专题10.1平面的基本性质（讲义）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10.1 ·平面的基本性质 【复习目标】 了解平面的概念和平面的表示方法；理解平面的基本性质 【考点 平面的基本性质】 一、平面的概念 1.概念：把平坦、没有厚度、可以无限延伸的几何图形称为平面. 2.表示方法 （1）几何图形：用平面多边形表示一个平面.当一个几何图形的一部分被另一个几何图形遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或者不画. （2）符号表示：①用希腊字母α、β、γ……，如平面α； ②用平面图形的顶点或对角线上的字母表示，如平面ABCD，平面AC 2.符号语言：点线、点面之间的关系用“、∉”；线面之间的关系用“” 文字语言 图形语言 符号语言 点P在直线l上 点P不在直线l上 点P在平面α内 点P不在平面α内 2、 平面的基本性质 性质1 性质2 性质3 文字描述 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在此平面内 如果两个平面有 ，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 过 直线上的三点，有且只有一个平面 图形语言 符号语言 A，B，C不共线A，B，C确定平面α 【即时训练】 1．不共线三点可以确定（　　） A．两条直线 B．无数条平行线 C．一个平面 D．一个球 2．用三角架三只脚确定一个支撑面，体现的数学事实是（　　） A．不共线三点确定一个平面 B．两条线一定相交 C．一个点确定一条线 D．两平面没有公共点 3．能唯一确定一个平面的是（　　） A．一个点 B．不共线三点 C．一条曲线 D．两个重合点 4．若点都在平面内，则直线与平面的关系是（　　） A．只交于一点 B．一定垂直 C． D．一定不在平面内 5．判断两条直线是否共面时，关键是看它们是否能放在（　　） A．同一点上 B．同一平面内 C．同一线段上 D．同一坐标轴上 6．三点共线时，它们（　　） A．不能唯一确定一个平面 B．一定确定唯一平面 C．不能在同一直线上 D．一定确定两条直线 7．两个不同平面若有一个公共点，则它们的公共部分是（　　） A．一个点 B．一个三角形 C．一个角 D．一条直线 8．若两点平面，且直线，则（　　） A． B． C． D．与只有一个公共点 9．平面内不共线，另一平面也经过这三点，则（　　） A． B．与只交于一点 C． D． 10．四棱锥中，，则直线一定在（　　） A．平面上 B．平面上 C．平面上 D．平面上 11．两个不同平面相交，它们的交集是一条______. 12．若，且，则与的关系为______. 13．若，且、，则与的关系是______. 14．过一条已知直线和该直线外一点，可以确定______个平面. 15．经过3个点能确定________个平面． 16．已知正方体，，分别是棱，的中点． （Ⅰ）画出平面与平面的交线，并说明理由； （Ⅱ）设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线． 17．如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点． (1)请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）． (2)求截面的面积． 1．（2025广西·职教高考）(双选)在空间中，下列命题正确的是（   ） A．三点确定一个平面 B．三条平行的直线共有一个平面 C．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D．梯形是平面图形 2．（2025湖南怀化·模拟预测）经过不共线的三个点有且只有____个平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10.1 ·平面的基本性质 【复习目标】 了解平面的概念和平面的表示方法；理解平面的基本性质 【考点 平面的基本性质】 一、平面的概念 1.概念：把平坦、没有厚度、可以无限延伸的几何图形称为平面. 2.表示方法 （1）几何图形：用平面多边形表示一个平面.当一个几何图形的一部分被另一个几何图形遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或者不画. （2）符号表示：①用希腊字母α、β、γ……，如平面α； ②用平面图形的顶点或对角线上的字母表示，如平面ABCD，平面AC 2.符号语言：点线、点面之间的关系用“、∉”；线面之间的关系用“” 文字语言 图形语言 符号语言 点P在直线l上 点P不在直线l上 点P在平面α内 点P不在平面α内 2、 平面的基本性质 性质1 性质2 性质3 文字描述 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在此平面内 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 图形语言 符号语言 A，B，C不共线A，B，C确定平面α 【即时训练】 1．不共线三点可以确定（　　） A．两条直线 B．无数条平行线 C．一个平面 D．一个球 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质判断. 【详解】不共线的三点可以确定一个平面. 故选：C 2．用三角架三只脚确定一个支撑面，体现的数学事实是（　　） A．不共线三点确定一个平面 B．两条线一定相交 C．一个点确定一条线 D．两平面没有公共点 【答案】A 【分析】根据平面的性质即可得解. 【详解】三只脚可看作不共线三点，不共线三点确定一个平面， 故选：. 3．能唯一确定一个平面的是（　　） A．一个点 B．不共线三点 C．一条曲线 D．两个重合点 【答案】B 【分析】根据平面的性质即可得解. 【详解】不共线的三点可以确定一个平面， 故选：. 4．若点都在平面内，则直线与平面的关系是（　　） A．只交于一点 B．一定垂直 C． D．一定不在平面内 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质求解即可. 【详解】根据平面的基本性质，若一条直线上的两点在平面内，则这条直线在该平面内，故. 故选：C. 5．判断两条直线是否共面时，关键是看它们是否能放在（　　） A．同一点上 B．同一平面内 C．同一线段上 D．同一坐标轴上 【答案】B 【分析】根据共面直线的定义求解即可. 【详解】两条直线共面即两条直线位于同一个平面内， 故判断两条直线是否共面时，关键是看它们是否能放在同一平面内. 故选：B. 6．三点共线时，它们（　　） A．不能唯一确定一个平面 B．一定确定唯一平面 C．不能在同一直线上 D．一定确定两条直线 【答案】A 【分析】根据共线三点的性质判断选项即可. 【详解】共线三点不能唯一确定一个平面，因为过同一条直线可作多个平面，故A正确，B错误； 三点共线时，一定在同一条直线上，并且只确定一条直线，故CD错误； 故选：A. 7．两个不同平面若有一个公共点，则它们的公共部分是（　　） A．一个点 B．一个三角形 C．一个角 D．一条直线 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质求解. 【详解】两个不同平面有一个公共点时，它们相交于经过该点的一条直线. 故选：D. 8．若两点平面，且直线，则（　　） A． B． C． D．与只有一个公共点 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质求解. 【详解】两点平面，且直线，根据平面的基本性质可知：直线在平面内，即. 故选：C. 9．平面内不共线，另一平面也经过这三点，则（　　） A． B．与只交于一点 C． D． 【答案】D 【分析】根据平面性质求解即可. 【详解】不共线的三点确定唯一平面，且都在平面内， 所以两个平面是同一个平面，即. 故选：D. 10．四棱锥中，，则直线一定在（　　） A．平面上 B．平面上 C．平面上 D．平面上 【答案】A 【分析】根据如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线就在这个平面内即可求解. 【详解】因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 所以平面，即直线一定在平面上. 故选：A. 11．两个不同平面相交，它们的交集是一条______. 【答案】直线 【分析】根据平面的性质即可得解. 【详解】两个不同平面相交，它们的交集是一条直线， 故答案为：直线. 12．若，且，则与的关系为______. 【答案】 【分析】根据平面的基本性质求解即可. 【详解】根据平面的基本性质：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内，也就是直线在平面内， 所以，且，则. 故答案为：. 13．若，且、，则与的关系是______. 【答案】 【分析】根据如果一个点同时在两个相交平面内，那么这个点一定在这两个平面的交线上即可求解. 【详解】因为、，且，所以. 故答案为：. 14．过一条已知直线和该直线外一点，可以确定______个平面. 【答案】1 【分析】根据题意，结合平面性质的三个推论，即可求解. 【详解】过一条直线和直线外一点，可以确定1个平面. 故答案为：1. 15．经过3个点能确定________个平面． 【答案】1或无数 【分析】根据三个点是否共线分类，结合平面的基本性质即可判断经过三点的平面个数. 【详解】根据平面的基本性质： 当三个点在同一条直线上时，过一条直线可以作无数个平面，因此经过这三个共线点的平面有无数个； 当三个点不在同一条直线上时，经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面，因此经过这三个点的平面仅有1个； 综上，经过3个点能确定的平面个数为1个或无数个. 故答案为：1或无数. 16．已知正方体，，分别是棱，的中点． （Ⅰ）画出平面与平面的交线，并说明理由； （Ⅱ）设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线． 【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）利用平面的基本性质即可得到； （Ⅱ）由题可知点平面，平面，即可证明. 【详解】（Ⅰ）如图所示，直线即为平面与平面的交线， 理由如下： 在正方体中， ∵，分别是棱，的中点， 平面，平面，且与不平行， ∴在平面内分别延长，， 则与必相交于一点，不妨设为点， ∴，， ∵平面，平面， ∴平面，平面， 即为平面和平面的公共点， 又∵为平面和平面的公共点，连接， ∴直线即为平面与平面的交线． （Ⅱ）证明：如图所示，在正方体中， ∵，且， ∴四边形为平行四边形， ∵为直线与平面的交点， ∴，又∵平面， ∴平面， 又∵平面，平面平面， ∴， ∴，，三点共线． 17．如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点． (1)请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）． (2)求截面的面积． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、、、，则四边形即为所求； （2）依题意可得四边形为菱形，连接，，求出，，即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接、、、， 则四边形即为过点、和的平面截直四棱柱所得截面； 取的中点，连接、，因为为的中点，为直四棱柱，底面为正方形， 所以且，且，所以且， 所以为平行四边形，所以， 又且，所以为平行四边形，所以， 所以，即、、、四点共面. （2）在直四棱柱中，，、分别为、的中点， 所以， 所以四边形为菱形，连接，，则， 又，， 所以. 1．（2025广西·职教高考）（双选）在空间中，下列命题正确的是（   ） A．三点确定一个平面 B．三条平行的直线共有一个平面 C．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D．梯形是平面图形 【答案】CD 【分析】根据平面的基本性质即可求解. 【详解】对A，由平面的基本性质可得，不共线的三点确定一个平面，故A错误. 对B，三条平行的直线不一定共面，故B错误. 对C，由平面的基本性质可得，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故C正确. 对D，因为梯形中有一组对边平行，所以梯形是平面图形，故D正确. 故选：CD. 2．（2025湖南怀化·模拟预测）经过不共线的三个点有且只有____个平面. 【答案】一 【分析】根据平面的基本性质“经过不共线的三个点有且只有个平面”即可求解. 【详解】经过不共线的三个点有且只有一个平面. 故答案为：一. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $