专题42 排列 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题42 排列 一、知识梳理 1.排列与排列数的概念 （1）排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. （2）排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m ≤n）个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. 2.排列数公式 （1）排列数公式：1). （2）全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列， (n-2)×⋯×2×1=n!，排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定0!=1. 二、题型精练 题型1 排列数公式的应用 【典例1】．乘积5×6×7⋯×20等于 ( ) A. B. C. D. 【典例2】．，则n= ( ) A.7 B.8 C.9 D.10 题型2 简单的排列问题 【典例1】．3个同学在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法为 ( ) A.3 B. C.34 D.43 【典例2】．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加三项不同的活动，则不同的选法种数是 ( ) A.180 B.210 C.120 D.240 题型3 站队问题 【典例1】．求下列情况的排法： （1)7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ （2)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ （3)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ （4)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ （5）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ （6）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ （7）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ （8）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ （9）甲站在乙的右边的排法有多少种？ 【典例2】．5个儿童站成一排照相，甲不排在两端的排法有( ) A.120种 B.60种 C.72种 D.48种 题型4 排列数问题 【典例1】．用1,2,3,4,5这五个数字： （1）共组成无重复数字的五位数多少个？ （2）共组成五位奇数多少个？ （3）共组成比30000大的数有多少个？ 【典例2】．用1,2,3,4,5可组成没有重复数字的三位数的个数是 ( ) A.30 B.120 C.60 D.15 三、知识检测 1．已知，则m= ( ) A.11 B.12 C.13 D.10 2.40×39×38×⋯×15= ( ) A. B. C. 3．已知，那么n= ( ) A.10 B.7 C.6 D.5 4.5本不同的书，借给甲、乙、丙三个人，每人一本，则不同的借法有 ( ) A.10种 B.60种 C.125种 D.243种 5．由数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数有 ( ) A.60 B.24 C.36 D.48 6．有3个不同的红杯子和2个不同的花杯子，现将它们排在茶几上成一排，要求花杯子必须排在一起，则不同的排法种数为 ( ) A.6 B.12 C.24 D.48 7．一次晚会有5个歌唱节目，3个舞蹈节目，要使舞蹈节目不连在一起，不同的出场次序共有( ) A. B. C. D. 8．从0,1,2,3,4这5个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数 ( ) A.48 B.96 C.60 D.1 9．5名学生站成一排照相，其中甲乙两人必须站在一起的排法有 ( ) A. B.3 C. D. 10．用数字1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位数的偶数的个数有 ( ) A.60 B.36 C.24 D.12 11.甲、乙两人要在一排7个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（    ） A．6种 B．12种 C．15种 D．30种 12.4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（    ） A．36 B．72 C．81 D．144 13.五个人站队排成一行，若甲不站排头，乙不站排尾，则不同排法的种数为（    ） A．36 B．72 C．78 D．120 14.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数的个数为（    ） A．120 B．86 C．72 D．60 15.从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有（    ）个． A．24 B．30 C．36 D．60 16．将6本不同的书排成一排， （1）其中甲乙两本书要放在两端，有多少种排法？ （2）其中甲乙两本书不放在两端，有多少种排法？ （3）其中甲乙两本书必须相邻，有多少种排法？ （4）其中甲乙不相邻，有多少种排法？ （5）其中甲乙两本书顺序一定（中间可以有书），有多少种排法？ 17．用1,2,3,4,5这五个数，组成无重复的5位数． （1）共组成无重复数字的五位数多少个？ （2）共组成无重复数字的五位奇数多少个？ 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题42 排列 一、知识梳理 1.排列与排列数的概念 （1）排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. （2）排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m ≤n）个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. 2.排列数公式 （1）排列数公式：1). （2）全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列， (n-2)×⋯×2×1=n!，排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定0!=1. 二、题型精练 题型1 排列数公式的应用 【典例1】．乘积5×6×7⋯×20等于 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】排列数公式：1)。 567...20，最大数n=20，从 5 到 20 一共20-5+1=16项，即 。 【详解】 =2019...(20-16+1)=2019...5 故选 B。 【典例2】．，则n= ( ) A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】C 【分析】排列数公式：=n(n-1)(n-2)，对照等式右边78 n，把右边调整降序排列。 【详解】 =n(n-1)(n-2)=n·8×7 可得： n-1=8, n-2=7 解得 n=9。 故选 C。 题型2 简单的排列问题 【典例1】．3个同学在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法为 ( ) A.3 B. C.34 D.43 【答案】B 【分析】排列问题，3 个同学各选 1 本不同参考书，相当于从 4 本不同书中选出 3 本分给 3 名同学，用排列。 【详解】 第一位同学：4 种选法 第二位同学：3 种选法 第三位同学：2 种选法 4×3×2= 故选 B。 【典例2】．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加三项不同的活动，则不同的选法种数是 ( ) A.180 B.210 C.120 D.240 【答案】B 【分析】先算总人数：4+3=7人，选出 3 人参加三项不同的活动，顺序有区别，属于排列问题，即。 【详解】 =7×6×5=210 故选 B。 题型3 站队问题 【典例1】．求下列情况的排法： （1)7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ （2)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ （3)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ （4)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ （5）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ （6）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ （7）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ （8）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ （9）甲站在乙的右边的排法有多少种？ 【答案】 (1)=5040 (2)=720 (3)=240 (4)=2400 (5)=1440 (6)=720 (7)-=3600 (8)=1440 (9)=2520 【分析】 排列应用题，优先特殊位置 / 特殊元素；相邻用捆绑法；不相邻用插空法；定序问题除以顺序数。 【详解】 （1）7 人全排列=5040故有5040种排法。 （2）甲站中间（第 4 号位），剩下 6 人全排列 =720 故有720种排法。 （3）甲、乙站两端：两端排甲乙，中间 5 人全排列 ， =240 ，故有240种排法。 （4）甲、乙不能排头排尾：先从中间 5 个位置选 2 个排甲、乙，剩余 5 人全排列=2400，故有2400种排法。 （5）甲、乙相邻，捆绑法：甲乙内部，把甲乙当作整体共 6 个元素全排列， =1440，故有1440种排法。 （6）甲、乙、丙都相邻，捆绑法：三人内部，整体与其余 4 人共 5 个元素全排列， =720 ，故有720种排法。 （7）甲、乙不相邻：总排法减去甲乙相邻排法 -=3600， 故有3600种排法。 （8）甲、乙、丙都不相邻，插空法：先排其余 4 人，4 人产生 5 个空位，选 3 个空位排甲乙丙=1440，故1440种排法。 （9）甲站在乙右边：全部排列中，甲在乙右、甲在乙左各占一半 ，=2520， 故有2520种排法。 【典例2】．5个儿童站成一排照相，甲不排在两端的排法有( ) A.120种 B.60种 C.72种 D.48种 【答案】C 【分析】特殊元素优先，甲不能在两端，先安排甲，再排其余 4 人，分步乘法计数原理。 【详解】 第一步：甲不能站两端，中间 3 个位置可选，有3种； 第二步：剩下 4 名儿童全排列：=24 ，3×24=72 故选 C。 题型4 排列数问题 【典例1】．用1,2,3,4,5这五个数字： （1）共组成无重复数字的五位数多少个？ （2）共组成五位奇数多少个？ （3）共组成比30000大的数有多少个？ 【答案】 (1)120个；(2)72个；(3)72个 【分析】排列数字问题，优先考虑特殊位置（个位、万位），分步乘法计数原理。 【详解】 （1）无重复数字五位数，5 个数字全排列 =5!=120 故共组成无重复数字的五位数120个。 （2）五位奇数：个位必须是奇数 {1,3,5} 第一步排个位：3种； 剩余 4 个数字排前四位：=24 3×=3×24=72 故共组成五位奇数72个。 （3）比30000大的五位数：万位≥，万位可取3,4,5，共3种； 剩下 4 个数字全排列：=24 3×=3×24=72 故共组成比30000大的数72个。 【典例2】．用1,2,3,4,5可组成没有重复数字的三位数的个数是 ( ) A.30 B.120 C.60 D.15 【答案】C 【分析】从 5 个不同数字选 3 个排成三位数，排列问题，用。 【详解】=5×4×3=60 故选 C。 三、知识检测 1．已知，则m= ( ) A.11 B.12 C.13 D.10 【答案】A 【分析】排列数公式：1)，n=20，最后一项是9，n-m+1=9。 【详解】 20-m+1=9，m=20+1-9=11 故选 A。 2.40×39×38×⋯×15= ( ) A. B. C. 【答案】D 【分析】排列数公式：1)，n=40\，末项为15，项数m=40-15+1=26，即。 【详解】 m=40-15+1=26 =40×39×38×⋯×15 故选 D。 3．已知，那么n= ( ) A.10 B.7 C.6 D.5 【答案】C 【分析】利用排列数公式：，=(n-1)(n-2)，解方程，注意n≥3。 【详解】 =3，=3(n-1)(n-2)，n≥3，n-1≠0，两边同除以（n-1)， n=3(n-2) n=3n-6 2n=6 n=6 故选 C。 4.5本不同的书，借给甲、乙、丙三个人，每人一本，则不同的借法有 ( ) A.10种 B.60种 C.125种 D.243种 【答案】B 【分析】从 5 本不同的书选出 3 本分给甲、乙、丙三个人，每人一本，顺序有区别，属于排列问题。 【详解】 甲先选：5 种，乙再选：4 种，丙再选：3 种 =5×4×3=60 故选 B。 5．由数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数有 ( ) A.60 B.24 C.36 D.48 【答案】D 【分析】偶数要求个位为偶数，1,2,3,4,5 中偶数是 2、4，优先排个位，再排其余四位，分步乘法计数原理。 【详解】 个位：可选2,4，共2种； 剩下 4 个数字全排列：=4!=24， 、2×24=48 故选 D。 6．有3个不同的红杯子和2个不同的花杯子，现将它们排在茶几上成一排，要求花杯子必须排在一起，则不同的排法种数为 ( ) A.6 B.12 C.24 D.48 【答案】D 【分析】相邻问题用捆绑法。把 2 个不同花杯子看成一个整体，先算花杯子内部排列，再将整体与 3 个红杯子一起全排列。 【详解】 花杯子内部排列：=2 捆绑后一共3+1=4个元素全排列：=24 =2×24=48 故选 D。 7．一次晚会有5个歌唱节目，3个舞蹈节目，要使舞蹈节目不连在一起，不同的出场次序共有( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】不相邻问题用插空法：先排歌唱节目，再把舞蹈节目插入空隙。 【详解】 第一步：先排 5 个歌唱节目，全排列：。 5 个歌唱节目形成5+1=6个空位。 第二步：从 6 个空位中选 3 个安排 3 个不同舞蹈节目：。 总排法： 故选 D。 8．从0,1,2,3,4这5个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数 ( ) A.48 B.96 C.60 D.1 【答案】A 【分析】三位数，百位不能为 0，优先排百位，再排十位、个位，分步乘法计数原理。 【详解】 百位：可从1,2,3,4选，共4种； 十位：剩下 4 个数字任选一个，4种； 个位：剩下 3 个数字任选一个，3种。 4×4×3=48 故选 A。 9．5名学生站成一排照相，其中甲乙两人必须站在一起的排法有 ( ) A. B.3 C. D. 【答案】D 【分析】相邻问题捆绑法，把甲乙看作一个整体，相当于 4 个元素全排列，再乘甲乙内部排列。 【详解】 甲乙捆绑看成 1 个整体，一共 4 个元素全排列：； 甲乙内部交换位置：； 总排法：。 故选 D。 10．用数字1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位数的偶数的个数有 ( ) A.60 B.36 C.24 D.12 【答案】C 【分析】三位数为偶数，个位只能是偶数：2,4，优先排个位，再排百位、十位。 【详解】 个位：选2或4，共2种； 从剩下4个数字选2个排在百位、十位：=4×3=12 2×=2×12=24 故选 C。 11.甲、乙两人要在一排7个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（    ） A．6种 B．12种 C．15种 D．30种 【答案】B 【分析】采用插空法即可得答案. 【详解】一排共有7个座位，现有两人就坐，故有5个空座. 要求每人左右均有空座， 在5个空座的中间4个空中插入2个座位让两人就坐，即有种坐法. 故选：B. 12.4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（    ） A．36 B．72 C．81 D．144 【答案】D 【分析】先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，根据分步乘法计数原理，即可求得答案. 【详解】由题意先将3名女生全排列，然后利用插空法， 将4名男生排到3名女生之间的4个空位上， 故共有种不同的排法， 故选：D 13.五个人站队排成一行，若甲不站排头，乙不站排尾，则不同排法的种数为（    ） A．36 B．72 C．78 D．120 【答案】C 【分析】首先对甲的站位进行分类，再按照分步原理进行计算. 【详解】由题意，分成2种情况， 一种情况是甲站排尾，则其余4人全排列，有种方法， 另一种情况是甲不占排尾，则甲有3种方法，乙有3种方法，其余3人全排列，有种方法， 综上可知，共有种方法. 故选：C 14.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数的个数为（    ） A．120 B．86 C．72 D．60 【答案】D 【分析】根据排列数计算出正确答案. 【详解】依题意，组成的无重复数字的三位数的个数为. 故选：D 15.从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有（    ）个． A．24 B．30 C．36 D．60 【答案】B 【分析】考虑选出的3个数中有没有0的情况，有0时再考虑0的排法，根据分类加法原理，即可求得答案. 【详解】若从0，1，2，3，4中选出3个数中没有0， 则组成各位数字不重复的三位偶数有个； 若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0排在个位， 则组成各位数字不重复的三位偶数有个； 若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0不在个位， 则组成各位数字不重复的三位偶数有个； 故从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数， 这样的数有个， 故选：B 16．将6本不同的书排成一排， （1）其中甲乙两本书要放在两端，有多少种排法？ （2）其中甲乙两本书不放在两端，有多少种排法？ （3）其中甲乙两本书必须相邻，有多少种排法？ （4）其中甲乙不相邻，有多少种排法？ （5）其中甲乙两本书顺序一定（中间可以有书），有多少种排法？ 【答案】 (1)=48 (2)=288 (3)=240 (4)-=480 (5)=360 【分析】 排列应用题；特殊位置优先；相邻捆绑法；不相邻间接法；定序问题除以内部排列数。 【详解】 （1）甲乙放两端：两端排甲乙，中间 4 本书全排列，=48 故有48种排法。 （2）甲乙不放在两端：先从中间 4 个位置选 2 个排甲乙，剩余 4 本书全排列，=288，故有288种排法。 （3）甲乙必须相邻，捆绑法：甲乙内部，把甲乙看作整体，共 5 个元素全排列，=240故有240种排法。 （4）甲乙不相邻：总全排列减去甲乙相邻排法 -=480，故有480种排法。 （5）甲乙顺序一定：6 本书全排列，甲乙两种顺序只取一种 =360，故有360种排法。 17．用1,2,3,4,5这五个数，组成无重复的5位数． （1）共组成无重复数字的五位数多少个？ （2）共组成无重复数字的五位奇数多少个？ 【答案】 (1)120个；(2)72个 【分析】 (1) 5 个数字全排列； (2) 奇数要求个位为奇数，优先排个位，再排其余四位。 【详解】 （1）5 个不同数字全排列 =120 故：共组成无重复数字的五位数120个。 （2）个位只能取1,3,5，共3种选择； 剩下 4 个数字排前四位：=24 3×=72 故：共组成无重复数字的五位奇数72个。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $