专题11 任意角的三角函数（练习）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以支架式教学为核心，通过体系化专题清单整合任意角三角函数、同角关系及诱导公式，分层题型设计构建从概念理解到综合应用的进阶路径，培养抽象能力与运算推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |任意角三角函数|12题+真题|终边点坐标应用、象限角判断，选择填空夯实定义理解，解答题深化坐标与函数值转化|从三角函数定义生成，建立坐标与函数值的对应关系| |同角三角函数基本关系|12题+真题|求值、化简与证明，覆盖平方关系与商数关系，解答题强化公式灵活应用|以定义为基础推导同角关系，形成知一求二的运算逻辑| |诱导公式|12题+真题|化简、求值与证明，结合象限符号判断，真题示例突出公式逆向应用|基于三角函数定义推导诱导公式，构建角的变换与函数值转化链条|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题11 任意角的三角函数 【考点1 任意角三角函数】 一、单选题 1．已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B．1 C．2 D． 2．若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，且，则θ为第（    ）象限角． A．一或二 B．二或四 C．二或三 D．三或四 4．已知点是角的终边上一点，且，则y的值为（    ） A． B． C． D．10 5．角终边过点，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．________. 7．设点在角的终边上，则_________，_________. 8．______． 9．若角的终边上有一点，则的值是___________. 10．角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，若点在角的终边上，则______． 三、解答题 11．已知角的终边上一点，求、和的值. 12．已知角的终边经过点，且，求的值. 【考点2 同角三角函数基本关系】 一、单选题 1．已知，则的值为（        ） A． B．1 C． D． 2．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，角在第一象限，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则等于（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．已知，且α是第二象限角，则=_______． 7．若，且，则角的取值范围是__________． 8．已知，且是第二象限角，则_______ 9．已知则________________. 10．已知，则的值为__________. 三、解答题 11．已知，且是第三象限角，求和． 12．化简： (1)； (2). 【考点3 诱导公式】 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 2．化简：（   ） A． B． C． D． 3．若，则（   ） A． B． C． D． 4．利用诱导公式，（   ） A． B． C． D． 5．若，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知是角的终边上一点，则_______. 7．的值是 ___________ . 8．已知，则________． 9．计算：=________ 10．化简：________. 三、解答题 11．已知，且． (1)求； (2)求． 12．已知． (1)求的值； (2)求的值 【考点1 任意角的三角函数】 一、单选题 1．如果点是角终边上的一点，且，那么实数的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 2．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．的值是（   ） A． B． C． D． 4．已知角的终边上一点，且，则的值为（   ） A．4 B． C． D．以上都不对 5．已知角的终边经过点，且，则m等于（   ）. A． B．3 C． D． 二、填空题 6．若，且，则是第 ________ 象限的角 7．已知，，则_____. 8．若单位圆上角对应点为，则______. 9．已知角的终边与单位圆的交点为 ，则__________. 10．在平面直角坐标系中，若角θ的终边过点，则__________ 三、解答题 11．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为.求： (1)的值； (2)角的终边与单位圆的交点的坐标. 12．已知角的终边经，求角的正弦、余弦、正切值. 【考点2 同角三角函数的基本关系】 一、单选题 1．已知是第一象限角，，则（ ） A． B． C． D． 2．若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 4．已知 是第三象限角，则 的值为（     ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 6．已知，则__________. 7．已知为第二象限角，且，则_________； 8．对化简可得________． 9．已知在第三象限，且，则______. 10．已知，则________. 三、解答题 11．已知，且为第二象限角，求与的值． 12．已知，求  要求写出两种解法. 【考点3 诱导公式】 一、单选题 1．若，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．若，则（  ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C．3 D． 5．如果，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知，则__________． 7．始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则=_________. 8．已知，为第四象限角，则_______. 9．若，则的值为____________. 10．已知点在的终边上，则___________；___________. 三、证明题 11．已知，求证：. 12．已知，求证：． 1.（2026·内蒙古·真题T04）已知，，则角所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.（2025·内蒙古·真题T09）若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3.（2024·内蒙古·真题T04）已知，，则（ ） A. 或 B. C. D. 4.（2023·内蒙古·真题T06）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，其中，则（ ） A. B. C. D. 5.（2022·内蒙古·真题T04）已知，，则（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题11 任意角的三角函数 【考点1 任意角三角函数】 一、单选题 1．已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，且， 所以，解得. 故选：C. 2．若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用终边上的点求三角函数值即可. 【详解】角的终边经过点，则； 故选：C. 3．已知，且，则θ为第（    ）象限角． A．一或二 B．二或四 C．二或三 D．三或四 【答案】D 【分析】根据象限角的三角函数值的正负及轴线角的三角函数值即可得解. 【详解】由，可知θ为第三、四象限角或终边落在y轴的非正半轴， 又因为， 所以θ为第三或四象限角. 故选：D 4．已知点是角的终边上一点，且，则y的值为（    ） A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义列式求解，注意三角函数符号的判断. 【详解】由点是角的终边上一点， 则， 又因为，则， 解得， 又由，则角为第一、二象限的角， 则. 故选：B. 5．角终边过点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的三角函数的定义求解即可. 【详解】因为角终边过点，则， 所以. 故选：B. 二、填空题 6．________. 【答案】/ 【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】. 故答案为：. 7．设点在角的终边上，则_________，_________. 【答案】 【分析】根据终边上的点坐标，计算三角函数值. 【详解】计算点P到原点O，. 根据三角函数的定义，. . 故答案为：，. 8．______． 【答案】 【分析】求出特殊角的三角函数值，即可求得结果. 【详解】 原式. 故答案为： 9．若角的终边上有一点，则的值是___________. 【答案】 【分析】根据正切函数求出终边上点的纵坐标即可解得. 【详解】由正切函数的定义可得， 则， 故答案为：. 10．角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，若点在角的终边上，则______． 【答案】/ 【分析】根据题意，结合任意角的三角函数的定义，即可求解. 【详解】因为角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上， 所以. 故答案为：. 三、解答题 11．已知角的终边上一点，求、和的值. 【答案】 【分析】根据任意角的三角函数的定义逐个求值即可. 【详解】已知角的终边上一点， 得，，则， 则， . . 12．已知角的终边经过点，且，求的值. 【答案】 【分析】根据三角函数的定义列式求解即可. 【详解】因为角的终边经过点，且， 所以由三角函数的定义可得，即，解得， 所以，，， 所以， 【考点2 同角三角函数基本关系】 一、单选题 1．已知，则的值为（        ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的基本关系,即可化简求解. 【详解】解:由, 得. 故选: C 2．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的平方关系结合角的取值范围即可求解. 【详解】， 因为， 所以， 故选：A 3．已知，且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的平方关系可求解的值，再应用商数关系即可求解. 【详解】因为，且是第二象限角， 所以， 所以. 故选:B. 4．已知，角在第一象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系，及三角函数在各象限的符号，即可求解. 【详解】因为，角在第一象限， 所以. 故选：B. 5．已知，则等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系，即可求解. 【详解】因为，所以， 即， 解得. 故选：B. 二、填空题 6．已知，且α是第二象限角，则=_______． 【答案】/ 【分析】由同角三角函数得基本关系即可求解. 【详解】因为，且α是第二象限角， 由得， 所以. 故答案为：. 7．若，且，则角的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据同角三角函数基本关系式及象限角三角函数的符号即可得解. 【详解】因为， 所以，则， 所以角的取值范围是， 故答案为：. 8．已知，且是第二象限角，则_______ 【答案】/ 【分析】利用同角三角函数基本关系式可求. 【详解】由题意知，则，，； 因为是第二象限角；. 故答案为：. 9．已知则________________. 【答案】/0.25 【分析】根据同角三角函数的基本关系，化简求值，即可. 【详解】原始分子分母除以， 原式， 又因为 所以. 故答案为：. 10．已知，则的值为__________. 【答案】/ 【分析】由求出，再由三角函数的同角关系齐次化计算即可. 【详解】∵，则， ∴， ； 分子分母同除以； 原式. 故答案为：. 三、解答题 11．已知，且是第三象限角，求和． 【答案】 ， 【分析】根据同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为，且是第三象限角， 所以，则， 所以. 12．化简： (1)； (2). 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）应用同角三角函数平方关系化简即可. （2）应用同角三角函数的商数关系化简即可. 【详解】（1）因为， 所以， . （2）因为， 所以 . 【考点3 诱导公式】 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将角转化成，再利用诱导公式以及特殊角的三角函数值，求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 2．化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式即可得解. 【详解】， 故选：. 3．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式求出，再根据同角三角函数之间的关系即可解得. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 4．利用诱导公式，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式求解即可. 【详解】由诱导公式，. 故选：A. 5．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式以及同角的三角函数的基本关系，进行化简求值，即可求解. 【详解】∵， ∴， 又∵，， ∴. 故选：C. 二、填空题 6．已知是角的终边上一点，则_______. 【答案】 【分析】根据三角函数的定义可得，由诱导公式即可求解. 【详解】由于是角的终边上一点，所以， 故， 故答案为：. 7．的值是 ___________ . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式求值即可. 【详解】. 故答案为：. 8．已知，则________． 【答案】/ 【分析】根据诱导公式及同角三角函数的基本关系可求解. 【详解】因为，所以， 从而，解得. 故答案为： 9．计算：=________ 【答案】/0.5 【分析】利用诱导公式可求解 【详解】； 故答案为：. 10．化简：________. 【答案】 【分析】由三角函数诱导公式进行化简即可. 【详解】 . 故答案为：. 三、解答题 11．已知，且． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）同角三角函数的基本关系，即可求解. （2）利用诱导公式，进行化简，再根据同角三角函数的基本关系，即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以. （2）， 因为， 所以. 12．已知． (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的范围，判断正弦值为正，再根据同角三角函数的平方关系得到正弦值，即可求解. （2）根据诱导公式化简，即可求解. 【详解】（1）∵，∴. 而，且，代入得到. 所以，得到，即. ∴. （2）. 【考点1 任意角的三角函数】 一、单选题 1．如果点是角终边上的一点，且，那么实数的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义建立等式求解即可. 【详解】点是角终边上的一点，且， 可化为，解得. 故选：C. 2．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义来求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 则. 故选：D. 3．的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】. 故选：C. 4．已知角的终边上一点，且，则的值为（   ） A．4 B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】利用三角函数中的计算公式结合已知条件即可求解. 【详解】因为角的终边上一点， 则得，解得. 故选：C. 5．已知角的终边经过点，且，则m等于（   ）. A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义易得答案. 【详解】因为角的终边经过点，且， 所以， 所以， 所以，所以， 解得. 故选：B. 二、填空题 6．若，且，则是第 ________ 象限的角 【答案】二 【分析】根据各象限角的三角函数值的符号规则可判断结果. 【详解】由，可知是第二、四象限角， 由，可知是第一、二象限角或终边落在轴的正半轴， 综上所述，是第二象限角. 故答案为：二 7．已知，，则_____. 【答案】 【分析】根据正弦函数的性质和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为，且， 得到 故答案为： 8．若单位圆上角对应点为，则______. 【答案】/ 【分析】根据单位圆上点的纵坐标就是对应角的正弦值求解即可. 【详解】因为单位圆上角对应点为，所以. 故答案为：. 9．已知角的终边与单位圆的交点为 ，则__________. 【答案】/ 【分析】根据三角函数定义易得答案. 【详解】因为角α的终边与单位圆的交点为，则，， 则. 故答案为：. 10．在平面直角坐标系中，若角θ的终边过点，则__________ 【答案】/ 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得的值即可求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以. 故答案为：. 三、解答题 11．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为.求： (1)的值； (2)角的终边与单位圆的交点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据终边上的点到原点的距离，结合三角函数的定义求解. （2）根据已知设交点坐标，结合三角函数求解. 【详解】（1）点到原点的距：得，， 由三角函数定义， . （2）由已知得，角的终边与单位圆的交点的坐标为 由（1）得，，又角在第四象限， 所以. 故交点的坐标为. 12．已知角的终边经，求角的正弦、余弦、正切值. 【答案】，，. 【分析】根据题意求出值，代入三角函数的定义即可得解. 【详解】角的终边经，, 所以，，. 【考点2 同角三角函数的基本关系】 一、单选题 1．已知是第一象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系式求解即可； 【详解】因为是第一象限角，，由平方关系得. 故选：B． 2．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的基本关系式即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3．若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用商数关系的分式变形，求解即可. 【详解】分子分母同除以，得； 得，即. 故选：A. 4．已知 是第三象限角，则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系式进行化简求解. 【详解】由同角三角函数的基本关系式可得 因为是第三象限角 所以 所以 则 故选：B. 5．已知，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据题意利用弦切互化化简齐次式即可得解. 【详解】因为， 则， 故选：. 二、填空题 6．已知，则__________. 【答案】 【分析】将原式的分子和分母同除，构造，代入正切值即可求解. 【详解】因为，所以， 所以将原式分子分母同除可得，. 故答案为：. 7．已知为第二象限角，且，则_________； 【答案】/0.5 【分析】根据同角三角函数的平方关系求解即可. 【详解】因为为第二象限角，且， 所以. 故答案为:. 8．对化简可得________． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系化简即可. 【详解】因为，所以5弧度属于第四象限，所以， 所以. 故答案为：. 9．已知在第三象限，且，则______. 【答案】/ 【分析】利用商数与平方关系的综合应用，求解即可. 【详解】由，得； 代入平方关系，得， 即，； 因在第三象限，，故. 故答案为：. 10．已知，则________. 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】，所以，即. 则. 故答案为：. 三、解答题 11．已知，且为第二象限角，求与的值． 【答案】；. 【分析】根据同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为，且为第二象限角， 由，则， 所以. 12．已知，求  要求写出两种解法. 【答案】 【分析】解法一：根据齐次式法将表达式转换为正切的形式，即可求解； 解法二：将化切为弦，再利用分别求出，即可求解. 【详解】解法一：因为， 所以， 解法二：因为，所以， 又，代入， 得到，即或， 当时，；， 当时，；， 综上，原式. 【考点3 诱导公式】 一、单选题 1．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系以及象限角的三角函数值，即可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 由同角三角函数的基本关系可知， 又因为， 所以. 故选：B. 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式进行化简，结合特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】， 故选：. 3．若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数诱导公式直接计算. 【详解】由三角函数诱导公式，可得 ， 故选：A. 4．已知，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式结合同角三角函数间的关系化简计算即可解得. 【详解】由得， 即，则. 故选：D. 5．如果，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式即可得解. 【详解】∵，∴. ∴，故选项错误，选项正确. ，故选项错误. ，故选项错误. 故选:. 二、填空题 6．已知，则__________． 【答案】 【分析】利用三角函数诱导公式分别化简分子、分母中的三角函数式，再结合同角三角函数的商数关系约分计算结果. 【详解】由诱导公式可得：；；. 故原式 . 故答案为：. 7．始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则=_________. 【答案】/0.8 【分析】根据三角函数的定义和诱导公式易得答案. 【详解】始边与轴的正半轴重合的角的终边过点， 则， 故. 故答案为：. 8．已知，为第四象限角，则_______. 【答案】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数间的关系结合角所在象限即可解得. 【详解】因为，所以，又知为第四象限角， 则，所以， 所以. 故答案为： 9．若，则的值为____________. 【答案】 【分析】根据题意结合诱导公式求出，将所求式子利用诱导公式进行化简即可得解. 【详解】因为，即， 则， 故答案为：. 10．已知点在的终边上，则___________；___________. 【答案】 【分析】利用三角函数的定义结合诱导公式可求得结果. 【详解】由三角函数的定义可得，. 故答案为：；. 三、证明题 11．已知，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】先由角的范围判断三角函数值的符号，再利用三角函数的基本关系式与诱导公式化简即可得证. 【详解】因为，所以， 所以 ， 证毕. 12．已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数基本关系式，三角函数在各个象限内的符号易证答案. 【详解】证明：左边式子            右边式子     1.（2026·内蒙古·真题T04）已知，，则角所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先利用诱导公式化简得  且 ，再判断角所在的象限即可. 【详解】因为，， 所以角在第二象限. 故选：B. 2.（2025·内蒙古·真题T09）若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由诱导公式化简已知等式，得出，由同角三角函数平方关系求出，再由余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由，可得，即， 根据同角三角函数平方关系，将代入得， ，解得， 所以. 故选：A. 3.（2024·内蒙古·真题T04）已知，，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式求出的值，再由的范围和特殊角的三角函数值即可解答. 【详解】已知， 所以，所以为象限角第二或者第三象限角， 即， ， 则时，；时，； 即， 故选：B. 4.（2023·内蒙古·真题T06）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由方程有两个相等的实数根求解判别式，再由与的关系求解即可. 【详解】因为方程有两个相等的实数根， 所以有， 即，所以有， 因为，所以， 所以，即， ， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 5.（2022·内蒙古·真题T04）已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据诱导公式求出，进而求解的值，即可求出的值. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以. 故选:C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $