第95卷 综合模拟卷（5）2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 三阶递进式训练体系，基础层拆解考点、巩固层强化综合、应用层聚焦真题，系统整合中职数学核心知识 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-6题|集合、不等式、函数等基础概念辨析与简单应用|概念生成→性质应用，体现数学抽象能力| |综合应用|选择7-12题、填空13-18题|跨章节知识综合（如立体几何与解析几何）、空间想象与数据处理|单一知识→综合关联，发展空间观念与数据意识| |复杂问题|解答19-24题|数列、向量、圆锥曲线等多步骤推理与数学建模|问题情境→数学抽象与模型构建，培养推理能力与应用意识|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》 第95卷 综合模拟卷（5） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知不等式的解集为，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．若一次函数在上为增函数，则应满足（　　） A． B． C． D． 4．已知，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．过点，且与直线平行的直线方程为（ ） A． B． C． D． 7．若一个几何体的三视图如图所示，则组成该组合体的简单几何体是（    ）    A．四棱柱和圆锥 B．长方体和圆柱 C．圆柱和圆锥 D．正方体和圆锥 8．随礼抛掷两枚质地均匀的骰子，则“得到的两个点数中，其中一个点数能整除另一个点数”的事件概率为（   ） A． B． C． D． 9．的实部为，则（　　） A． B． C． D． 10．现有甲、乙、丙、丁四名运动员争夺铅球、长跑、跳远三项冠军，则甲包揽三项冠军的概率等于（   ） A． B． C． D． 11．若直线与椭圆相交于两点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 12．若m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 13．若不等式的解集为，则的取值范围是__________. 14．已知圆：，直线恒过点若直线的倾斜角为，且与圆相交于，两点，则（点为圆的圆心）的面积为______． 15．若，则______. 16．以抛物线的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是__________； 17．已知三棱柱，D，E，F分别是棱的中点，则平面与平面的位置关系是_______. 18．已知函数则当时，函数值域为____________. 三、解答题:本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题8分）在等差数列中，已知，，求及. 20．（本小题8分）已知向量，满足，，，，的夹角为. (1)求； (2)若，求实数. 21．（本小题10分）已知圆的圆心坐标为，圆上一点． (1)求圆的标准方程； (2)求过点A的圆的切线方程． 22．（本小题10分）在中，已知，，. (1)求边的长度； (2)求的面积. 23．（本小题12分）已知抛物线的准线方程为，焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，延长交准线于点，且已知，点在第一象限. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的斜率； (3)连接，求的面积. 24．（本小题12分）已知多面体中，平面，，，，为中点.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》 第95卷 综合模拟卷（5） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简集合，再求并集即可. 【详解】集合，且， 所以. 故选：C. 2．已知不等式的解集为，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意可知的解为或，将代入方程中即可得解. 【详解】不等式的解集为， 所以的解为或， 将代入方程中得，解得， 故选：. 3．若一次函数在上为增函数，则应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的单调性求解. 【详解】若一次函数在上为增函数，则斜率，所以. 故选：A. 4．已知，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】 ， 由得，即. 故选：A. 5．已知 ，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为在上单调递增， 则，即， 因为在上单调递减， 所以，即， 因为在上为增函数， 所以， 综上所述得. 故选：B. 6．过点，且与直线平行的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直线平行的条件设出直线方程，再将点代入求解即可. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为过点，则，解得， 所以过点且与直线平行的直线方程为. 故选：A. 7．若一个几何体的三视图如图所示，则组成该组合体的简单几何体是（    ）    A．四棱柱和圆锥 B．长方体和圆柱 C．圆柱和圆锥 D．正方体和圆锥 【答案】A 【分析】根据四棱柱和圆锥结构特征和三视图特征求解即可. 【详解】由三视图可知，该组合体的上部分为圆锥，下部分为四棱柱，如图，    故选：A． 8．随礼抛掷两枚质地均匀的骰子，则“得到的两个点数中，其中一个点数能整除另一个点数”的事件概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型的概率公式求解. 【详解】随机抛掷两枚骰子的点数，其结果共有36种， 而“其中一个点数能整除另一个点数”的情况共有22种，分别是： ， ， 则“得到的两个点数中，其中一个点数能整除另一个点数”的事件概率为． 故选：D． 9．的实部为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的概念以及复数的运算即可求解. 【详解】由题意得，， 因为虚数的实部为，所以，解得. 故选：B. 10．现有甲、乙、丙、丁四名运动员争夺铅球、长跑、跳远三项冠军，则甲包揽三项冠军的概率等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合古典概型的公式即可得解. 【详解】四名同学争夺冠军有种，甲包揽三项冠军有1种，所求概率为， 故选：. 11．若直线与椭圆相交于两点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先联立直线与椭圆方程，求出交点坐标的关系，再利用弦长公式计算弦长. 【详解】联立直线与椭圆的方程，消去得， 解得，，从而，， 不妨取，， 则弦长， 故选：A. 12．若m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系及相关判定定理和性质定理对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】选项A，若，，此时直线与平面可能相交，可能平行，也可能， 直线与平面不一定垂直，所以该选项错误， 选项B，∵直线平面，∴总可以过作一平面与平面相交，设交线为l， 由线面平行的性质定理可知，而，∴， 又，∴，所以该选项正确，    选项C，若，，则平面与平面可能平行，也可能相交，所以不一定有，该选项错误， 选项D，若，，，则平面与平面可能平行，也可能相交，所以不一定有，该选项错误， 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 13．若不等式的解集为，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据题意令即可得解. 【详解】不等式的解集为， 则，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 14．已知圆：，直线恒过点若直线的倾斜角为，且与圆相交于，两点，则（点为圆的圆心）的面积为______． 【答案】 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标与半径，利用直线的点斜式方程求出直线方程，结合点到直线距离公式及弦长公式即可求解. 【详解】    圆：，圆心坐标为，半径为， 直线恒过点若直线的倾斜角为，所以斜率为， 所以直线方程为，化为一般式方程为， 直线与圆相交于，两点， 则圆心到直线的距离为，， 则的面积为， 故答案为：. 15．若，则______. 【答案】 【分析】根据两角和的正切公式求解. 【详解】若， 则， 故答案为：. 16．以抛物线的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是__________； 【答案】 【分析】根据抛物线的焦点得到圆心，然后利用直线与圆相切计算点到直线的距离得到半径，最后可得结果. 【详解】由题可知：抛物线，即，所以焦点坐标为C， 点到直线的距离为， 所以所求的圆的方程为. 故答案为： 17．已知三棱柱，D，E，F分别是棱的中点，则平面与平面的位置关系是_______. 【答案】平行 【分析】利用线面平行与面面平行的判定定理即可得解. 【详解】，，分别为，，的中点，   ，，又平面，⊄平面，平面， 同理可证，平面，又平面，平面，且， 所以平面平面. 故答案为：平行. 18．已知函数则当时，函数值域为____________. 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性求出函数的值域即可. 【详解】由已知得，其对称轴为， 所以函数在区间上为增函数，在区间上为减函数， 即当时，函数有最大值；当时，函数有最小值，因此所求的值域为. 故答案为：. 三、解答题:本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题8分）在等差数列中，已知，，求及. 【答案】，. 【分析】根据题意利用等差数列的通项公式及求和公式求出首项及公差即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 则，解得， 所以， . 20．（本小题8分）已知向量，满足，，，，的夹角为. (1)求； (2)若，求实数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知的模长和夹角求出，再根据向量模长的平方等于向量自身的平方求解； （2）根据向量垂直的性质，建立关于的方程，求解即可. 【详解】（1）， 又，， ， . （2），， ， 又∵， ，解得. 21．（本小题10分）已知圆的圆心坐标为，圆上一点． (1)求圆的标准方程； (2)求过点A的圆的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据两点的距离求出半径，即可求得圆的标准方程. （2）由题意，结合斜率的公式先求出直线的斜率，根据两直线垂直斜率之间的关系求得切线的斜率，继而求得切线的点斜式方程，继而得解. 【详解】（1）因为圆的圆心坐标为，圆上一点 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为. （2）因为点在圆上，直线的斜率， 所以过点的圆的切线的斜率为， 所以过点的圆的切线方程为，即． 22．（本小题10分）在中，已知，，. (1)求边的长度； (2)求的面积. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意利用余弦定理即可得解. （）根据同角三角函数基本关系式求出的值，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由余弦定理可知，， 所以. （2）因为，且为三角形内角，即， 所以， 三角形面积. 23．（本小题12分）已知抛物线的准线方程为，焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，延长交准线于点，且已知，点在第一象限. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的斜率； (3)连接，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据抛物线的准线方程求出值即可得解. （）根据题意结合焦半径公式求出点坐标，利用两点间斜率公式即可得解. （）写出直线的点斜式方程，联立方程组，利用韦达定理求出点坐标，再将代入直线方程，利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积即可得解. 【详解】（1）抛物线的准线为，已知准线为， 故，则抛物线方程为. （2）抛物线焦点， 设，则，. 由焦半径公式：， 代入（取正），故， 直线过和， 则斜率：. （3）直线斜率为，过点， 所以直线方程：， 联立方程组，得， 由韦达定理：，已知，故， 代入抛物线得，故， 直线与准线交于M：令， 代入直线方程：，故， 因为，，， ， 直线的一般式方程为， 点到直线的距离为， 所以的面积为. 24．（本小题12分）已知多面体中，平面，，，，为中点.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）先根据二面角的定义找到二面角的平面角，再根据直角三角形边长关系求解即可. 【详解】（1），所以为等腰三角形， 因为为中点， 平面，平面，， 因为、在平面上，且， 所以平面. （2）取中点，连接，，,    因为为中点，在中，且， 由题意得：且，且， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 因为在平面上，. ，为的中点，， 因为与在平面上，且，所以平面， 就是求直线与平面所成角. 因为在直角三角形中，，， 所以， 因为平面，，所以平面， 所以为直角三角形，因为，， 所以， 在中，， 直线与平面所角的正弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $