专题45 离散型随机变量及其分布列 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题45 离散型随机变量及其分布列 一、知识梳理 1. 离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 2. 离散型随机变量的分布列及性质 （1）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为取每一个值1,2,⋯,n)的概率，则表 X ... xi ... P P2 ... Pi ... 称为离散型随机变量X的概率分布表，简称为X的分布列. （2）离散型随机变量的分布列的性质 ① ②+P2+...+=1. （3）离散型随机变量的均值（数学期望） 称为X的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. （4）离散型随机变量取值的方差 称为随机变量X的方差. 3. 常见离散型随机变量的分布列 （1）两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为 X 0 1 P p 其中p=P(X=1)称为成功概率.若X服从两点分布、则E(X)=p,D(X)=p(1-p) （2）超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=，其中m=min{M,n}，且，称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 ... m P ... 二、题型精练 题型1 离散型随机变量的分布列 【典例1】．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）随机变量X的分布列； 【典例2】．从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢. （1）以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列； （2）求出赢钱（即X>0时）的概率. 题型2 离散型随机变量的数字特征 【典例1】．一个袋中有6个红球和4个白球，它们除了颜色外，其他地方没有差别，采用有放回的方式从袋中任取3个球，取到白球数目用ξ表示.求： （1）离散型随机变量的概率分布； （2）P(ξ≥2) （3）ξ的数学期望． 【典例2】．已知随机变量ξ的分布列如下表，则求随机变量ξ的方差D(ξ) ξ 1 3 5 P 0.4 0.1 0.5 三、知识检测 1．已知下列随机变量： ①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X；②一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射击手在一次射击中的得分X；③一天内的温度X；④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X.其中X是离散型随机变量的是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.③④ 2.下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　） A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性 3．设随机变量X的分布列如下表，则实数a的值为 ( ) X 0 1 P a A. B. C. D. 4．随机变量X的分布列为： X 3 5 P 0.5 m 0.2 则其均值E(X）的值为 ( ) A.2.4 B.1.9 C.1.5 D.1.4 5．已知离散型随机变量X等可能取值1,2,3,···，n，若，则n的值为 ( ) A.3 B.5 C.10 D.15 6.甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 7.设是一个离散型随机变量，其分布列为 则等于（    ） A．1 B． C． D． 8.设随机变量X的分布列为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 9.若随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10.设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 11.随机变量ξ的分布列如下： 其中，则等于（    ） A． B． C． D． 12.已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 13.已知随机变量X服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 14.若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 15.．设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 16.设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 17.已知随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.4 0.1 若Y＝2X－3，则的值为_______． 18.．某工厂生产一批商品，其中一等品占，每件一等品获利20元；二等品占，每件二等品获利10元；次品占，每件次品亏损10元．设ξ为任一件商品的获利金额（单位：元）.求： （1）随机变量ξ的概率分布； （2）随机变量ξ的均值． 19.某学生参加一次考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，求该生答对试题数X的分布列. 20.设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的分布列. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题45 离散型随机变量及其分布列 一、知识梳理 1. 离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 2. 离散型随机变量的分布列及性质 （1）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为取每一个值1,2,⋯,n)的概率，则表 X ... xi ... P P2 ... Pi ... 称为离散型随机变量X的概率分布表，简称为X的分布列. （2）离散型随机变量的分布列的性质 ① ②+P2+...+=1. （3）离散型随机变量的均值（数学期望） 称为X的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. （4）离散型随机变量取值的方差 称为随机变量X的方差. 3. 常见离散型随机变量的分布列 （1）两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为 X 0 1 P p 其中p=P(X=1)称为成功概率.若X服从两点分布、则E(X)=p,D(X)=p(1-p) （2）超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=，其中m=min{M,n}，且，称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 ... m P ... 二、题型精练 题型1 离散型随机变量的分布列 【典例1】．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）随机变量X的分布列； 【答案】 (1) (2) 分布列见下表 【分析】 总取法：=120，袋中共 10 个球，数字 1-5 各 2 个。 (1) 数字互不相同：先选 3 种数字，每种取 1 个；也可用对立事件求解。 (2)X为取出 3 个小球的最大数字，X可取2,3,4,5；最大为k，必至少取 1 个数字k的球，剩余 2 个从小于k的球中选取。 【详解】 （1）n（数字互不相同)==80 ，P= = （2） P(X=2)= = = P(X=3)= = = P(X=4)= = = P(X=5)= = = X的分布列： 表格 X 2 3 4 5 P 【典例2】．从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢. （1）以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列； （2）求出赢钱（即X>0时）的概率. 【答案】 (1)X可取-2,-1,0,1,2,4；分布列见表格 (2) 【分析】 总球数：6+4+2=12个，任取 2 个，总基本事件数=66。 设取出黑球个数为k，白球个数为m，黄球个数为n，k+m+n=2。 赢得钱数X=2k-m。 【详解】 （1） ①取出 2 白：k=0,m=2,n=0，X=0×2-2=-2 P(X=-2)= = = ②取出 1 白 1 黄：k=0,m=1,n=1，X=0-1=-1 P(X=-1)= = = ③取出 2 黄：k=0,m=0,n=2，X=0 P(X=0)= = ④取出 1 白 1 黑：k=1,m=1,n=0，X=2×1-1=1 P(X=1)= = = ⑤取出 1 黑 1 黄：k=1,m=0,n=1，X=2×1-0=2 P(X=2)= = = ⑥取出 2 黑：k=2,m=0,n=0，X=2×2=4 P(X=4)= = = X的分布列： 表格 X -2 -1 0 1 2 4 P （2）赢钱即X>0，X=1,2,4 P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4) = + + = = 题型2 离散型随机变量的数字特征 【典例1】．一个袋中有6个红球和4个白球，它们除了颜色外，其他地方没有差别，采用有放回的方式从袋中任取3个球，取到白球数目用ξ表示.求： （1）离散型随机变量的概率分布； （2）P(ξ≥2) （3）ξ的数学期望． 【答案】 (1) 分布列见表格； (2)； (3) 【分析】 有放回抽取，每次取到白球概率p= = ，取红球概率，共取 3 次，ξ表示取到白球数目，ξ可取0,1,2,3，按独立事件直接计算每种取值对应的概率。 【详解】 （1） ξ=0：三次都取红球 P(ξ=0)= ×× = ξ=1：1 次白球，2 次红球，白球可以出现在第 1、2、3 次，共=3种顺序 P(ξ=1)=3× = ξ=2：2 次白球，1 次红球，红球可以出现在第 1、2、3 次，共=3种顺序 P(ξ=2)=3× = ξ=3：三次都是白球 P(ξ=3)= = 表格 ξ 0 1 2 3 P （2） P(ξ≥2)&=P(ξ=2)+P(ξ=3)= + = （3）根据离散型随机变量期望定义 E(ξ)=0×+1×+2×+3×= = = 【典例2】．已知随机变量ξ的分布列如下表，则求随机变量ξ的方差D(ξ) ξ 1 3 5 P 0.4 0.1 0.5 【答案】D(ξ)=3.04 【分析】 先求数学期望E(ξ)=P(ξ=)，再由方差公式D(ξ)=-E(ξ)]2计算方差。 【详解】 E(ξ)=1× 0.4 + 3×0.1 +5×0.5=0.4+0.3+2.5=3.2 D(ξ)=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5 =(-2.2)2×0.4+(-0.2)2×0.1+(1.8)2×0.5 =4.84×0.4 + 0.04×0.1 + 3.24×0.5 =1.936+0.004+1.62=3.04 三、知识检测 1．已知下列随机变量： ①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X；②一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射击手在一次射击中的得分X；③一天内的温度X；④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X.其中X是离散型随机变量的是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.③④ 【答案】B 【分析】 离散型随机变量：取值可以一一列举出来；连续型随机变量取值充满某个区间，不能一一列举。 【详解】 ①次品件数X可取0,1,2，可以一一列举，是离散型随机变量； ②一次射击得分X可取0,1，可以一一列举，是离散型随机变量； ③一天内温度X可以取某一区间内任意实数，无法一一列举，属于连续型随机变量； ④摇号号码数X为有限个整数，可一一列举，是离散型随机变量。 故①②④为离散型随机变量，选 B。 2.下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　） A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为，是常量，A错误； 对于B，等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误； 对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确； 对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误. 故选：C. 3．设随机变量X的分布列如下表，则实数a的值为 ( ) X 0 1 P a A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 离散型随机变量所有概率之和等于1，即P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=1，列方程求解a。 【详解】 ()+a+()=1 3a=1 a= 故选 B。 4．随机变量X的分布列为： X 3 5 P 0.5 m 0.2 则其均值E(X）的值为 ( ) A.2.4 B.1.9 C.1.5 D.1.4 【答案】D 【分析】 离散型随机变量全部概率之和为1，先求出m，再用均值公式E(X)=P(X=)计算。 【详解】 0.5+m+0.2=1 解得 m=0.3 E(X)=-1× 0.5 + 3× 0.3 +5× 0.2 =-0.5+0.9+1.0 =1.4 故选 D。 5．已知离散型随机变量X等可能取值1,2,3,···，n，若，则n的值为 ( ) A.3 B.5 C.10 D.15 【答案】D 【分析】 X等可能取值1,2,3,...,n，每个取值的概率都为。 【详解】 P(1≤X≤ 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)= + + = 由题意 = ， n=15 故选 D。 6.甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 【答案】D 【分析】列出X的可能取值，求出每个X对应的概率，即可求出分布列. 【详解】易知X的可能取值为0，1，2，，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 故选：D. 7.设是一个离散型随机变量，其分布列为 则等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质求得正确答案. 【详解】依题意， 即，解得， 经检验可知，符合题意. 故选：C 8.设随机变量X的分布列为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分布列中所有概率和为1求解． 【详解】由题意，． 故选：A． 9.若随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可由分布列的性质直接求解. 【详解】由随机变量的分布列知: ， 则当时，实数的取值范围是. 故选：C. 10.设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】＋＋＋＝，A错误； ＋＝，B错误； ，C正确； ＋＝，D错误. 故选：C 11.随机变量ξ的分布列如下： 其中，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用离散型随机变量的分布列中各概率之和为可求. 【详解】，且， 解得， . 故选：D. 12.已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件结合互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】因为随机变量的分布列为， 所以 ， 故选：D 13.已知随机变量X服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，根据题意即可求解. 【详解】令，则， 因为，所以，解得. 故选：C 14.若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点分布的特点，得到，从而解方程可得答案. 【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以， 由， 所以，所以， 故选：D 15.．设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【分析】根据两点分布概率性质可得解. 【详解】随机变量服从两点分布，， 根据两点分布概率性质可知：， 解得， 故选：C. 16.设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】由离散型随机变量分布列的性质计算即可. 【详解】由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，得m=0.3.又P(Y=2)=P(X=4)=0.3． 故选：A． 17.已知随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.4 0.1 若Y＝2X－3，则的值为_______． 【答案】#. 【分析】根据分布列的性质求得，结合，即可求解. 【详解】由分布列的性质，可得，解得， 因为，可得. 故答案为：#. 18.．某工厂生产一批商品，其中一等品占，每件一等品获利20元；二等品占，每件二等品获利10元；次品占，每件次品亏损10元．设ξ为任一件商品的获利金额（单位：元）.求： （1）随机变量ξ的概率分布； （2）随机变量ξ的均值． 【答案】 (1) 分布列见表格； (2) 均值E(ξ)=17 【分析】 随机变量ξ的可能取值：20,10,-10，分别对应一等品、二等品、次品，直接写出对应概率，再由期望公式E(ξ)=P(ξ=)计算均值。 【详解】 （1） ξ可取20,10,-10 P(ξ=20)= , P(ξ=10)=,P(ξ=-10)= 表格 ξ 20 10 -10 P （2） E(ξ)=20× +10× +(-10)× =16+ - =16+1 =17 19.某学生参加一次考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，求该生答对试题数X的分布列. 【答案】答案见解析 【分析】根据分布列的解题步骤计算即可. 【详解】答对试题数X的可能取值为：， 则， . 所以该生答对试题数X的分布列如下： 0 1 2 3 20.设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的分布列. 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析 【分析】（1）根据分布列的性质可得，结合X与之间的关系分析求解； （2）根据题意结合X与之间的关系分析求解. 【详解】（1）由分布列的性质知：，解得， 列表为 X 0 1 2 3 4 1 0 1 2 3 即随机变量的可能取值为0，1，2，3， 可得， ， ， 故的分布列为 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 （2）列表得 X 0 1 2 3 4 0 1 4 9 16 即随机变量的可能取值为0，1，4，9，16. 从而的分布列为 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $