专题12 三角函数的图像和性质（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题12 三角函数的图像和性质 ( 【复习目标】 1. 会画正弦、余弦函数的图像，熟练掌握它们各自的性质 . 2. 能够利用三角函数的图像和性质求 定义域、值域、最值、对称中心、最小正周期、单调区间、奇偶性 . ) 【考点1 正弦函数的图像和性质】 1.正弦曲线 定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线 2.正弦函数的性质 （1）定义域R （2）值域 （3）当时，取最大值1 （4）当时，取最x小值-1， （5）函数周期为，最小正周期为 （6）函数是奇函数，关于原点对称 （7）函数在区间单调递增 （8）函数在区间单调递减 3.正弦型函数 (1)最大值是，最小值是 (2)最小正周期为 (3)是奇函数 【即时训练】 一、单选题 1．函数在其定义域上的最大值为（      ） A． B．0 C．1 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据正弦函数在其定义域上的有界性可得结果. 【详解】根据正弦函数在其定义域上的有界性可知， 当时，. 故选：C 2．函数的周期是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据正弦函数周期公式可求. 【详解】函数的最小正周期； 故选：A. 3．函数的最小正周期是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的图象和性质可得结论. 【详解】由正弦函数的图象和性质可知， 函数的最小正周期是. 故选：B 4．函数的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据正弦函数的值域，即可求解． 【详解】因为正弦函数的值域为， 故最小值为． 故选：A． 5．若有意义，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的值域列式求解即可. 【详解】由可得：， 解得：，则的范围为. 故选：A. 6．已知，，则实数的最大值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的值域求解即可. 【详解】因为，则， 可得，实数 的最大值是. 故选：C. 二、填空题 7．函数的值域是_____． 【答案】 【分析】根据正弦函数的值域即可确定该函数的值域. 【详解】已知函数， 则，即， 所以，即， 则，即函数的值域是， 故答案为：. 8．若函数，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据正弦函数的值域，列不等式可求解。 【详解】因为，所以，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 9．设实数，使成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据正弦函数值域即可求解. 【详解】由题意得，因为，所以，解得. 即实数的取值范围是. 故答案为：. 10．不求值，比较大小：________． 【答案】< 【分析】根据正弦函数的单调性以及三角函数的诱导公式求解即可. 【详解】， 且在区间上单调递增，所以， 即. 故答案为：<. 三、解答题 11．用“五点法”作出函数在一个周期上的简图． 【答案】图像见解析. 【分析】利用“五点法”即可作图. 【详解】函数的最小正周期为，在上取5点， 列表如下 x 0 y 0 2 0 0 简图如下： 12．已知函数的最大值为5，最小值为，求的值． 【答案】 【分析】根据题意，结合正弦函数的值域，即可求解. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最大值，即， 当时，函数取得最小值，即， 所以. 【考点2 余弦函数的图像和性质】 1.余弦曲线 定义：余弦函数的图象叫做余弦曲线 2.余弦函数的性质 （1）定义域R （2）值域 （3）当时，取最大值1 （4）当时，取最x小值-1， （5）函数周期为，最小正周期为 （6）函数是偶函数，关于y轴对称 （7）函数在区间单调递增 （8）函数在区间单调递减 3.余弦型函数 (1)最大值是，最小值是 (2)最小正周期为 (3)是偶函数 【即时训练】 一、单选题 1．下列各区间为函数的增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的增区间，对k进行赋值求解即可. 【详解】函数的增区间为，， 对k进行赋值， 当时，增区间为， 因为区间在区间内， 所以函数的增区间为. 故选:D. 2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的值域得再求的值域即可求出. 【详解】解：根据题意得,故 故选：B 3．比较与的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】根据余弦函数的单调性求解即可. 【详解】因为余弦函数在区间上是减函数， 且，所以. 故选：B. 4．函数的最大值是（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】利用余弦函数的最值性质即可得解. 【详解】因为，所以的最大值是1. 故选：A. 5．函数为（    ）函数 A．奇 B．偶 C．非奇非偶 【答案】B 【分析】根据奇函数和偶函数的性质定义即可. 【详解】令，，定义域R， ， 所以为偶函数. 故选：B. 二、填空题 6．比较大小：_______(填“>、<或=”) 【答案】 【分析】根据余弦函数的单调性比较大小即可得解. 【详解】因为函数在上单调递减， 且， 所以， 故答案为：. 7．若，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据余弦函数的值域求的值. 【详解】∵， ∴， 即：， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 8．函数的周期是________. 【答案】 【分析】根据余弦函数的最小正周期公式即可解得. 【详解】由题，函数， 则最小正周期， 故答案为： 9．函数的值域是________． 【答案】 【分析】根据余弦函数的值域列不等式求的值域即可. 【详解】因为，所以， 即，函数值域为：. 故答案为：. 10．余弦函数的周期为_______，最小正周期为_______.余弦型函数的最小正周期为______. 【答案】 【分析】根据余弦函数、余弦型函数的周期性可得结果. 【详解】余弦函数的周期为，最小正周期为， 函数的最小正周期为. 故答案为：；；. 三、解答题 11．已知函数的最大值为，最小值为.求a，b的值． 【答案】， 【分析】函数的最值取决于的取值，但同时也要注意系数的正负. 【详解】∵，而， ∴当时，， 当时，， 解得，，. 12．求函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合． 【答案】最大值为，最小值为，最大值时x的集合为；最小值时的x的集合为. 【分析】由余弦函数的性质求解. 【详解】解：由余弦函数的性质可知，， 所以，则， 即， 故函数的最大值为，最小值为. 函数取最大值时的x的取值范围的集合为， 函数取最小值时的x的取值范围的集合为. 1.（2026·内蒙古·真题T08）若函数（）的图象与直线只有一个交点，则实数 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过 的取值范围确定的取值范围，结合正弦函数在上的图象与性质，判断直线与给定函数仅有一个交点时 的取值即可 【详解】当时，， 所以，则， 函数在是一个完整周期的正弦曲线， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 若直线与图像只有一个交点，说明直线只经过函数的最高点或最低点， 因为当时函数与有两个或三个交点， 当时，函数与没有交点， 所以 或， 故选：D. 2.（2025·内蒙古·真题T17）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合图像的平移变化规律即可得解. 【详解】函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 则， 所以，因为， 所以， 故答案为：. 3.（2024·内蒙古·真题T16） 如图，某小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路.已知某人从沿着走到用了1分钟，从沿着走到用了2分钟.若此人步行的速度为每分钟米，则该扇形的半径为_________.米. 【答案】 【解析】 【分析】连接，分别得出的长，再由余弦定理求值即可. 【详解】已知此人步行速度为每分钟米， 所以，， 其中， 因为，所以， 连接， ， 所以. 则该扇形的半径为， 故答案为：. 4.（2023·内蒙古·真题T18）已知一个周期的正弦型曲线如图所示，则该函数的解析式为_____ . 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期，最值性质求解即可. 【详解】不妨设函数解析式为：，. 由图可知，该函数最小正周期为， 即，解得， 且该函数值域为，则， 当时，，则有， 则，即. 则函数解析式为：. 故答案为：. 5.（2022·内蒙古·真题T18）若函数，且，则的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】把已知函数化简可得，然后结合正弦函数的性质求解最大值． 详解】， ∵，， ∴当，即时，有最大值2． 故答案为：2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题12 三角函数的图像和性质 ( 【复习目标】 1. 会画正弦、余弦函数的图像，熟练掌握它们各自的性质 . 2. 能够利用三角函数的图像和性质求 定义域、值域、最值、对称中心、最小正周期、单调区间、奇偶性 . ) 【考点1 正弦函数的图像和性质】 1.正弦曲线 定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线 2.正弦函数的性质 （1）定义域R （2）值域 （3）当时，取最大值1 （4）当时，取最x小值-1， （5）函数周期为，最小正周期为 （6）函数是奇函数，关于原点对称 （7）函数在区间单调递增 （8）函数在区间单调递减 3.正弦型函数 (1)最大值是，最小值是 (2)最小正周期为 (3)是奇函数 【即时训练】 一、单选题 1．函数在其定义域上的最大值为（      ） A． B．0 C．1 D．无法确定 2．函数的周期是（    ） A． B． C．1 D．2 3．函数的最小正周期是（      ） A． B． C． D． 4．函数的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．若有意义，则的范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则实数的最大值是（    ） A． B． C．1 D． 二、填空题 7．函数的值域是_____． 8．若函数，则实数的取值范围是___________． 9．设实数，使成立，则实数的取值范围是______． 10．不求值，比较大小：________． 三、解答题 11．用“五点法”作出函数在一个周期上的简图． 12．已知函数的最大值为5，最小值为，求的值． 【考点2 余弦函数的图像和性质】 1.余弦曲线 定义：余弦函数的图象叫做余弦曲线 2.余弦函数的性质 （1）定义域R （2）值域 （3）当时，取最大值1 （4）当时，取最x小值-1， （5）函数周期为，最小正周期为 （6）函数是偶函数，关于y轴对称 （7）函数在区间单调递增 （8）函数在区间单调递减 3.余弦型函数 (1)最大值是，最小值是 (2)最小正周期为 (3)是偶函数 【即时训练】 一、单选题 1．下列各区间为函数的增区间的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．比较与的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法比较 4．函数的最大值是（    ） A．1 B． C．0 D．2 5．函数为（    ）函数 A．奇 B．偶 C．非奇非偶 二、填空题 6．比较大小：_______(填“>、<或=”) 7．若，则实数的取值范围为______. 8．函数的周期是________. 9．函数的值域是________． 10．余弦函数的周期为_______，最小正周期为_______.余弦型函数的最小正周期为______. 三、解答题 11．已知函数的最大值为，最小值为.求a，b的值． 12．求函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合． 1.（2026·内蒙古·真题T08）若函数（）的图象与直线只有一个交点，则实数 的值是（ ） A. B. C. D. 2.（2025·内蒙古·真题T17）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则的值为__________. 3.（2024·内蒙古·真题T16） 如图，某小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路.已知某人从沿着走到用了1分钟，从沿着走到用了2分钟.若此人步行的速度为每分钟米，则该扇形的半径为_________.米. 4.（2023·内蒙古·真题T18）已知一个周期的正弦型曲线如图所示，则该函数的解析式为_____ . 5.（2022·内蒙古·真题T18）若函数，且，则的最大值为______. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $