专题11 任意角的三角函数（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题11 任意角的三角函数 ( 【复习目标】 理解 任意角的三角函数定义 ； 能利用单位圆定义任意角的正弦、余弦、正切 ； 熟记各象限三角函数值的符号( “ 一全正，二正弦，三正切，四余弦 ” ) ； 熟记 特殊角的三角函数值 ， 能快速求值 ； 能利用 同角三角函数基本关系 求三角函数值. 掌握平方关系和商数关系，能进行求值与化简。 注意利用象限符号对开方或求值结果进行取舍。 ) 【考点1 任意角三角函数】 1.任意角的三角函数 设是任意大小的角，点为角的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为，那么角的正弦、余弦、正切分别定义为 ；；． 2.三角函数值的符号 如图所示： 简记口诀为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3.特殊角的三角函数值 0 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 【即时训练】 一、单选题 1．若与异号，则是（   ） A．第四象限角 B．第一象限角 C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】D 【分析】根据各象限角的三角函数符号即可求解. 【详解】因为正弦和余弦异号，则当正弦为正，余弦为负时，角的终边在第二象限， 或当正弦为负，余弦为正时，角的终边在第四象限. 故选：D. 2．已知角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据特殊角的三角函数值得出结果. 【详解】由题意，， 故选：D. 3．是三角形的一个内角，则下列三角函数值中，只能取正值（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据角的范围判断三角函数的符号即可. 【详解】因为是三角形的一个内角，所以， 当时，恒成立； 当时，，当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，无意义. 故选：A. 4．在中，，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意分析可得三角形各内角的余弦乘积为负，则必有一个为负即可判断 【详解】∵在中，， ∴中必有一个小于0，即必有一个角大于90°且小于180°， ∴该三角形是钝角三角形 故选：. 5．若，则角的终边在（    ） A．第二象限 B．第二象限或第四象限 C．第四象限 【答案】B 【分析】根据三角函数式在各象限的符号规律可得结果. 【详解】不等式可转化为或， 所以角的终边在第二象限或第四象限. 故选：B 二、填空题 6．角的终边过点，则点到原点的距离______. 【答案】13 【分析】根据任意角的三角函数的定义求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以. 故答案为：. 7．单位圆上点对应角的余弦值是______. 【答案】/0.5 【分析】根据单位圆中横坐标就是余弦值求解即可. 【详解】单位圆上点对应角的余弦值是. 故答案为：. 8．若角的终边经过点 ，则_________ 【答案】 【分析】根据任意角三角函数的定义求值即可. 【详解】角的终边经过点 ， 则， 所以 故答案为：. 9．若是第四象限角，则 _____ (用“”或“”填空) 【答案】< 【分析】根据象限角的三角函数值的符号即可得解. 【详解】是第四象限角，则，， 则， 故答案为：. 10．计算：________． 【答案】 【分析】根据题意，结合特殊角的三角函数值，即可代入求解. 【详解】，，， ． 故答案为：. 三、解答题 11．已知单位圆上角的终边经过点. (1)求； (2)判断角的终边所在象限. 【答案】(1) (2)第二象限 【分析】（1）根据单位圆上点的纵坐标就是对应角的正弦值，横坐标就是对应角的余弦值求解即可； （2）根据三角函数值在各象限的符号判断即可. 【详解】（1）因为单位圆上角的终边经过点，所以. （2）因为，所以角的终边在第二象限. 12．已知角的终边过点，求角的三个三角函数值． 【答案】． 【分析】根据题意，结合三角函数的定义，即可求解. 【详解】解：由角的终边过点，可得点与原点的距离， 根据三角函数的定义，可得． 【考点2 同角三角函数的关系】 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tan α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 1．由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式： （1）sin2α＋cos2α＝1； （2）＝tanα． 2．同角三角函数的关系式的基本用途： （1）根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值； （2）化简同角的三角函数式； （3）证明同角的三角恒等式． 3．sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之间的关系 （1）(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α； （2） (sinα－cosα)2＝1－sin2α； （3）(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2； （4）(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝2sin2α. 【即时训练】 一、单选题 1．已知 ，且α是第四象限的角，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的平方关系求出的值，再由同角三角函数的商数关系求出的值即可. 【详解】已知 ，且α是第四象限的角， 则， 所以， 故选：B. 2．已知α是第四象限角，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方关系可知结果. 【详解】α是第四象限角，所以， 又，所以. 故选：A 3．设是第三象限角，则的值是（    ） A．1 B． C． D．以上都不是 【答案】B 【分析】由同角三角函数的基本公式即可得解. 【详解】∵是第三象限角，∴， ∴， ∴. 故选：B. 4．若是三角形的一个内角，且，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】由同角三角函数关系，求出，再根据条件判断符号即可. 【详解】因为，， 所以， 又因为是三角形的一个内角， 所以，即. 故选：. 5．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用弦化切的方法，将分式同时除以，得，代入即可得解. 【详解】将分式同时除以，原式， 因为，所以原式. 故选：A. 二、填空题 6．若，且是第二象限的角，则__________. 【答案】/ 【分析】由三角函数的基本关系即可求解. 【详解】由，得：，即， 又是第二象限的角，所以， 即. 故答案为：. 7．若，则_______． 【答案】2 【分析】根据题意，结合正、余弦齐次式的化简，即可求解. 【详解】因为， 所以． 故答案为：2． 8．________． 【答案】0 【分析】根据同角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】. 故答案为：0. 9．______. 【答案】 【分析】由同角三角函数基本关系式即可得解. 【详解】由公式可知. 故答案为:. 10．化简：______． 【答案】 【分析】将已知代数式化简结合即可求解. 【详解】, 故答案为： 三、解答题 11．已知，求的值． 【答案】， 【分析】由同角的三角函数的商数关系和平方关系求解即可. 【详解】因为， 所以， ． 12．已知为第二象限角，且. (1)求与的值； (2)求的值. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）根据题意,由得,再根据同角三角函数平方关系,求出,进而即可求出. （2）根据题意及（1）的结论,化简即可求出. 【详解】（1）, , , 又为第二象限角,故,故,. （2）根据题意及（1）得 . 【考点3 诱导公式】 1．诱导公式的内容： 公式一 sin(α＋2kπ)＝sin α， cos(α＋2kπ)＝cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. 终边关系 图示 公式 公式二 角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α 公式三 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α 公式四 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α 2．诱导公式的规律： 三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称不变．“符号看象限”是把α当成锐角时，原三角函数式中的角 所在象限原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数． 3．诱导公式的作用： 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是： 【即时训练】 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，求解即可. 【详解】. 故选：A. 2．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合三角函数诱导公式，及特殊角的三角函数值，求解即可. 【详解】. 故选：A. 3．若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据诱导公式和同角三角函数的关系即可求解. 【详解】， 得， 又因为， 所以. 故选：C 4．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式求出，再根据同角三角函数的平方关系求值即可. 【详解】因为，， 所以，，， 所以. 故选：B. 5．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式及同角三角函数基本关系式即可得解. 【详解】 故选:. 二、填空题 6．__________． 【答案】 【分析】根据诱导公式以及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】. 故答案为：. 7．计算：__________ 【答案】/ 【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值可求解. 【详解】. 故答案为： 8．__________. 【答案】/ 【分析】由题意根据终边相同的角及诱导公式求解. 【详解】， 故答案为：． 9．化简___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式化简作答. ， 故答案为： 10．若，则______. 【答案】 【分析】利用诱导公式化简求值即可. 【详解】 . 故答案为： 三、解答题 11．若是第四象限角，且. (1)求和的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式以及同角三角函数的平方关系求解. （2）根据三角函数的诱导公式求解即可. 【详解】（1）， 因为是第四象限角，所以. 所以. （2）. 12．已知，求的值． 【答案】 【分析】利用同角三角函数基本关系式和诱导公式易得答案. 【详解】 ，         1.（2026·内蒙古·真题T04）已知，，则角所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先利用诱导公式化简得  且 ，再判断角所在的象限即可. 【详解】因为，， 所以角在第二象限. 故选：B. 2.（2025·内蒙古·真题T09）若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由诱导公式化简已知等式，得出，由同角三角函数平方关系求出，再由余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由，可得，即， 根据同角三角函数平方关系，将代入得， ，解得， 所以. 故选：A. 3.（2024·内蒙古·真题T04）已知，，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式求出的值，再由的范围和特殊角的三角函数值即可解答. 【详解】已知， 所以，所以为象限角第二或者第三象限角， 即， ， 则时，；时，； 即， 故选：B. 4.（2023·内蒙古·真题T06）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由方程有两个相等的实数根求解判别式，再由与的关系求解即可. 【详解】因为方程有两个相等的实数根， 所以有， 即，所以有， 因为，所以， 所以，即， ， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 5.（2022·内蒙古·真题T04）已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据诱导公式求出，进而求解的值，即可求出的值. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以. 故选:C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题11 任意角的三角函数 ( 【复习目标】 理解 任意角的三角函数定义 ； 能利用单位圆定义任意角的正弦、余弦、正切 ； 熟记各象限三角函数值的符号( “ 一全正，二正弦，三正切，四余弦 ” ) ； 熟记 特殊角的三角函数值 ， 能快速求值 ； 能利用 同角三角函数基本关系 求三角函数值. 掌握平方关系和商数关系，能进行求值与化简。 注意利用象限符号对开方或求值结果进行取舍。 ) 【考点1 任意角三角函数】 1.任意角的三角函数 设是任意大小的角，点为角的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为，那么角的正弦、余弦、正切分别定义为 ；；． 2.三角函数值的符号 如图所示： 简记口诀为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3.特殊角的三角函数值 0 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 【即时训练】 一、单选题 1．若与异号，则是（   ） A．第四象限角 B．第一象限角 C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角 2．已知角，则（   ） A． B． C． D． 3．是三角形的一个内角，则下列三角函数值中，只能取正值（   ） A． B． C． D．以上都不对 4．在中，，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5．若，则角的终边在（    ） A．第二象限 B．第二象限或第四象限 C．第四象限 二、填空题 6．角的终边过点，则点到原点的距离______. 7．单位圆上点对应角的余弦值是______. 8．若角的终边经过点 ，则_________ 9．若是第四象限角，则 _____ (用“”或“”填空) 10．计算：________． 三、解答题 11．已知单位圆上角的终边经过点. (1)求； (2)判断角的终边所在象限. 12．已知角的终边过点，求角的三个三角函数值． 【考点2 同角三角函数的关系】 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tan α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 1．由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式： （1）sin2α＋cos2α＝1； （2）＝tanα． 2．同角三角函数的关系式的基本用途： （1）根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值； （2）化简同角的三角函数式； （3）证明同角的三角恒等式． 3．sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之间的关系 （1）(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α； （2） (sinα－cosα)2＝1－sin2α； （3）(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2； （4）(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝2sin2α. 【即时训练】 一、单选题 1．已知 ，且α是第四象限的角，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知α是第四象限角，且，则等于（   ） A． B． C． D． 3．设是第三象限角，则的值是（    ） A．1 B． C． D．以上都不是 4．若是三角形的一个内角，且，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 5．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若，且是第二象限的角，则__________. 7．若，则_______． 8．________． 9．______. 10．化简：______． 三、解答题 11．已知，求的值． 12．已知为第二象限角，且. (1)求与的值； (2)求的值. 【考点3 诱导公式】 1．诱导公式的内容： 公式一 sin(α＋2kπ)＝sin α， cos(α＋2kπ)＝cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. 终边关系 图示 公式 公式二 角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α 公式三 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α 公式四 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α 2．诱导公式的规律： 三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称不变．“符号看象限”是把α当成锐角时，原三角函数式中的角 所在象限原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数． 3．诱导公式的作用： 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是： 【即时训练】 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 2．的值为（   ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D．3 4．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．__________． 7．计算：__________ 8．__________. 9．化简___________． 10．若，则______. 三、解答题 11．若是第四象限角，且. (1)求和的值； (2)求的值. 12．已知，求的值． 1.（2026·内蒙古·真题T04）已知，，则角所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.（2025·内蒙古·真题T09）若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3.（2024·内蒙古·真题T04）已知，，则（ ） A. 或 B. C. D. 4.（2023·内蒙古·真题T06）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，其中，则（ ） A. B. C. D. 5.（2022·内蒙古·真题T04）已知，，则（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $