专题41 计数原理 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题41 计数原理 一、知识梳理 1.分类计数原理 如果完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，······，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1+m2+....+mn种不同的方法.分类计数原理也称为分类加法计数原理 2.分步计数原理 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，······，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1×m2×....×mn种不同的方法.分步计数原理也称为分步乘法计数原理 3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系 联系：都是用来计算完成一件事情的不同方法总数的计数方法。 区别：分类加法计数原理：完成一件事分几类，各类方法相互独立，任选一类中的任意一种方法都可以独立完成这件事，用加法； 分步乘法计数原理：完成一件事分几步，各个步骤相互依存，只有把每一步都做完，才能完成这件事，用乘法。 二、题型精练 题型1 分类计数原理 【典例1】．从甲地到乙地每天有火车10班，轮船2班，汽车15班，一天内由甲地到乙地，有多少种不同的走法？ 【典例2】．某班男生23人，女生24人，从中选1人担任数学兴趣小组的组长，共有不同选法 种？ 题型2 分步计数原理 【典例1】．有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球2个，白色小球3个，黄色小球4个，从盒子里任取红、白、黄色小球各一个，有多少种不同取法？ 【典例2】．在A、B、C、D、E五位候选人中，选出正、副班长各一人的选法共有多少种？ 题型3 分类计数原理与分步计数原理的应用 【典例1】．某文体小队排练了5个歌唱节目，2个小品节目，3个舞蹈节目，从中选两个不同类型的节目，有几种不同的选法. 【典例2】．现有高一学生8人，高二学生12人，高三学生5人，自发组织参加社会实践活动. （1）选其中一人为总负责人，有多少种不同的选法？ （2）每年级选一名组长，有多少种不同的选法？ 三、知识检测 1．从甲地到乙地可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，假定火车有2班，汽车有3班，轮船每日有3班，那么一天中从甲地到乙地有( )种不同的走法. ( ) A.8 B.9 C.15 D.18 2．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有( ) A.8种 B.15种 C.53种 D.35种 3．某中学需从2020年师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选聘1人，则不同的选法种数 ( ) A.6 B.5 C.3 D.2 4．已知从甲地到乙地有乘飞机或者坐轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有乘大巴车、高铁或者乘飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为( ) A.4 B.5 C.6 D.8 5.4位同学报名参加四个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( ) A.24种 B.81种 C.64种 D.256种 6．已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高二（3）班有38人，现从这三个班中任选1人去参加活动，则不同的选法共有 ( ) A.125种 B.135种 C.155种 D.375种 7．某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为( ) A.20 B.15 C.10 D.5 8．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，从书架上任取1本书，有( )种不同取法，从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有( )种不同取法. ( ) A.9,20 B.20,9 C.9,24 D.24,9 9．幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果．王老师的果篮里有草莓，苹果，芒果3种水果．李老师的果篮里有苹果，樱桃，香蕉，猕猴桃4种水果．小华可以在两个老师的果篮里分别选一个水果.小华拿到两种不同的水果的情况有 ( ) A.7种 B.6种 C.12种 D.11种 10．用5种不同颜色给右图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有( )种不同的涂色方案. ( ) A.1140 B.1520 C.1400 D.1620 11.家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，若从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳的不同的方法有（    ） A．240种 B．180种 C．120种 D．90种 12.学校筹办元旦晚会需要从5名男生和3名女生中各选1人作为志愿者，则不同选法的种数是（    ） A．8 B．28 C．20 D．15 13.某小组共有4名男生，和3名女生.若选一名男生和一名女生分别担任组长和干事，共有 种不同的结果. 14．从3名女同学和2名男同学中，选出1人主持某次主题班会，不同的选法种数为 15．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出2台，其中甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法种数为 16．一个科技小组有3名男同学和5名女同学，从中任选一名同学参加科技竞赛，共 有 种不同的选派方法. 17．把5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法. 18．甲有5件不同颜色的上衣，6条不同样式的裤子和4双不同的鞋子，如果把1件上衣、1条裤子和1双鞋子看作一种搭配方法，那么甲着装时，共有多少种不同的搭配方法. 19．某校“数学俱乐部”有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人． （1）从中选出1人担任总干事，有多少种不同的选法. （2）从每一个年级各选1人担任本年级的组长，有多少种不同的选法. 20.有三种不同颜色供选择，给图中六个格子涂色，相邻格子颜色不能相同，共有多少 种不同的涂色方案. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题41 计数原理 一、知识梳理 1.分类计数原理 如果完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，······，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1+m2+....+mn种不同的方法.分类计数原理也称为分类加法计数原理 2.分步计数原理 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，······，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1×m2×....×mn种不同的方法.分步计数原理也称为分步乘法计数原理 3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系 联系：都是用来计算完成一件事情的不同方法总数的计数方法。 区别：分类加法计数原理：完成一件事分几类，各类方法相互独立，任选一类中的任意一种方法都可以独立完成这件事，用加法； 分步乘法计数原理：完成一件事分几步，各个步骤相互依存，只有把每一步都做完，才能完成这件事，用乘法。 二、题型精练 题型1 分类计数原理 【典例1】．从甲地到乙地每天有火车10班，轮船2班，汽车15班，一天内由甲地到乙地，有多少种不同的走法？ 【答案】27 种 【分析】分类加法计数原理，完成一件事有几类方案，总方法数为各类方法数相加。 【详解】 火车：10 班 轮船：2 班 汽车：15 班 10+2+15=27 故：有 27 种不同的走法。 【典例2】．某班男生23人，女生24人，从中选1人担任数学兴趣小组的组长，共有不同选法 种？ 【答案】47 【分析】分类加法计数原理，选男生或选女生两类，相加。 【详解】 男生 23 人，女生 24 人 23+24=47 共有不同选法47种。 题型2 分步计数原理 【典例1】．有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球2个，白色小球3个，黄色小球4个，从盒子里任取红、白、黄色小球各一个，有多少种不同取法？ 【答案】24 种 【分析】分步乘法计数原理，分三步：取红球、取白球、取黄球，各步方法数相乘。 【详解】 取红球：2 种 取白球：3 种 取黄球：4 种 2× 3× 4=24 故：有 24 种不同取法。 【典例2】．在A、B、C、D、E五位候选人中，选出正、副班长各一人的选法共有多少种？ 【答案】20 种 【分析】分步乘法计数原理，先选正班长，再选副班长。 【详解】 第一步：选正班长，5 个人任选一人，共5种； 第二步：选副班长，剩下 4 个人任选一人，共4种。 5× 4=20 故选法共有 20 种。 题型3 分类计数原理与分步计数原理的应用 【典例1】．某文体小队排练了5个歌唱节目，2个小品节目，3个舞蹈节目，从中选两个不同类型的节目，有几种不同的选法. 【答案】31 种 【分析】分类加法计数原理，选两个不同类型，分歌唱 & 小品、歌唱 & 舞蹈、小品 & 舞蹈三类，每类内部用分步乘法，再相加。 【详解】 歌唱 5 个，小品 2 个，舞蹈 3 个 歌唱与小品：5× 2=10 歌唱与舞蹈：5×3=15 小品与舞蹈：2×3=6 10+15+6=31 故有 31 种不同的选法。 【典例2】．现有高一学生8人，高二学生12人，高三学生5人，自发组织参加社会实践活动. （1）选其中一人为总负责人，有多少种不同的选法？ （2）每年级选一名组长，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)25种；(2)480种 【分析】(1) 分类加法计数原理，从高一、高二、高三中任选一人，各类选法相加。 (2) 分步乘法计数原理，分高一、高二、高三三步各选一名组长，各步方法数相乘。 【详解】 (1) 8+12+5=25 故有25种不同的选法。 (2) 8×12×5=480 故有480种不同的选法。 三、知识检测 1．从甲地到乙地可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，假定火车有2班，汽车有3班，轮船每日有3班，那么一天中从甲地到乙地有( )种不同的走法. ( ) A.8 B.9 C.15 D.18 【答案】A 【分析】分类加法计数原理，火车、汽车、轮船为三类出行方式，方法数直接相加。 【详解】 2+3+3=8 故选 A。 2．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有( ) A.8种 B.15种 C.53种 D.35种 【答案】D 【分析】分步乘法计数原理，每一封信都可以投入 3 个邮筒中的任意一个，每封信有 3 种投法，5 封信分步完成。 【详解】 每封信有3种投法： 3×3×3×3×3=35 故选 D。 3．某中学需从2020年师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选聘1人，则不同的选法种数 ( ) A.6 B.5 C.3 D.2 【答案】B 【分析】分类加法计数原理，选女大学生、男大学生分为两类，选法数相加。 【详解】 3+2=5 故选 B。 4．已知从甲地到乙地有乘飞机或者坐轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有乘大巴车、高铁或者乘飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为( ) A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】C 【分析】分步乘法计数原理，第一步甲地到乙地，第二步乙地到丙地，两步方法数相乘。 【详解】 甲地到乙地：2种 乙地到丙地：3种 2×3=6 故选 C。 5.4位同学报名参加四个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( ) A.24种 B.81种 C.64种 D.256种 【答案】D 【分析】分步乘法计数原理，每位同学都有 4 个小组可以选择，4 位同学依次选择。 【详解】 4 位同学，每个同学 4 种选择：4×4×4×4=256 故选 D。 6．已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高二（3）班有38人，现从这三个班中任选1人去参加活动，则不同的选法共有 ( ) A.125种 B.135种 C.155种 D.375种 【答案】A 【分析】分类加法计数原理，从三个班级任选一人，将各班人数相加。 【详解】 42+45+38=125 故选 A。 7．某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为( ) A.20 B.15 C.10 D.5 【答案】C 【分析】分步乘法计数原理，先选第一个人，再选第二个人，甲乙聊天与乙甲聊天是同一次，要去掉重复情况。 【详解】 第一步：从 5 人中选 1 人，有5种； 第二步：从剩下 4 人中再选 1 人，有4种； 5×4=20 甲和乙聊天、乙和甲聊天算同一次，每一组被算了 2 次 故选 C。 8．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，从书架上任取1本书，有( )种不同取法，从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有( )种不同取法. ( ) A.9,20 B.20,9 C.9,24 D.24,9 【答案】C 【分析】第一空用分类加法计数原理，任取一本书，三层任选一层；第二空用分步乘法计数原理，每层各取一本，逐层选取再相乘。 【详解】 任取 1 本书： 4+3+2=9 各取 1 本书： 4×3×2=24 故选 C。 9．幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果．王老师的果篮里有草莓，苹果，芒果3种水果．李老师的果篮里有苹果，樱桃，香蕉，猕猴桃4种水果．小华可以在两个老师的果篮里分别选一个水果.小华拿到两种不同的水果的情况有 ( ) A.7种 B.6种 C.12种 D.11种 【答案】D 【分析】分步乘法计数原理，先从王老师果篮选一个，再从李老师果篮选一个，去掉拿到两个苹果的重复相同水果情况。 【详解】 总选法：3×4=12 其中都选苹果是水果相同，要减去 1 种 12-1=11 故选 D。 10．用5种不同颜色给右图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有( )种不同的涂色方案. ( ) A.1140 B.1520 C.1400 D.1620 【答案】B 【分析】奥运五环五个圆环，相邻圆环颜色不同，按圆环依次分步涂色，注意环之间相交相邻关系，分步乘法计数原理。 【详解】 五个环依次记 A,B,C,D,E A：5 种颜色 B 与 A 相交：4 种 C 与 B 相交，与 A 不相交：4 种 D 和 A、C 相交：3 种 E 和 B、D 相交：3 种 5×4×(3×3 + 1×3)=1520 故选 B。 11.家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，若从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳的不同的方法有（    ） A．240种 B．180种 C．120种 D．90种 【答案】D 【分析】运用分类加法计数原理计算即可. 【详解】根据分类加法计数原理，得方法种数为30+20+40=90. 故选：D. 12.学校筹办元旦晚会需要从5名男生和3名女生中各选1人作为志愿者，则不同选法的种数是（    ） A．8 B．28 C．20 D．15 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意可知不同选法有（种）. 故选:D 13.某小组共有4名男生，和3名女生.若选一名男生和一名女生分别担任组长和干事，共有 种不同的结果. 【答案】24 【分析】根据题意结合分步乘法计数原理分析求解. 【详解】因为4名男生选一名男生共有4种不同的结果； 3名女生选一名女生共有3种不同的结果； 一名男生和一名女生分别担任组长和干事共有2种不同的方法， 根据分步乘法计数原理可知：共有种不同的结果. 故答案为：24. 14．从3名女同学和2名男同学中，选出1人主持某次主题班会，不同的选法种数为 【答案】5 【分析】分类加法计数原理，选女同学、男同学分为两类，选法数相加。 【详解】 3+2=5 故不同的选法种数为5。 15．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出2台，其中甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法种数为 【答案】20 【分析】分步乘法计数原理，分两步：取 1 台甲型，取 1 台乙型，方法数相乘。 【详解】 取甲型电视机：4种 取乙型电视机：5种 4×5=20故不同的取法种数为20。 16．一个科技小组有3名男同学和5名女同学，从中任选一名同学参加科技竞赛，共 有 种不同的选派方法. 【答案】8 【分析】分类加法计数原理，选男同学、女同学分两类，方法数相加。 【详解】 3+5=8故共有8种不同的选派方法。 17．把5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法. 【答案】243种 【分析】分步乘法计数原理，每本书都可以借给 3 名学生中任意一人，5 本书依次完成出借。 【详解】 每本书有3种借法： 3×3×3×3×3==243 故有243种不同的借法。 18．甲有5件不同颜色的上衣，6条不同样式的裤子和4双不同的鞋子，如果把1件上衣、1条裤子和1双鞋子看作一种搭配方法，那么甲着装时，共有多少种不同的搭配方法. 【答案】120种 【分析】分步乘法计数原理，分三步：选上衣、选裤子、选鞋子，各步方法数相乘。 【详解】 选上衣：5种 选裤子：6种 选鞋子：4种 5×6× 4=120故共有120种不同的搭配方法。 19．某校“数学俱乐部”有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人． （1）从中选出1人担任总干事，有多少种不同的选法. （2）从每一个年级各选1人担任本年级的组长，有多少种不同的选法. 【答案】(1)25种；(2)560种 【分析】(1) 分类加法计数原理，三个年级任选一人，选法相加。 (2) 分步乘法计数原理，高一、高二、高三依次各选一人，选法相乘。 【详解】 (1)10+8+7=25 故有25种不同的选法。 （2）10×8×7=560 故有560种不同的选法。 20.有三种不同颜色供选择，给图中六个格子涂色，相邻格子颜色不能相同，共有多少 种不同的涂色方案. 【答案】96 【分析】将格子自左向右编号为1，2，3，4，易得格子1，2有种选法，再分格子3与格子1相同和不同求解. 【详解】解：将格子自左向右编号为1，2，3，4，5,6 格子1，2有种选法， 当格子3与格子1相同时，此时格子4，5，6都有2种选法， 当格子3与格子1不同时，此时格子3有1种选法，格子4，5，6都有2种选法， 所以当格子1和2颜色确定后，格子4，5，6共有种选法， 所以不同的涂色方法有种， 故答案为：96 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $