第96卷 综合模拟卷（6）2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 三阶递进式训练体系下的综合模拟卷，聚焦考纲与真题，实现跨模块知识整合与应用能力提升。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|选择1-5、9、11，填空13、18，解答19、21、23|函数、数列、不等式综合应用|概念生成（集合→函数）→原理推导（二次函数性质、数列求和）→应用拓展（实际问题建模）| |几何|选择3、6、12，填空14、15、17，解答22、24|解析几何与立体几何结合|空间形式（线面角、三视图）→数量关系（椭圆方程、双曲线性质）→逻辑推理（线面平行证明、体积计算）| |概率统计|选择7|分层抽样与概率计算|数据意识（样本估计总体）→运算能力（概率求解）→应用意识（实际抽样问题）|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》 第96卷 综合模拟卷（6） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．设集合，且，则 的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．解集为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 4．若，则（　　） A． B． C． D． 5．在内，方程的解的个数是（　　） A． B． C． D． 6．某直线路径与圆形区域的关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．重合 7．某职业学校有三个年级，共有1000名学生，其中一年级有370名，若从全校学生中任意选出一名学生，则恰好选到二年级学生的概率是0.33.现计划利用分层抽样的方法，从全体学生中选出100名参加座谈会，那么需要从三年级学生中选出（    ） A．20人 B．30人 C．33人 D．60人 8．在中，已知面积，两边，则角C满足（    ） A． B． C． D． 9．等比数列中，，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 10．已知向量，且，则（    ） A． B．2 C． D． 11．已知曲线，若曲线表示椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 12．斜线长为，射影长为，线面角满足（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 13．如果 (a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含项的系数为________. 14．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上一点，则的最小值________． 15．腰长为的等腰中， ，平面，且，则点到边的距离是_________ 16．直线恒过定点________． 17．一个底面水平放置的正三棱柱的三视图中，俯视图是______形. 18．函数图象的一条对称轴方程为____________． 三、解答题:本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题8分）已知向量， (1)求的值； (2)求的值. 20．（本小题8分）在中，角所对的边分别为，已知，，. (1)求的值； (2)求角的大小. 21.（本小题10分）已知二次函数的最小值为，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设函数，若对任意的实数x，函数的图象恒在x轴的上方，求实数m的取值范围． 22．（本小题10分）已知直线与圆． (1)求经过点且与直线l平行的直线方程； (2)判断直线l与圆C是否相交，如果相交，请求出两交点间线段的长度． 23．（本小题12分）求数列前5项的和. 24．（本小题12分）如图所示，在三棱柱中，平面平面，，，，分别为，的中点，且. (1)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求三棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》 第96卷 综合模拟卷（6） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．设集合，且，则 的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据集合交集的定义，结合交集结果反推参数即可. 【详解】已知集合， 因为，所以，即， 解得，此时方程为，解得或， 即，，符合条件， 故选：D. 2．解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解含绝对值的不等式即可得解. 【详解】，解得， 即不等式的解集为，所以， 故选：. 3．已知二次函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合二次函数图象的性质即可得解. 【详解】由图象可知，抛物线开口向上，则， 对称轴在轴右侧，则，即， 图象与轴交于负半轴，则，所以，故错误； 由图象可知，，即，故错误； 当时，，即， 当时，，即， 则，故正确，错误， 故选：. 4．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算法则求解. 【详解】若， 则. 故选：B. 5．在内，方程的解的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的性质，结合角的范围求解满足条件的角. 【详解】已知，则时，， 在内，当时，；当时，， 所以在内，方程有个解， 故选：B. 6．某直线路径与圆形区域的关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．重合 【答案】C 【分析】先求出圆心到直线的距离，与半径作比较，即可判断直线与圆的关系 . 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系是相离. 故选：C. 7．某职业学校有三个年级，共有1000名学生，其中一年级有370名，若从全校学生中任意选出一名学生，则恰好选到二年级学生的概率是0.33.现计划利用分层抽样的方法，从全体学生中选出100名参加座谈会，那么需要从三年级学生中选出（    ） A．20人 B．30人 C．33人 D．60人 【答案】B 【分析】先求出三年级的学生人数，再利用分层抽样的方法求解即可. 【详解】由题意知，全校二年级学生的人数为人， 所以全校三年级学生的人数为人； 所以需要从三年级学生中选出（人）. 故选：B. 8．在中，已知面积，两边，则角C满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】已知， 则，解得. 故选：D. 9．等比数列中，，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 【答案】B 【分析】先计算等比数列的公比，再根据等比数列前项和公式计算前项和即可. 【详解】假设该等比数列的公比为， 由得， 所以该等比数列的公比为：， 故前项和. 故选：B. 10．已知向量，且，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 故选：A. 11．已知曲线，若曲线表示椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据椭圆标准方程的特点列出方程组即可得解. 【详解】曲线表示椭圆， 则，解得且， 所以的取值范围是， 故选：. 12．斜线长为，射影长为，线面角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面角的求法及同角三角函数的关系，求解即可. 【详解】因为斜线长为，射影长为， 则线面角满足，又线面角，即， 所以， 即， 所以选项C正确，选线A、B、D错误. 故选：C. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 13．如果 (a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含项的系数为________. 【答案】 【分析】根据题意，结合二项式系数的性质，先求出a的值，结合二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为 (a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0， 令，则，所以， 所以， 所以展开式中含的项为. 故展开式中含项的系数为. 故答案为：. 14．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上一点，则的最小值________． 【答案】 【分析】设出点的坐标，然后通过向量内积的坐标运算得到的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】对于双曲线方程，可得，，则， 那么左顶点，右焦点， 因为P为双曲线右支上一点，设（）， 所以，即， 则，， 可得： ， 令（），函数图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 则在处取得最小值，最小值为， 则的最小值为， 故答案为：. 15．腰长为的等腰中， ，平面，且，则点到边的距离是_________ 【答案】3 【分析】由平面，运用线面垂直的判定定理得出平面，找出到的距离为，再结合长度计算即可. 【详解】在等腰中，，腰长. 根据勾股定理，可得， 过点作于点， 是等腰直角三角形，底边上的高等于底边的一半， 为中点，则， ， 又知平面，平面，可得， 又，，，平面， 平面. 平面，平面， ，即为点到边的距离， 在中，，根据勾股定理， 可得，，即点到边的距离是.    故答案为：. 16．直线恒过定点________． 【答案】 【分析】将直线进行变换，得到关于m的方程，即可求解. 【详解】由题意知直线， 所以， 联立， 解得、， 所以直线恒过定点. 故答案为：. 17．一个底面水平放置的正三棱柱的三视图中，俯视图是______形. 【答案】正三角 【分析】根据题意，结合正三棱柱的几何结构特征，及几何体的三视图，即可求解. 【详解】底面水平放置的正三棱柱的俯视图是正三角形（与正三棱柱的底面三角形全等）. 故答案为：正三角. 18．函数图象的一条对称轴方程为____________． 【答案】 【分析】根据正弦函数的对称性即可得解. 【详解】对于函数， 令，得， 令，则， 可得函数的图象的一条对称轴方程为， 故答案为：. 三、解答题:本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题8分）已知向量， (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，及向量的模的坐标表示，即可求解； （2）根据题意，结合向量夹角的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）因为向量， 所以， 所以； （2）因为向量，所以， 所以， 所以. 20．（本小题8分）在中，角所对的边分别为，已知，，. (1)求的值； (2)求角的大小. 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据正弦定理代入求解即可. （2）根据特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】（1）由正弦定理， 得. （2）因为，所以， 又，所以或. 若，则，成立； 若，则，成立. 21.（本小题10分）已知二次函数的最小值为，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设函数，若对任意的实数x，函数的图象恒在x轴的上方，求实数m的取值范围． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意求出顶点坐标，设出顶点式方程，利用即可得解. （）根据题意整理的解析式，令即可得解. 【详解】（1）二次函数的最小值为，， 则函数的对称轴为，所以顶点坐标为， 设二次函数解析式为， 因为，解得， 所以，整理得. （2）函数， 则函数的图像为开口向上的抛物线， 若对任意的实数x，函数的图象恒在x轴的上方， 则， 解得， 所以实数m的取值范围. 22．（本小题10分）已知直线与圆． (1)求经过点且与直线l平行的直线方程； (2)判断直线l与圆C是否相交，如果相交，请求出两交点间线段的长度． 【答案】(1) (2)相交， 【分析】（1）根据两直线平行设出方程，再根据直线过点求出直线方程. （2）首先求出圆的圆心以及半径，再求出圆心到直线的距离，判断是否相交.再根据弦长公式求出长度即可. 【详解】（1）由题意可设所求直线方程为. 又直线经过点，所以，. 所以所求直线方程为. （2）直线与圆C相交，理由如下： 圆的方程可化为. 所以圆心为，半径． 圆心为到直线的距离． 显然，即，所以直线l与圆C相交． 两交点间的距离为：. 23．（本小题12分）求数列前5项的和. 【答案】 【分析】先将数列拆分为整数部分和分数部分，再分别求出整数部分和分数部分的前项和，最后将两部分的和相加. 【详解】该数列的整数部分为，记作数列， 是一个首项，公差的等差数列， 该数列的分数部分为，记作数列， 是一个首项，公比的等比数列， 根据等差数列求和公式可得， 根据等比数列求和公式可得. 则该数列的前5项的和为. 24．（本小题12分）如图所示，在三棱柱中，平面平面，，，，分别为，的中点，且. (1)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)存在，点与点重合，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，连接，结合线面平行的判定定理，即可证明； （2）根据题意，结合面面垂直的性质定理可推出为三棱锥的高，结合棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】（1） 存在，当点与点重合时平面. 证明如下：连接，，分别为，的中点， ，且，可得四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面，即平面； （2）平面平面，且平面平面， 又，平面， 平面，则为三棱锥的高， 在中，，，则， 为的中点，， . 即三棱锥的体积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $