专题44 二项式定理 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题44 二项式定理 一、知识梳理 1. 二项式定理： 这个公式称为二项式定理. 右边的多项式叫做的二项展开式，其中数, ,..., 叫做二项式系数.式中的 叫做二项展开式的通项，用表示，即表示的是第m+1项.则= 叫做二项展开式的通项公式. 2. 二项式系数的性质： 的展开式的二项式系数是： 二项式系数有下列性质： ①在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.即：=； ②如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大为； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大为或; ③二项式系数和为，即； ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和.即 二、题型精练 题型1 求二项展开式的某一项及其系数 【典例1】．求展开式中的第四项，及该项的系数和二项式系数 【答案】 第四项：448；系数448；二项式系数56 【分析】 二项展开式通项公式：= ，第4项对应r=3，n=8，a=2x，b=y。 【详解】 = = = 56×32= 448 二项式系数：=56 该项系数：56×32=448。 综上，第四项为448，系数为448，二项式系数为56。 【典例2】．的展开式中的系数是 ( ) A.20 B.40 C.80 D.160 【答案】D 【分析】 二项展开式通项：= ，本题，n=6。 = 求，令6-r=3 解得 r=3。 【详解】 = =20×8·=160， 的系数为160 故选 D。 题型2 二项式系数最大 【典例1】．(x-y)7的二项展开式中，系数最大的项是 ( ) A．第4项 B．第4、5项 C．第5项 D．第3、4项 【答案】C 【分析】(x-y)7=[x+(-y)]7 通项：= =(-1)r 该项系数为 (-1)r，二项式系数是。 r取偶数时系数为正；r取奇数时系数为负。 n=7，二项式系数： 是最大二项式系数，此时r=4（偶数），系数为正。 r=4，对应项是，第 5 项。 【详解】r=0，第 1 项，系数+=1 r=1，第 2 项，系数-= -7 r=2，第 3 项，系数+=21 r=3，第 4 项，系数-=-35 r=4，第 5 项，系数+ r=5，第 6 项，系数- = -21 r=6，第 7 项，系数+=7 r=7，第 8 项，系数- = -1 对比可得系数最大的项是第 5 项。 故选 C。 【典例2】．若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A.20 B.-20 C.15 D.-15 【答案】B 【分析】 二项式展开只有第 4 项二项式系数最大，说明展开式一共 7 项，n=6。 通项公式： = =(-1)r 求常数项，令6-2r=0，得r=3。 【详解】 = =20×（-1）=-20 常数项为-20， 故选 B。 题型3 二项式系数相等 【典例1】．已知（2a-3b）n展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则n的值( ) A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】B 【分析】 第 3 项二项式系数：，第 9 项二项式系数：。 二项式系数性质：=。 由=，得n=2+8=10。 【详解】 = n=2+8=10 故选B。 【典例2】．若的展开式中，第4项的二项式系数与第8项的二项式系数相等，则n为 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】B 【分析】 第 4 项二项式系数，第 8 项二项式系数。 由二项式系数性质：=，=。 由二项式系数性质：=，= 。 【详解】 =解得 n=3+7=10 故选 B。 题型4 二项式系数的和与项系数的和 【典例1】．(3x-y)6的展开式中偶数项的二项式系数之和为 【答案】32 【分析】 二项式系数性质：展开式中，所有二项式系数和为；奇数项二项式系数和 = 偶数项二项式系数和 =。 本题n=6。 【详解】 偶数项二项式系数之和： ==32 答：偶数项的二项式系数之和为32。 【典例2】．的二项展开式的各项系数之和为64，则n等于 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【分析】 求二项展开式各项系数之和，令x=1代入。 ，令x=1，得 = 。 【详解】 由题意： =64 解得n=6 故选 C。 三、知识检测 1.的第4项的系数是 ( ) A.120 B.414 720 C.-120 D.-414 720 【答案】D 【分析】 二项展开式通项：= ，n=10，第 4 项，则r=3，a=2x，b=-3y。 【详解】 == ==120×128（-27） =120×128×（-27）= -414720 第 4 项的系数为-414720，故选 D。 2.若的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则n为 ( ) A.7 B.8 C.9 D.6 【答案】D 【分析】 第 3 项二项式系数，第 5 项二项式系数。 由二项式系数性质：=，=。 【详解】 =解得 n=2+4=6 故选 D。 3．二项式的展开式中，含x2的系数是15，则n= ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【分析】 二项展开通项：= ， 求，令n-r=2，则r=n-2。 的二项式系数为=。 【详解】 由题意： =15 ，解得 n=6。 故选 C。 4.的展开式中的项是 ( ) A.-36 B.36 C.-84 D.84 【答案】C 【分析】 通项： = =(-1)r 令 9-2r=3，r=3。 【详解】 = =84× =-84 项系数为-84， 故选 C。 5．已知展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则n的值是 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】B 【分析】 二项式第r+1项的二项式系数为。 第 4 项：r=3，二项式系数； 第 8 项：r=7，二项式系数。 由题意=， 根据二项式系数性质：=， 得 n=3+7=10。 【详解】 =解得n=3+7=10 故选 B。 6. ( ) A. B.2n-1 C. 【答案】D 【分析】 二项式系数全部之和： 【详解】 =-=-1-1=-2 故选 D。 7.的展开式中所有项的二项式系数之和等于 ( ) A. B. C.1 D.0 【答案】A 【分析】 二项式系数性质：展开式所有二项式系数之和为。 本题n=7。 【详解】 故选 A。 8．在的展开式中，含x5项的二项式系数最大，则n的值是 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】C 【分析】 二项展开式通项：= ， 对应的是 r=5，该项二项式系数为。 题目条件：只有的二项式系数最大，说明展开式中间项就是第6项r+1=6。 二项式系数最大只有一项，则n为偶数，中间项是第 +1项。 +1=6解得n=10 【详解】 n=10，展开共11项，中间项第 6 项，对应r=5，二项式系数最大，正好是项，符合题意。 故选 C。 9．在二项式中，常数项为 ( ) A.145 B.50 C.60 D.80 【答案】C 【分析】 通项公式：= == 令12-3r=0，得r=4。 【详解】 = =15×4=60 常数项为60 故选 C。 10．的二项展开式中，二项式系数最大的是 ( ) A．第4项 B．第5、6项 C．第6项 D．第6、7项 【答案】B 【分析】 n=10，展开式共有11项。 当n为偶数时，二项式系数最大为中间一项，即第+1=6项； 【详解】 n=10是偶数，展开共11项，中间项为第6项，二项式系数最大。 故选 C。 11.的二项展开式中，第m项的系数是( ) A. B. C D. 【答案】D 【分析】 = 二项展开通项：= 。 第m项：r+1=m 即r=m-1。 【详解】 = = 第m项的系数为，故选 D。 12.的展开式中，的系数为 ( ) A.10 B.20 C.30 D.60 【答案】C 【分析】 ，看成，通项： = 题目要，所以y的次数r=2。 r=2，该项为， 现在求里的系数。 通项： 令6-t=5 解得 t=1。 【详解】 =10×3=30 所以的系数为30，故选 C。 13.已知，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】利用赋值法，先令，求出，再令，求出，从而可求得结果. 【详解】令，得. 令，得， 所以. 故选：B 14展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原式化为，根据二项式定理，分别求出展开式中，，的系数，即可得出结果. 【详解】的展开式中通项是，， 则， 要求展开式中的系数，只需， 故展开式中的系数是. 故选：A. 15.若的展开式中的系数是80，则实数a的值是 . 【答案】2 【分析】 通项公式：= 求项，令5-r=3，得r=2。 【详解】 = =10·=10 由题意系数为80： 10=80 =8 解得 a=2 故实数a的值是2。 16．的展开式中所有项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项为第 项． 【答案】4、5 【分析】 所有二项式系数之和：=128，求得n； n为 7，展开式总项数为n+1=8项，偶数项数，中间为第 4、5 项。 【详解】 =128 解得n=7 展开一共8项，中间项是第4项和第5项。 故填：4、5 17．的展开式中偶次项的系数之和为 【答案】256 【分析】 设f(x)=。 偶次项系数之和求解方法：联立代入x=1与x=-1。 两式相加：+=2()， 偶次项系数和：= 。 【详解】 =512, f(-1)=0 偶次项系数之和==256 故偶次项的系数之和为256。 18． 求的展开式的第4项，并写出该项的系数以及二项式系数. 【答案】 第 4 项：-280；系数-280；二项式系数35 【分析】 二项式通项：= ，n=7，第 4 项，则r=3，a=，b=-2x。 【详解】===35-280 第 4 项：第 4 项：-280；系数-280；二项式系数35。 综上：第 4 项：-280；系数-280；二项式系数35。 19．在的展开式中，只有第6项的系数最大，求展开式的常数项. 【答案】常数项252 【分析】 只有第 6 项的二项式系数最大，说明展开式共11项，n=10。 通项公式： = =，求常数项，令10-2r=0，解得r=5。 【详解】 ===252 故展开式的常数项为252。 20.求的中间项，并写出该项的系数及二项式系数. 【答案】 中间项：-160；系数-160；二项式系数20 【分析】 n=6，展开共7项，中间项为第4项，对应r=3。 通项公式：= 【详解】 = = =×20=-160 二项式系数： =20 该项系数：×20=-160 综上，中间项为-160，系数为-160，二项式系数为20。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题44 二项式定理 一、知识梳理 1. 二项式定理： 这个公式称为二项式定理. 右边的多项式叫做的二项展开式，其中数, ,..., 叫做二项式系数.式中的 叫做二项展开式的通项，用表示，即表示的是第m+1项.则= 叫做二项展开式的通项公式. 2. 二项式系数的性质： 的展开式的二项式系数是： 二项式系数有下列性质： ①在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.即：=； ②如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大为； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大为或; ③二项式系数和为，即； ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和.即 二、题型精练 题型1 求二项展开式的某一项及其系数 【典例1】．求展开式中的第四项，及该项的系数和二项式系数 【典例2】．的展开式中的系数是 ( ) A.20 B.40 C.80 D.160 题型2 二项式系数最大 【典例1】．(x-y)7的二项展开式中，系数最大的项是 ( ) A．第4项 B．第4、5项 C．第5项 D．第3、4项 【典例2】．若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A.20 B.-20 C.15 D.-15 题型3 二项式系数相等 【典例1】．已知（2a-3b）n展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则n的值( ) A.9 B.10 C.11 D.12 【典例2】．若的展开式中，第4项的二项式系数与第8项的二项式系数相等，则n为 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 题型4 二项式系数的和与项系数的和 【典例1】．(3x-y)6的展开式中偶数项的二项式系数之和为 【典例2】．的二项展开式的各项系数之和为64，则n等于 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 三、知识检测 1.的第4项的系数是 ( ) A.120 B.414 720 C.-120 D.-414 720 2.若的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则n为 ( ) A.7 B.8 C.9 D.6 3．二项式的展开式中，含x2的系数是15，则n= ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 4.的展开式中的项是 ( ) A.-36 B.36 C.-84 D.84 5．已知展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则n的值是 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 6. ( ) A. B.2n-1 C. 7.的展开式中所有项的二项式系数之和等于 ( ) A. B. C.1 D.0 8．在的展开式中，含x5项的二项式系数最大，则n的值是 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11 9．在二项式中，常数项为 ( ) A.145 B.50 C.60 D.80 10．的二项展开式中，二项式系数最大的是 ( ) A．第4项 B．第5、6项 C．第6项 D．第6、7项 11.的二项展开式中，第m项的系数是( ) A. B. C D. 12.的展开式中，的系数为 ( ) A.10 B.20 C.30 D.60 13.已知，则（    ） A．1 B．0 C． D． 14展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 15.若的展开式中的系数是80，则实数a的值是 . 16．的展开式中所有项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项为第 项． 17．的展开式中偶次项的系数之和为 18．求的展开式的第4项，并写出该项的系数以及二项式系数. 19．在的展开式中，只有第6项的系数最大，求展开式的常数项. 20.求的中间项，并写出该项的系数及二项式系数. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $