专题43 组合 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题43 组合 一、知识梳理 1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素并成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 注意 1．不同元素． 2．“只取不排”-无序性． 3．相同组合：元素相同． 2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 表示. 注意：要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关. 3．组合数的公式： 或，且m≤n) 4．组合数性质：① = ；② = 5．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排. 排列组合题的主要解题方法一优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. 二、题型精练 题型1 排组合数公式的应用 【典例1】．计算 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】组合数性质：① = ；② =。 【详解】 = - 6=21-6=15 故选 D。 【典例2】． ( ) A.10 B.20 C.30 D.60 【答案】A 【分析】组合数公式： 【详解】 = 10 故选 A。 题型2 简单的组合问题 【典例1】．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法有 ( ) A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 【答案】C 【分析】分步选取，选男医生、选女医生互不影响，用分步乘法计数原理，组合问题。 【详解】 从 6 名男医生选 2 名： 从 5 名女医生选 1 名： =75 故选 C。 【典例2】．从5名同学中，选3位同学参加会议，共有 种选法. ( ) A.60 B.24 C.20 D.10 【答案】D 【分析】选同学参加会议，无顺序，属于组合问题，计算。 【详解】 ==10 故选 D。 题型3 次品问题 【典例1】．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查． （1）都是合格品的取法有多少种？ （2）都是次品的取法有多少种？ （3)1件次品3件合格品的取法？ （4）至少有1件次品的取法有多少种？ 【答案】 (1)；(2)；(3)；(4)- 【分析】 抽取产品无顺序，用组合；“至少” 优先用间接法：总取法减去全合格品取法。 【详解】 （1）从 90 件合格品取 4 件： （2）从 10 件次品取 4 件： （3）1 件次品，3 件合格品，分步选取： （4）至少 1 件次品 = 总取法 − 全是合格品取法 - 【典例2】．现有9件不同的产品，其中有6件正品，3件次品，从中抽取3件，其中恰有1件次品的抽法种数是 ( ) A.9 B.18 C.36 D.45 【答案】D 【分析】恰有 1 件次品：从 3 件次品选 1 件，从 6 件正品选 2 件，分步组合。 【详解】 =3×15=45 故选 D。 题型4 排列组合混合应用题 【典例1】．从1,3,5,7中任取3个数，从2,4,6中任取2个数，组成一个无重复数字的五位数，则满足条件的五位数有 个. 【答案】1440 【分析】分步：先选数字，再对选出的 5 个数字全排列。 【详解】 从1,3,5,7取 3 个数： 从2,4,6取 2 个数： 选出 5 个不同数字，全排列组成五位数： =4×3×120=1440 故：1440 【典例2】．从4名女同学，3名男同学中选出2名女同学，3名男同学，分别担任五种不同的职务，则不同的分法有 ( ) A.360种 B.720种 C.1440种 D.1560种 【答案】B 【分析】 先选出人员，再将选出的 5 人分配 5 种不同职务，职务不同属于排列问题。 从 4 名女同学选 2 名：； 从 3 名男同学选 3 名：； 选出 5 人，分配 5 种不同职务：。 【详解】 =6×1×120=720 综上，不同的分法有720种， 故选 B。 三、知识检测 1．已知，则x= ( ) A.5 B.6 C.15 D.5或15 【答案】D 【分析】 组合数性质：① = ；② =； = = 【详解】 得 x=5 或 x=20-5=15。 所以 x=5 或 15。 故选 D。 2．平面内有12个点，其中任意3点都不在同一条直线上，以任意3点为顶点画三角形，则可画三角形的个数是 ( ) A.220 B.1 320 C.36 D.219 【答案】A 【分析】 任意三点不共线，从 12 个点中任选 3 个点就可以构成一个三角形，没有顺序，属于组合问题，计算。 【详解】 =220 故选 A。 3．某班有40名学生，其中有正、副班长各一名，从中选5名参加一项工作，正、副班长都参加有多少种选法？ ( ) A.8 436 B.20 C.81 D.64 【答案】A 【分析】 正、副班长都参加，说明这 2 人已经确定选出，只需从剩下40-2=38名学生中再选5-2=3人，组合问题。 【详解】 ==8436 故选 A。 4．如果10件产品中有2件次品，任意抽取3件，至少有一件次品的不同抽法有( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 至少一件次品分两类：①1 件次品 2 件正品；②2 件次品 1 件正品。 也可用间接法：总抽法减去全正品。 对照选项： A：错误，正品只有 8 件。 B：错误，合格品是 8 件，应减。 C ，恰是 1 次 2 正 + 2 次 1 正，正确。 D：式子无意义。 【详解】 1 件次品 2 件正品： 2 件次品 1 件正品： 总抽法： 故选 C。 5．从7名学生中选3名，参加一项竞赛活动，其中甲不能参加，则不同的选法有( ) A.10种 B.20种 C.35种 D.30种 【答案】B 【分析】 甲不能参加，相当于从除去甲之外的 6 名学生中选 3 名，组合问题。 【详解】 ==20 故选 B。 6．在200件产品中有3件是次品，从中任意抽出5件，则至少有2件次品的抽法种数为 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 至少 2 件次品包含两类：恰好 2 件次品、恰好 3 件次品。 恰好 2 件次品：从 3 件次品选 2 件，197 件正品选 3 件： 恰好 3 件次品：从 3 件次品选 3 件，197 件正品选 2 件： 总抽法：+ ，对应选项 A。 【详解】 至少 2 件次品： ①2 件次品，3 件正品： ②3 件次品，2 件正品： 合并：+. 故选 D。 7．现有9件不同的产品，其中有6件正品，3件次品，从中抽取3件，其中至多有1件次品的抽法种数是 ( ) A.9 B.30 C.45 D.65 【答案】D 【分析】 至多 1 件次品：分为0 件次品（全正品）和1 件次品、2 件正品两类，用组合分步计算。 【详解】 ①0 件次品，3 件正品： ②1 件次品，2 件正品： +=20+3×15=65 故选 D。 8．从编号为1,2,3,···,10,11的共11个球中，取出2个球，使得这2个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法 ( ) A.15 B.30 C.2 D.28 【答案】B 【分析】 两数之和为奇数，条件：一个奇数、一个偶数。 1～11 中：奇数：1,3,5,7,9,11 共 6 个；偶数：2,4,6,8,10 共 5 个。 从 6 个奇数取 1 个，从 5 个偶数取 1 个，组合分步。 【详解】 =6×5=30 故选 B。 9．从10名同学中选出5人参加一个会议，其中，甲、乙两人有且只有1人参加，则选法种数有( ) A.Ct B.8 【答案】D 【分析】 甲、乙有且只有 1 人参加：先从甲乙 2 人中选 1 人，再从剩下 8 名同学中选 4 人。 分步组合：。 【详解】 1. 甲乙二人选 1 人： 2. 除去甲乙剩余 8 人选 4 人： =2×70=140 故选 D。 10．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表参加一项活动，至少有1名女生的选举方法共有 ( ) A.27种 B.48种 C.24种 D.18种 【答案】A 【分析】 至少 1 名女生：可以用间接法：总选法 − 全是男生的选法。 总 10 人，女生 3 名，男生 7 名。 【详解】 总选法： =45 全是男生：=21 至少 1 名女生： - =27 故选 A。 11．一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为 ( ) A. B. D. 【答案】D 【分析】 不在同一直线上的三点确定一个圆。 8 个点任取 3 点总圆数：。 其中 4 个共圆的点，原本种选法会各自算出不同圆，但实际只对应1 个圆。 所以要把多算的减掉，再加回真实的 1 个圆。 【详解】 8 个点任选 3 点： 4 个共圆点内部取 3 点，本来算出来个圆，但实际只是同一个圆，需要减去重复计算，再补上这 1 个圆： 故选 D。 12．已知，则 ( ) A.3 B.21 C.3或21 D.20 【答案】C 【分析】 组合数性质：① = ；② =； = = 【详解】 得 x=3 或 x=24-3=21。 所以 x=3 或 21。 故选 C。 13.在第19届杭州亚运会期间，某项目有四个不同的服务站，现需要将包含甲在内的5名志愿者分配到这四个不同的服务站，每个服务站至少一名志愿者，则甲志愿者被分到服务站的不同分法的种数为（    ） A．80 B．120 C．160 D．60 【答案】D 【分析】根据已知条件可知，肯定有一个服务站安排两个人，该问题分为两类，一类是服务站安排两人，一类是服务站只安排1人，运用分类加法及分步乘法计数原理求解即可. 【详解】当服务站安排两人时，除甲外的其余4人每人去一个服务站，不同的安排方法有种， 当服务站只安排有1人（甲）时，其余4人分成3组（211）再安排到剩余的3个服务站，不同的安排方法有， 所以不同的安排方法有种. 故选：D. 14.2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛于北海市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8公里，共有全球18支职业车队的百余名车手参加.主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A、B两个路口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（    ） A．15 B．30 C．25 D．16 【答案】B 【分析】当两组人数分别为1和4时，2和3时两种情况，结合排列组合知识求出答案. 【详解】5名志愿者分为两组， 当两组人数分别为1和4时，此时有种情况， 当两组人数分别为2和3时，此时有种情况， 综上，不同的安排方案总数为. 故选：B 15.(1)6本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本，不同的分法有多少种？ （2)6本不同的书，平均分成三份，不同的分法有多少种？ 【答案】 (1)90种；(2)15种 【分析】 (1) 分给甲、乙、丙三个人，人是有区别的，分步依次给甲、乙、丙选 2 本； (2) 平均分成三份，份无顺序，要除以\(\mathrm{A}_{3}^{3}\)消除三份之间的顺序。 【详解】 (1) 分给甲、乙、丙，每人 2 本： 从 6 本取 2 本给甲： 从剩下 4 本取 2 本给乙： 剩下 2 本给丙： =15×6×1=90 (2) 平均分成三份，三份没有编号，要除以： = 15 答：(1) 不同分法有90种；(2) 不同分法有15种。 16.计算： (1)； (2)． 【答案】(1)70 (2)253 【分析】（1）运用组合公式进行计算； （2）运用组合公式进行计算. 【详解】（1）； （2）． 17.4名男生和6名女生选三人，组成三人实践活动小组. （1）共有多少种选法？ （2）其中男生甲不能参加，有多少种选法？ （3）至少有1个男生参加，问组成方法共有多少种？ 【答案】 (1)=120；(2)=84；(3)-=100 【分析】 选小组无顺序，属于组合问题；“至少” 用间接法：总选法减去全女生选法。 【详解】 （1）一共4+6=10人，从 10 人中选 3 人： =120.答：共有120种选法。 （2）男生甲不能参加，从剩下 9 人中选 3 人： =84。答：男生甲不能参加有84种选法。 （3）至少 1 个男生 = 总选法 − 全是女生的选法 从 6 名女生选 3 人： =20，-=100 答：至少有 1 个男生参加共有100种组成方法。 18.为庆祝3.8妇女节，山东某中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛，一共有多少不同的分组方案？ 【答案】120 【分析】分成两组，根据是否平均分组分别写出即可； 【详解】队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女， ①若两组都是3女2男， 则先将6女平均分成两组共种方式， 再将4男平均分成两组共种方式， 所以两组都是3女2男的情况有种； ②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有种， 所以总情况数为种. 故一共有种不同的分组方案. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题43 组合 一、知识梳理 1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素并成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 注意 1．不同元素． 2．“只取不排”-无序性． 3．相同组合：元素相同． 2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 表示. 注意：要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关. 3．组合数的公式： 或，且m≤n) 4．组合数性质：① = ；② = 5．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排. 排列组合题的主要解题方法一优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. 二、题型精练 题型1 排组合数公式的应用 【典例1】．计算 ( ) A. B. C. D. 【典例2】． ( ) A.10 B.20 C.30 D.60 题型2 简单的组合问题 【典例1】．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法有 ( ) A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 【典例2】．从5名同学中，选3位同学参加会议，共有 种选法. ( ) A.60 B.24 C.20 D.10 题型3 次品问题 【典例1】．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查． （1）都是合格品的取法有多少种？ （2）都是次品的取法有多少种？ （3)1件次品3件合格品的取法？ （4）至少有1件次品的取法有多少种？ 【典例2】．现有9件不同的产品，其中有6件正品，3件次品，从中抽取3件，其中恰有1件次品的抽法种数是 ( ) A.9 B.18 C.36 D.45 题型4 排列组合混合应用题 【典例1】．从1,3,5,7中任取3个数，从2,4,6中任取2个数，组成一个无重复数字的五位数，则满足条件的五位数有 个. 【典例2】．从4名女同学，3名男同学中选出2名女同学，3名男同学，分别担任五种不同的职务，则不同的分法有 ( ) A.360种 B.720种 C.1440种 D.1560种 三、知识检测 1．已知，则x= ( ) A.5 B.6 C.15 D.5或15 2．平面内有12个点，其中任意3点都不在同一条直线上，以任意3点为顶点画三角形，则可画三角形的个数是 ( ) A.220 B.1 320 C.36 D.219 3．某班有40名学生，其中有正、副班长各一名，从中选5名参加一项工作，正、副班长都参加有多少种选法？ ( ) A.8 436 B.20 C.81 D.64 4．如果10件产品中有2件次品，任意抽取3件，至少有一件次品的不同抽法有( ) A. B. C. D. 5．从7名学生中选3名，参加一项竞赛活动，其中甲不能参加，则不同的选法有( ) A.10种 B.20种 C.35种 D.30种 6．在200件产品中有3件是次品，从中任意抽出5件，则至少有2件次品的抽法种数为 ( ) A. B. C. D. 7．现有9件不同的产品，其中有6件正品，3件次品，从中抽取3件，其中至多有1件次品的抽法种数是 ( ) A.9 B.30 C.45 D.65 8．从编号为1,2,3,···,10,11的共11个球中，取出2个球，使得这2个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法 ( ) A.15 B.30 C.2 D.28 9．从10名同学中选出5人参加一个会议，其中，甲、乙两人有且只有1人参加，则选法种数有( ) A.Ct B.8 10．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表参加一项活动，至少有1名女生的选举方法共有 ( ) A.27种 B.48种 C.24种 D.18种 11．一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为 ( ) A. B. D. 12．已知，则 ( ) A.3 B.21 C.3或21 D.20 13.在第19届杭州亚运会期间，某项目有四个不同的服务站，现需要将包含甲在内的5名志愿者分配到这四个不同的服务站，每个服务站至少一名志愿者，则甲志愿者被分到服务站的不同分法的种数为（    ） A．80 B．120 C．160 D．60 14.2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛于北海市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8公里，共有全球18支职业车队的百余名车手参加.主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A、B两个路口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（    ） A．15 B．30 C．25 D．16 15.(1)6本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本，不同的分法有多少种？ （2)6本不同的书，平均分成三份，不同的分法有多少种？ 16.计算： (1)； (2)． 17.4名男生和6名女生选三人，组成三人实践活动小组. （1）共有多少种选法？ （2）其中男生甲不能参加，有多少种选法？ （3）至少有1个男生参加，问组成方法共有多少种？ 18.为庆祝3.8妇女节，山东某中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛，一共有多少不同的分组方案？ 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $