. 【详解】∵，即， 得到. 即函数的值域是，最大值为，最小值为. 时，，此时. 时，，此时. 1.（2026·内蒙古·真题T08）若函数（）的图象与直线只有一个交点，则实数 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过 的取值范围确定的取值范围，结合正弦函数在上的图象与性质，判断直线与给定函数仅有一个交点时 的取值即可 【详解】当时，， 所以，则， 函数在是一个完整周期的正弦曲线， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 若直线与图像只有一个交点，说明直线只经过函数的最高点或最低点， 因为当时函数与有两个或三个交点， 当时，函数与没有交点， 所以 或， 故选：D. 2.（2025·内蒙古·真题T17）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合图像的平移变化规律即可得解. 【详解】函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 则， 所以，因为， 所以， 故答案为：. 3.（2024·内蒙古·真题T16） 如图，某小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路.已知某人从沿着走到用了1分钟，从沿着走到用了2分钟.若此人步行的速度为每分钟米，则该扇形的半径为_________.米. 【答案】 【解析】 【分析】连接，分别得出的长，再由余弦定理求值即可. 【详解】已知此人步行速度为每分钟米， 所以，， 其中， 因为，所以， 连接， ， 所以. 则该扇形的半径为， 故答案为：. 4.（2023·内蒙古·真题T18）已知一个周期的正弦型曲线如图所示，则该函数的解析式为_____ . 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期，最值性质求解即可. 【详解】不妨设函数解析式为：，. 由图可知，该函数最小正周期为， 即，解得， 且该函数值域为，则， 当时，，则有， 则，即. 则函数解析式为：. 故答案为：. 5.（2022·内蒙古·真题T18）若函数，且，则的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】把已知函数化简可得，然后结合正弦函数的性质求解最大值． 详解】， ∵，， ∴当，即时，有最大值2． 故答案为：2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题12 三角函数的图像和性质 【考点1 正弦函数的图像和性质】 一、单选题 1．函数的最大值是（   ） A． B．2 C．3 D．5 2．函数的最大、最小值、周期分别是（　　）. A． B． C． D． 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．使得函数为减函数，且值为负数的区间为（    ） A． B． C． D． 5．函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．比较大小：__________（填“>”或“<”）． 7．若2，则实数a的取值范围是__________ 8．设和分别表示函数的最大值和最小值，则等于________． 9．函数的最大值为________． 10．函数的最大值是________，最小值是________． 三、解答题 11．（1）用“五点法”做函数，的简图. （2）求函数的最大值及取得最大值时自变量的集合. 12．用“五点法”画出函数在区间上的图象. 【考点2 余弦函数的图像和性质】 一、单选题 1．函数在区间上为增函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．函数的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．函数定义域为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数与，在下列区间内同为严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．函数的值域是________． 7．比较大小：__________，（填） 8．已知函数与直线有交点，则a的取值范围是_________. 9．的大小关系是__________.（用“>”连接） 10．若与都是减函数，则的范围是_________. 三、解答题 11．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)． 12．求作函数在一个周期内的图象，并求函数的最大值及取得最大值时x的值． 【考点1 正弦函数的图像和性质】 一、单选题 1．已知，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（   ） A．R B． C． D． 3．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．函数图像与直线的交点坐标为（   ） A． B．和 C．和 D．和 5．函数的最大值是 （   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 6．已知，则的取值范围是 _____________． 7．已知函数，且，则__________. 8．函数的最小值为__________． 9．若，则的取值范围是_________ 10．函数的最大值是______，相对应的______（写出符合条件的一个即可）. 三、解答题 11．利用“五点法”作出函数，的图像，并写出使得的x的取值范围． 12．求使成立的a的取值范围． 【考点2 余弦函数的图像和性质】 一、单选题 1．在下列区间上，为减函数，且为增函数（    ） A． B． C． D． 2．用“五点法”作函数y＝cos2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 3．若函数 和函数 在区间 内都是增函数，则区间 可以是（    ） A． B． C． D． 4．函数的最大值、最小值分别是（    ） A．2， B．1， C．1， D．2， 5．在下列区间上函数是减函数的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若的最大值_____. 7．已知，函数在区间________ 上是减函数. 8．函数的最大值是_________，最小值是________. 9．函数在区间上的最大值为________；最小值为________. 10．比较大小：_______.（填“>”、“<”或“=”） 三、解答题 11．比较下列各组数的大小. (1)与； (2)cos 1与sin 2. 12．x取何值时，函数取得最大值和最小值？最大值、最小值各是多少？ 1.（2026·内蒙古·真题T08）若函数（）的图象与直线只有一个交点，则实数 的值是（ ） A. B. C. D. 2.（2025·内蒙古·真题T17）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则的值为__________. 3.（2024·内蒙古·真题T16） 如图，某小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路.已知某人从沿着走到用了1分钟，从沿着走到用了2分钟.若此人步行的速度为每分钟米，则该扇形的半径为_________.米. 4.（2023·内蒙古·真题T18）已知一个周期的正弦型曲线如图所示，则该函数的解析式为_____ . 5.（2022·内蒙古·真题T18）若函数，且，则的最大值为______. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $