专题10.3直线与平面的位置关系（讲义）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10.3 ·直线与平面的位置关系 【复习目标】 理解直线与平面的位置关系，了解直线与平面平行的判定和性质，了解直线与平面垂直的判定和性质，了解直线与平面所成的角的含义；理解三垂线定理；能运用这些概念、定理论证和解决相关简单的问题 【考点一 直线与平面平行】 线面平行的判定定理和性质定理 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外的一条直线与这个平面内的一条直线 ，那么该直线与此平面平行 性质定理 如果一条直线与一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面的 与这条直线平行 【即时训练】 1．如图所示，在三棱锥中，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则下列结论错误的是（   ）    A．平面EFG B．平面ABC C．平面BDC D．平面EFG 2．下列说法错误的是（ ） A．经过同一直线上的3个点的平面有无数个 B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．若是两条直线，是两个平面，且，则是异面直线 D．若直线不平行于平面，且，则内不存在与平行的直线 3．已知是异面直线，设平面满足，且 ，则这样的（ ） A．不存在 B．有且仅有1个 C．有且仅有2个 D．有无数多个 4．已知直线，和平面，且，则是的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 5．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，则 6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：___________时，平面．    7．如图，在正方体中，与截面的位置关系是___________，与平面的位置关系是____________．    8．如图，四棱台的底面为菱形，P、Q分别为的中点．若∥平面BPQD，则此棱台上下底面边长的比值为___________． 9．已知正方体，点O是底面对角线的交点，如图所示．    (1)求证：平面； (2)若正方体的棱长为6，求三棱锥的体积． 10．如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 【考点二 直线与平面垂直】 1.线面垂直：如果直线与平面α内的所有直线都垂直，就说直线与平面α垂直，记作⊥α. 2.线面垂直的判定定理和性质定理 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的 都垂直，那么这条直线与这个平面垂直 性质定理 垂直于 的两条直线相互平行 常用结论： ①如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. ②在空间中经过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 【即时训练】 1．在三棱锥中，已知垂直于所在平面，若 ，则与棱垂直的棱有（    ）. A．三条 B．两条 C．四条 D．一条 2．如图所示，在长方体中，，若为的中点，则直线与所成角的正切值是（    ）    A． B． C． D． 3．已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．下列命题错误的是（    ） A．如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行 B．如果两个平面平行，那么第一个平面内的任意一条直线都平行于第二个平面 C．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 D．如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 5．下列说法正确的是（    ） A．空间三点确定一个平面 B．直线及一点确定一个平面 C．直线平面，若直线平面，则 D．直线平面，若直线，则 6．如图，是圆O的直径，点C是圆周上异于A，B两点的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则，，，中共有______个直角三角形. 7．如图：在正方体中，边长为1，异面直线与的角为 ________；异面直线与的角为 ________，距离为 _____． 8．在空间中，下列结论正确的是_________. ①垂直于同一直线的两条直线一定平行 ②垂直于同一平面的两条直线一定平行 ③平行于同一平面的两条直线一定平行 ④没有公共点的两条直线一定平行 9．如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，，是的中点，求证：    (1)平面； (2)平面. 10．如图所示，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若，，，，求四棱锥的体积． 【考点三 直线与平面所成的角】 1.斜线与平面所成的角：平面的一条斜线与它在改平面上的射影所成的角，叫做斜线与这个平面所成的角. 2.直线在平面内或直线与平面平行，称直线与平面成0°角；直线与平面垂直，称直线与平面成90°角. 范围： 【即时训练】 1．在直角三角形中，，为斜线在平面内的射影，则线面角是（　　） A． B． C． D． 2．若直线，则通常认为与平面所成的角为（　　） A． B． C． D． 3．若线面角为，斜线段长为，则垂直高度为（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正切值为（   ）．    A． B． C． D． 5．若长方体体对角线长为2，底面矩形长和宽分别为和1，则长方体体对角线与底面所成角为（   ） A． B． C． D． 6．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且，点为侧棱的中点，则与平面所成角的正切值为____________． 7．如图所示，在长方体，底面边长，高，则对角线与平面所成的角为________． 8．已知二面角的大小为，点，且,则点P到平面的距离为___. 9．如图所示，已知，且.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成的角. 10．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且.    (1)求证： ； (2)求直线与平面所成角的正弦值 1．（2025湖南对口升学考试第10题）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，则（    ）    A． B． C．平面 D．平面 2．（2022湖南对口升学考试第9题）已知两条不同的直线与平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2025湖南对口升学考试第17题）如图，长方体中，，，为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角的正切值. 4．（2024湖南对口升学考试第18题）如图，在正四棱柱-中，.    (1)证明：； (2)若三棱锥-的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 5．（2023湖南对口升学考试第19题）如图，在三棱锥A-BCD中，．平面α交AB，BC，CD，DA分别于E，F，G，H，且平面，平面．    (1)证明：四边形为矩形； (2)若，求矩形面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10.3 ·直线与平面的位置关系 【复习目标】 理解直线与平面的位置关系，了解直线与平面平行的判定和性质，了解直线与平面垂直的判定和性质，了解直线与平面所成的角的含义；理解三垂线定理；能运用这些概念、定理论证和解决相关简单的问题 【考点一 直线与平面平行】 线面平行的判定定理和性质定理 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外的一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 性质定理 如果一条直线与一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面的交线与这条直线平行 【即时训练】 1．如图所示，在三棱锥中，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则下列结论错误的是（   ）    A．平面EFG B．平面ABC C．平面BDC D．平面EFG 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定即可判断选项. 【详解】已知分别是的中点，取中点，连接， 根据三角形中位线性质可得，，，   选项A.，平面，平面，因此平面，选项正确， 选项B.，平面，平面，因此平面，选项正确， 选项C.，平面，平面，因此平面，选项正确， 选项D.由，得到，即位于同一平面， ，所以与平面相交，不存在平行关系，错误. 故选：D. 2．下列说法错误的是（ ） A．经过同一直线上的3个点的平面有无数个 B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．若是两条直线，是两个平面，且，则是异面直线 D．若直线不平行于平面，且，则内不存在与平行的直线 【答案】C 【分析】由空间直线和平面的关系依次判断各选项即可得出结果. 经过一条直线的平面有无数个，A不符合题意； 设三条直线为，交于点，交于，相交直线确定一个平面， 则故由两点确定的直线在平面内， 所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，可知B不符合题意； 若a，b是两条直线，是两个平面，且， 则a，b也可能平行，故C符合题意； 直线与平面相交，且交平面于一点， 平面上任何通过点的直线都与直线同面， 平面上其它不通过点的直线则与之异面， 则内不存在与平行的直线，可知D不符合题意. 故选：C 3．已知是异面直线，设平面满足，且 ，则这样的（ ） A．不存在 B．有且仅有1个 C．有且仅有2个 D．有无数多个 【答案】B 【分析】在上任取一点作的平行线，然后由过两条相交直线的平面有且只有一个可得答案. 在上任取一点作的平行线，因，则经过的平面只有1个，设为. 则，又，则，从而，即这样的平面有且只有一个. 故选：B 4．已知直线，和平面，且，则是的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定与性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 当，，则或，所以充分性不成立； 反之：若，，则必有，所以必要性成立， 所以是的必要不充分的条件. 故选：B. 5．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，则 【答案】D 【分析】选项：根据线面平行的判定定理即可判断； 选项：根据线线平行的判定定理即可判断； 选项：根据面面平行的判定定理即可判断； 选项：根据线面平行的性质定理即可判断； 选项：若，则m可能平行于，也可能在内，A为假命题； 选项：若且，则；又，则，B为假命题； 选项：若、且，与可能相交或平行，C为假命题； 选项：若、且，根据线面平行的性质定理可得，D为真命题． 故选：. 6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：___________时，平面．    【答案】（答案表述不唯一） 【分析】利用线面平行的判定定理解题即可. 【详解】连接交于，连接，    平面平面，平面平面 ，． 又 底面为平行四边形，为对角线与的交点，故为的中点，为的中点， 故当满足条件： 时，面， 故答案为： （答案表述不唯一）． 7．如图，在正方体中，与截面的位置关系是___________，与平面的位置关系是____________．    【答案】 相交 平行 【分析】由正方体的性质和线面平行的判断定理即可得解. 【详解】根据正方体的性质可知，， 因为与截面相交， 所以与截面相交. 由题意得， 而平面，平面， 所以平面， 故答案为：相交，平行． 8．如图，四棱台的底面为菱形，P、Q分别为的中点．若∥平面BPQD，则此棱台上下底面边长的比值为___________． 【答案】 【分析】连接AC，A′C′，则AC∥A′C′，可得A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，由线面垂直的性质定理可得：A A′∥MN， 则AA′NM为平行四边形，进而可得A′M＝AN，即AC，从而求出相似比． 【详解】连接AC，A′C′，则AC∥A′C′， 即A，C，A′，C′四点共面， 设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点， 连接MN，如图所示： 若AA′∥平面BPQD，则AA′∥MN， 则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN， 即AC， ，即棱台上下底面边长的比值为． 故答案为． 【点睛】本题考查的知识点是棱台的结构特征，相似比的求法，线面平行的性质定理，难度中档． 9．已知正方体，点O是底面对角线的交点，如图所示．    (1)求证：平面； (2)若正方体的棱长为6，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定即可求解. （2）根据三棱锥的体积即为三棱锥的体积，结合棱锥体积公式即可求解. 【详解】（1）连接，即点是平面对角线的交点，连接， 在正方体中，， 所以，则四边形为平行四边形， 所以，因为平面，不在平面内， 所以平面；    （2）因为三棱锥的体积即为三棱锥的体积， 所以在正方体中，， 则. 10．如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）根据直线与平面的关系，再结合正方体的性质以及三角形的相关知识求解. （2）结合正方体的性质及三棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）连接交于O，连接，则正方形中，为中点， 因为分别为中点， 所以是的中位线，所以． 又面，面， 所以平面． （2）正方体中，平面， 所以. 【考点二 直线与平面垂直】 1.线面垂直：如果直线与平面α内的所有直线都垂直，就说直线与平面α垂直，记作⊥α. 2.线面垂直的判定定理和性质定理 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线相互平行 常用结论： ①如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. ②在空间中经过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 【即时训练】 1．在三棱锥中，已知垂直于所在平面，若 ，则与棱垂直的棱有（    ）. A．三条 B．两条 C．四条 D．一条 【答案】A 【分析】根据线面垂直的定义和线面垂直的判定定理即可解答. 【详解】已知垂直于所在平面， 且平面，所以， 因为，所以， 且平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以与棱垂直的棱有共3条， 故选：A. 2．如图所示，在长方体中，，若为的中点，则直线与所成角的正切值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意作出辅助线，找到异面直线所成角，求出所需线段的长度即可得解. 【详解】    如图所示，连接，因为， 则直线与所成角即为直线与所成角为， 因为，，则， 因为为的中点，则， 因为平面，平面，则， 所以， 故选：. 3．已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由空间中的直线与平面的位置关系判断即可. 【详解】选项A.若，则与的位置关系有平行、相交、线在面内三种可能，错误. 选项B.若，则或，错误. 选项C.若，则或，错误. 选项D.若，根据线面垂直的推论，，正确. 故选：D. 4．下列命题错误的是（    ） A．如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行 B．如果两个平面平行，那么第一个平面内的任意一条直线都平行于第二个平面 C．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 D．如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 【答案】A 【分析】根据线面平行的判定及性质，线面垂直的判定即可得证. 【详解】如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面可能平行，也可能在平面内，故错误； 如果两个平面平行，那么第一个平面内的任意一条直线都平行于第二个平面，故正确； 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，故正确； 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面，故正确， 故选：A. 5．下列说法正确的是（    ） A．空间三点确定一个平面 B．直线及一点确定一个平面 C．直线平面，若直线平面，则 D．直线平面，若直线，则 【答案】D 【分析】根据平面的基本定理，线面平行的性质以及线面垂直的性质判断选项即可. 【详解】A选项，空间中不共线三点确定一个平面，缺乏关键词“不共线”，故错误； B选项，直线及直线外一点确定一个平面，缺乏关键词“直线外”，故错误； C选项，直线平面，若直线平面， 则直线与直线可能平行，可能异面，故错误； D选项，直线平面，若直线，则，故正确. 故选：D. 6．如图，是圆O的直径，点C是圆周上异于A，B两点的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则，，，中共有______个直角三角形. 【答案】 【分析】根据线面垂直的性质及线面垂直的判断即可得解. 【详解】是圆O的直径，点C是圆周上异于A，B两点的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，即平面， 平面，所以，所以为直角三角形； 平面，所以，所以为直角三角形； 因为是圆O的直径，点C是圆周上异于A，B两点的任意一点，所以，所以为直角三角形； 因为，平面，所以，，且平面，所以平面， 因为平面，所以，所以为直角三角形； 综上所述，，，，中共有个直角三角形， 故答案为：. 7．如图：在正方体中，边长为1，异面直线与的角为 ________；异面直线与的角为 ________，距离为 _____． 【答案】 1 【分析】根据正方体的几何特征可得面，线面垂直的定义得出，再由得出，可得出异面直线与所成的角，再由正方体的几何特征得出的长为异面直线与的距离即可. 【详解】由正方体几何特征可得面， 又面，所以， 即异面直线与的角为， 因为，所以异面直线与所成的角为，且， 由正方体几何特征可得，面， 又面，所以， 即异面直线与的距离为， 故答案为：；；1 8．在空间中，下列结论正确的是_________. ①垂直于同一直线的两条直线一定平行 ②垂直于同一平面的两条直线一定平行 ③平行于同一平面的两条直线一定平行 ④没有公共点的两条直线一定平行 【答案】② 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面的位置关系即可判断. 【详解】垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面，故①错误； 由直线与平面的性质定理，可知垂直于同一平面的两条直线一定平行，故②正确； 平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故③错误； 没有公共点的两条直线可能平行或异面，故④错误. 故答案为：②. 9．如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，，是的中点，求证：    (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. 【分析】（）取的中点，利用线面垂直的性质得出，结合线面平行的判定定理即可得解. （）根据题意利用线面垂直的判定定理及性质得到，再利用等腰三角形三线合一得到即可得解. 【详解】（1）    因为F是的中点，取的中点M， ∴，， ∵，都垂直于平面，∴， ∴，又 ∴四边形是平行四边形，∴ 又∵平面，平面， ∴平面. （2）∵是的中点，是正三角形，∴ 又∵平面，平面，∴ ∵，平面，则平面， ∵平面，∴， ∵，∴， ∵是的中点，，∴， ∵，平面， ∴平面. 10．如图所示，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若，，，，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质证明即可. （2）首先求出四棱锥的底面积，再根据题意求出高，最后根据棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）平面，平面， . ，，. 又平面，平面. （2）由（1）可知， 在中，. 又，，∴四边形为矩形. . 又平面，， . 【考点三 直线与平面所成的角】 1.斜线与平面所成的角：平面的一条斜线与它在改平面上的射影所成的角，叫做斜线与这个平面所成的角. 2.直线在平面内或直线与平面平行，称直线与平面成0°角；直线与平面垂直，称直线与平面成90°角. 范围：[0°，90°] 【即时训练】 1．在直角三角形中，，为斜线在平面内的射影，则线面角是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线面角的定义即可判断结果. 【详解】斜线是，射影是，斜线与射影的夹角为，即线面角. 故选： 2．若直线，则通常认为与平面所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线面角的定义及成角范围即可得出结果. 【详解】由线面角定义，当直线，直线与平面无交点，直线和平面所成角规定为. 故选： 3．若线面角为，斜线段长为，则垂直高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面角的大小，利用三角函数求解. 【详解】若线面角为，斜线段长为，则垂直高度为. 故选：D. 4．如图，已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正切值为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定直线与平面所成角的平面角，再利用锐角三角函数求解即可. 【详解】在长方体中，侧棱平面， 所以直线在平面的射影为， 即直线与平面所成角为， 因为，， 所以. 故直线与平面所成角的正切值为. 故选：A. 5．若长方体体对角线长为2，底面矩形长和宽分别为和1，则长方体体对角线与底面所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意平面，可得为与平面所成角，在直角三角形中求解即可. 【详解】在长方体中，连接， 由题意，，，∴， ∵平面，∴为与平面所成角， 在直角中，，，∴， ∵，∴， 则长方体体对角线与底面所成角为.     故选：B. 6．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且，点为侧棱的中点，则与平面所成角的正切值为____________． 【答案】 【分析】先证明平面，即可证为平面的垂线，即可证为线面角，利用边的关系即可求解正切值. 【详解】连接，如图所述， 因为平面，平面，`所以， 又因为底面是正方形，所以， 又，平面， 所以平面， 所以是与平面所成角， 因为平面，平面， 所以， 在直角中，，则， 又为侧棱的中点， 所以，且， 所以， 因为平面， 又平面，所以， 所以在直角中，， 所以与平面所成角的正切值为. 故答案为：. 7．如图所示，在长方体，底面边长，高，则对角线与平面所成的角为________． 【答案】 【分析】先连接，再根据为长方体得到平面，为在平面的投影，进一步得到即为与平面所成的角的平面角即可求解． 【详解】如图所示，连接， ∵为长方体， ∴平面，为在平面的投影， ∴，即为与平面所成的角的平面角， ∵，高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴对角线与平面所成的角为， 故答案为：． 8．已知二面角的大小为，点，且,则点P到平面的距离为___. 【答案】5 【分析】根据题意，作,垂足为A，连接，易得，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】 如图，作,垂足为A，连接， 因为，所以， 因为， 所以为二面角的平面角， 即， 所以. 即点P到平面的距离为5. 故答案为：5. 9．如图所示，已知，且.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）根据题意利用直线与平面垂直的判定定理及性质即可得解. （）根据题意找到直线与平面所成角即可得解. 【详解】（1）因为， 则，，平面， 所以平面，平面，则， 又因为，平面，， 所以平面. （2）因为平面， 所以与平面所成的角是， 因为平面，所以， 在中，，所以， 则与平面所成的角为. 10．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且.    (1)求证： ； (2)求直线与平面所成角的正弦值 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，结合线面垂直的性质定理和判定定理，即可证明结论成立； （2）根据题意，结合线面垂直的性质定理，易证平面，继而得到是所求线面角，结合解直角三角形，即可求解》 【详解】（1）因为在四棱锥中，平面，平面， 所以， 又底面是正方形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. （2）由（1）知平面， 又底面是正方形，所以， 所以平面， 所以是直线与平面所成角， 因为平面，所以， 设，则，， 所以， 所以. 即直线与平面所成角的正弦值是. 1．（2025湖南对口升学考试第10题）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，则（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合三角形中位线定理，及线面平行的判定定理，即可判断求解. 【详解】连接，如图，    对于A，在中，由中位线定理得且； 因为底面是平行四边形，且，为中点， 故，则且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又， 所以与不平行，故选项A错误； 对于B，连接交于点O，连接，则， 又，故不平行，故选项B错误； 对于C，假设平面， 则由线面平行的性质定理可知，存在直线平面，使得， 因为，所以， 易知平面，而平面，所以平面， 而平面，平面，即与平面相交，显然矛盾， 所以直线与平面不平行，故选项C错误； 对于D，因为，又平面，平面， 所以平面，故选项D正确； 故选：D. 2．（2022湖南对口升学考试第9题）已知两条不同的直线与平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由图形中线面平行、线面垂直的性质判断即可. 【详解】A选项，若，则可能平行、相交或异面，故A选项错误； B选项，若，当共面时，可能，故B选项错误； C选项，若，则或，故C选项错误； D选项，由线面垂直的性质，若，则，故D选项错误. 故选：D. 3．（2025湖南对口升学考试第17题）如图，长方体中，，，为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据题意证明线线垂直，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）先根据线面垂直找到线面角进而求解. 【详解】（1）由题意可知，， 同理，， 又因为，所以，所以， 已知长方体中，面，面， 则 又因为面，面， 所以平面. （2）因为面，所以在面的射影是， 那么就是在平面上的射影， 所以就是直线与平面所成的角， 在直角三角形中，， 则， 则直线与平面所成的角的正切值为.. 4．（2024湖南对口升学考试第18题）如图，在正四棱柱-中，.    (1)证明：； (2)若三棱锥-的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先用直线与平面垂直的判定证明平面，然后运用直线与平面垂直的定义来证明； （2）先用三棱锥的体积公式求出的长度，然后根据平面，找出直线与平面所成的角，最后利用直角三角形的正弦的定义求出的正弦值即可. 【详解】（1）证：连接， 因为平面，平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 且是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，.    （2）由， 得， 由平面，得直线与平面所成角为， 在直角中，，，， 所以． 5．（2023湖南对口升学考试第19题）如图，在三棱锥A-BCD中，．平面α交AB，BC，CD，DA分别于E，F，G，H，且平面，平面．    (1)证明：四边形为矩形； (2)若，求矩形面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题目条件先证，，，，再证即可证明四边形为矩形. （2）设长为，再通过相似三角形把用表示，再用面积公式表示出来，进而求最值即可. 【详解】（1）平面，平面， 平面平面，， 又 平面，平面平面， ，， 平面，平面， 平面平面， 又 平面，平面平面， ，， 四边形为平行四边形， ，， ，又， ，四边形为矩形， （2）设长为，由（1）知， ，， ，则 又 ， ， ，即，， 矩形面积， 当，即时，矩形面积最大，最大为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $