专题40 复数的应用 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题40 复数的应用 一、知识梳理 1.实系数一元二次方程解的情况 一元二次方程解的情况： （1） 当时，一元二次方程 +c=0有两个不相等的实数根 ; （2）当时，一元二次方程 +c=0有两个相等的实数根; （3）当时，一元二次方程 +c=0有一对共轭虚数根 ; 2. 根与系数的关系 一元二次方程在复数集中总有两根，设为，则 二、题型精练 题型1 在复数集中解方程 【典例1】．在复数集中解方程 【答案】 x= 【分析】 本题考查复数范围内解一元二次方程，用求根公式，判别式小于 0 时，根为复数。 【详解】 方程 -x+1=0 a=1,b=-1,c=1 判别式 =-4ac=(-1)2-4×1×1=1-4=-3<0 由求根公式解得： x= 所以方程的解为 x= 【典例2】．在复数集中解方程． (1), (2) 【答案】 （1）x= （2）x= 【分析】 本题考查复数范围内解一元二次方程，用求根公式，判别式小于 0 时，根为复数。 【详解】（1） 方程 +x+1=0 a=1,b=1,c=1 判别式 =-4ac=1-4=1-4=-3<0 由求根公式解得： x= （2） a=2,b=-4,c=5 判别式 =-4ac=16-40=-24<0 由求根公式解得： x= 综上： (1) 方程的解：x= (2) 方程的解：x= 题型2 根与系数的关系 【典例1】．已知实系数一元二次方程 =0的一个根为3+2i，求它的另一个根和m,n 的值 【答案】 另一根：3-2i，m=-12，n=26 【分析】 本题考查实系数一元二次方程虚根成对定理：实系数方程若有虚根，则共轭复数成对出现；再利用韦达定理求参数。 【详解】 实系数一元二次方程虚根共轭成对，已知一根为3+2i， 所以另一个根为3-2i。 由韦达定理： 求和：6= m=-12 求积： 32-(2i)2=9+4=13= n=26 综上：另一根为3-2i，m=-12，n=26 【典例2】．若实系数一元二次方程的一个根为2-i，则m-n= . 【答案】-7 【分析】 本题考查实系数一元二次方程虚根成对定理与韦达定理。实系数方程虚根互为共轭复数，求出两根后利用韦达定理得到m、n，再计算m-n。 【详解】 实系数方程一根为2-i，则另一根为2+i。 由韦达定理： （2-i)+(2+i)=-m (2-i)(2+i)=n 解得m=-4 n=5 所以m-n=-7 综上：m-n=-7 三、知识检测 1．关于x的实系数一元二次方程(a,b,c∈R)在复数集中的两个根分别为α，β，下列结论一定成立的是 ( ) A. B. C.α,β互为共轭复数 D. 【答案】D 【分析】 本题考查实系数一元二次方程在复数范围内根的性质，判别式小于 0 时根为虚根，判别式大于等于 0 时根为实根；韦达定理在复数范围内仍然成立。 【详解】 A：当方程有实根时，≥0，不一定小于 0，A 错误。 B：当方程有虚根时，＜0，不一定大于等于 0，B 错误。 C：只有判别式小于 0 时，才互为共轭复数；有实根时不要求共轭，C 错误。 D：实系数一元二次方程，无论根是实数还是虚数，韦达定理 恒成立，D 正确。 故选 D 2．方程的一个根是 ( ) A.-3-2i B.3+2i C..2-3i D.-2+3i 【答案】 A 【分析】 本题考查复数范围内解一元二次方程，用求根公式，判别式小于 0 时，根为复数。 【详解】 方程 a=1,b=6,c=13 判别式 =-4ac=36-52=-16<0 由求根公式解得： x= 故选 A。 3．已知实系数一元二次方程的一个根为1+i，则它的另一个根为( ) A.1+i B.1-i C.-1-i D.-1+i 【答案】B 【分析】 本题考查实系数一元二次方程虚根成对定理，实系数方程若有虚根，则两根互为共轭复数。 【详解】 实系数一元二次方程，虚根共轭成对。 已知一个根为1+i，则另一个根为1-i。 故选 B。 4．方程根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个虚数根 D.不能确定 【答案】C 【分析】 本题考查实系数一元二次方程根的判定，计算判别式，\(\Delta<0\)时方程无实根，有两个互为共轭的虚数根。 【详解】 a=1,b=3,c=6 =-4ac=9-24=-15<0 判别式小于 0，方程没有实数根，有两个虚数根。 故选 C。 5．若α，β是方程的两个根，则|α-β|等于 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】 本题考查实系数一元二次方程虚根，韦达定理，复数的模。，两根为共轭虚根，利用求根公式求出两根再算|α-β|。 【详解】 方程： a=2,b=1,c=3 =-4ac=1-24=-23<0 β= α-β= - = = |α-β|=| 故选 A。 6.已知实系数一元二次方程的一个根为2+3i，则它的另一个根为 ( ) A.2+3i B.2-3i C.-2-3i D.-2+3i 【答案】B 【分析】 本题考查实系数一元二次方程虚根成对定理，实系数方程如果有虚根，两根一定互为共轭复数。 【详解】 实系数一元二次方程，虚根共轭成对。 已知一根为2+3i，共轭复数为2-3i，所以另一根是2-3i。 故选 B。 7.已知实系数一元二次方程的一个根是2-i，则c的值为 ( ) A.-5 B.5 C.4 D.3 【答案】B 【分析】 本题考查实系数一元二次方程虚根成对定理以及韦达定理，虚根互为共轭复数，两根之积等于c。 【详解】 实系数方程一根为2-i，则另一根为2+i。 由韦达定理： c=(2-i)(2+i)=4-i2=4+1=5 故选 B。 8.已知方程的两根为α,β,，则αβ= 【答案】3 【分析】 本题考查实系数一元二次方程韦达定理，复数范围内韦达定理依然成立。 【详解】 对于，a=2,b=-1,c=6。 由韦达定理： αβ = = 3 故αβ=3 9． 若，则x= 【答案】±i 【分析】 本题考查虚数单位i的定义，。 【详解】 ， 所以，解得x=±i。 10． 若α,β是方程的两个根，则a+β= 【答案】2 【分析】 本题考查实系数一元二次方程韦达定理，复数范围内两根之和公式仍然成立。 【详解】 方程，a=2,b=-4,c=5。 由韦达定理： α+β =- = 2 故a+β=2。 11． 若a,β是方程的两个根，则 【答案】1 【分析】 本题考查韦达定理，把通分变形为，再代入两根之和、两根之积计算。 【详解】 方程，a=2,b=-1,c=1 由韦达定理： α+β =- = αβ = = 得= =1 故 =1 12．在复数集中解方程． (1) (2) 【答案】 （1）x=±2i （2）x= 【分析】 本题考查复数范围内解一元二次方程，用求根公式，判别式小于 0 时，根为复数。 【详解】（1） 方程 a=1,b=0,c=4 判别式 =-4ac=0-16=-16<0 由求根公式解得： x=±2i （2） a=2,b=-4,c=13 判别式 =-4ac=16-104=-88<0 由求根公式解得： x= 综上： (1) 方程的解：x= (2) 方程的解：x= 13.在复数集中解方程． (1) (2) 【答案】 （1）x= （2）x=1± 【分析】 本题考查复数范围内解一元二次方程，用求根公式，判别式小于 0 时，根为复数。 【详解】（1） 方程 a=3,b=-2,c=1 判别式 =-4ac=4-12=-8<0 由求根公式解得： x= （2） a=1,b=-2,c=3 判别式 =-4ac=4-12=-8<0 由求根公式解得： 1± 综上： (1) 方程的解：x= (2) 方程的解：1± 14.已知a,b∈R,(a+2i)(1-i)=(2a-i)-(-1+bi)，求a,b. 【答案】 a=1，b=-2 【分析】 本题考查复数四则运算与复数相等条件。等式两边分别化简，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求参数。 【详解】 左边： (a+2i)(1-i)=a-ai+2i-2=a-ai+2i+2=(a+2)+(-a+2)i 右边： (2a-i)-(-1+bi)=2a-i+1-bi=(2a+1)+(-1-b)i 复数相等： a+2=2a+1且 -a+2=-1-b 由a+2=2a+1 解得a=1 把a=1代入-a+2=-1-b ： -1+2=-1-b 解得b=-2 综上：a=1，b=-2 15．已知实系数一元二次方程的一个根为1+2i，求它的另一个根和m,n的值 【答案】 另一根：1-2i，m=-2，n=5 【分析】 本题考查实系数一元二次方程虚根成对定理：实系数方程若有虚根，则共轭复数成对出现；再利用韦达定理求参数。 【详解】 实系数一元二次方程虚根共轭成对，已知一根为1+2i， 所以另一个根为1-2i。 由韦达定理： 求和：1+2i+1-2i=2=-m m=-2 求积： n=12-(2i)2=1+4=5 综上：另一根为1-2i，m=-2，n=5 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题40 复数的应用 一、知识梳理 1.实系数一元二次方程解的情况 一元二次方程解的情况： （1） 当时，一元二次方程 +c=0有两个不相等的实数根 ; （2）当时，一元二次方程 +c=0有两个相等的实数根; （3）当时，一元二次方程 +c=0有一对共轭虚数根 ; 2. 根与系数的关系 一元二次方程在复数集中总有两根，设为，则 二、题型精练 题型1 在复数集中解方程 【典例1】．在复数集中解方程 【典例2】．在复数集中解方程． (1), (2) 题型2 根与系数的关系 【典例1】．已知实系数一元二次方程 =0的一个根为3+2i，求它的另一个根和m,n 的值 【典例2】．若实系数一元二次方程的一个根为2-i，则m-n= . 三、知识检测 1．关于x的实系数一元二次方程(a,b,c∈R)在复数集中的两个根分别为α，β，下列结论一定成立的是 ( ) A. B. C.α,β互为共轭复数 D. 2．方程的一个根是 ( ) A.-3-2i B.3+2i C..2-3i D.-2+3i 3．已知实系数一元二次方程的一个根为1+i，则它的另一个根为( ) A.1+i B.1-i C.-1-i D.-1+i 4．方程根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个虚数根 D.不能确定 5．若α，β是方程的两个根，则|α-β|等于 ( ) A. B. C. D. 6.已知实系数一元二次方程的一个根为2+3i，则它的另一个根为 ( ) A.2+3i B.2-3i C.-2-3i D.-2+3i 7.已知实系数一元二次方程的一个根是2-i，则c的值为 ( ) A.-5 B.5 C.4 D.3 8.已知方程的两根为α,β,，则αβ= 9． 若，则x= 10． 若α,β是方程的两个根，则a+β= 11．若a,β是方程的两个根，则 12．在复数集中解方程． (1) (2) 13.在复数集中解方程． (1) (2) 14.已知a,b∈R,(a+2i)(1-i)=(2a-i)-(-1+bi)，求a,b. 15．已知实系数一元二次方程的一个根为1+2i，求它的另一个根和m,n的值 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $